高考数学试题分类汇编13概率与统计理科.docx
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高考数学试题分类汇编13概率与统计理科
2011年高考数学试题分类汇编13——概率与统计(理科)
概率与统计(理)
江苏5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,则其中一个数是另一个的两倍的概率为______
答案:
安徽理(20)(本小题满分13分)
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务,每次只派一个人进去,且每个人只派一次,工作时间不超过10分钟,如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出,再派下一个人。
现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别,假设互不相等,且假定各人能否完成任务的事件相互独立.
(Ⅰ)如果按甲最先,乙次之,丙最后的顺序派人,求任务能被完成的概率。
若改变三个人被派出的先后顺序,任务能被完成的概率是否发生变化?
(Ⅱ)若按某指定顺序派人,这三个人各自能完成任务的概率依次为,其中是的一个排列,求所需派出人员数目的分布列和均值(数字期望);
(Ⅲ)假定,试分析以怎样的先后顺序派出人员,可使所需派出的人员数目的均值(数字期望)达到最小。
(20)(本小题满分13分)本题考查相互独立事件的概率计算,考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识,考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理,分类读者论论思想,应用意识与创新意识.
解:
(I)无论以怎样的顺序派出人员,任务不能被完成的概率都是
,所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关,
并等于
(II)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为时,随机变量X的分布
列为
X
1
2
3
P
所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是
(III)(方法一)由(II)的结论知,当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时,
根据常理,优先派出完成任务概率大的人,可减少所需派出的人员数目的均值.
下面证明:
对于的任意排列,都有
……………………(*)
事实上,
即(*)成立.
(方法二)(i)可将(II)中所求的EX改写为若交换前两人的派出顺序,则变为.由此可见,当时,交换前两人的派出顺序可减小均值.
(ii)也可将(II)中所求的EX改写为,或交换后两人的派出顺序,则变为.由此可见,若保持第一个派出的人选不变,当时,交换后两人的派出顺序也可减小均值.
序______________________________________________________________________________________________________________________________综合(i)(ii)可知,当时,EX达到最小.即完成任务概率大的人优先派出,可减小所需派出人员数目的均值,这一结论是合乎常理的.
北京理17.本小题共13分
以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。
乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示。
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差;
(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵树Y的分布列和数学期望。
(注:
方差,其中为,,……的平均数)
(17)(共13分)
解
(1)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:
8,8,9,10,
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)当X=9时,由茎叶图可知,甲组同学的植树棵树是:
9,9,11,11;乙组同学的植树棵数是:
9,8,9,10。
分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有4×4=16种可能的结果,这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21事件“Y=17”等价于“甲组选出的同学植树9棵,乙组选出的同学植树8棵”所以该事件有2种可能的结果,因此P(Y=17)=
同理可得
所以随机变量Y的分布列为:
Y
17
18
19
20
21
P
EY=17×P(Y=17)+18×P(Y=18)+19×P(Y=19)+20×P(Y=20)+21×P(Y=21)=17×+18×+19×+20×+21×
=19
福建理13.盒中装有形状、大小完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个。
若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______。
福建理19.(本小题满分13分)
某产品按行业生产标准分成8个等级,等级系数X依次为1,2,……,8,其中X≥5为标准A,X≥为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品,产品的零售价为6元/件;乙厂执行标准B生产该产品,产品的零售价为4元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准
(I)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示:
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数字期望EX1=6,求a,b的值;
(II)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下:
3533855634
6347534853
8343447567
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数X2的数学期望.
(III)在(I)、(II)的条件下,若以“性价比”为判断标准,则哪个工厂的产品更具可购买性?
说明理由.
注:
(1)产品的“性价比”=;
(2)“性价比”大的产品更具可购买性.
19.本小题主要考查概率、统计等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想,满分13分。
解:
(I)因为
又由X1的概率分布列得
由
(II)由已知得,样本的频率分布表如下:
3
4
5
6
7
8
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等级系数X2的概率分布列如下:
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下:
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6,价格为6元/件,所以其性价比为
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于4.8,价格为4元/件,所以其性价比为
据此,乙厂的产品更具可购买性。
广东理6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
A. B. C. D.
D
广东理17.(本小题满分13分)
为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:
毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号
1
2
3
4
5
x
169
178
166
175
180
y
75
80
77
70
81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。
用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。
17.(本小题满分13分)
解:
(1),即乙厂生产的产品数量为35件。
(2)易见只有编号为2,5的产品为优等品,所以乙厂生产的产品中的优等品
故乙厂生产有大约(件)优等品,
(3)的取值为0,1,2。
所以的分布列为
0
1
2
P
故
湖北理5.已知随机变量服从正态分布,且P(<4)=,则P(0<<2)=
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
C
湖北理7.如图,用K、、三类不同的元件连接成一个系统。
当正常工作且、至少有一个正常工作时,系统正常工作,已知K、、正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8,则系统正常工作的概率为
A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576
B
湖北理12.在30瓶饮料中,有3瓶已过了保质期。
从这30瓶饮料中任取2瓶,则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。
(结果用最简分数表示)
湖北理15.给个自上而下相连的正方形着黑色或白色。
当时,在所有不同的着色方案中,黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示:
由此推断,当时,黑色正方形互不相邻的着色方案共有种,至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有种,(结果用数值表示)
21,43
湖南理4.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表:
男
女
总计
爱好
40
20
60
不爱好
20
30
50
总计
60
50
110
由算得,.
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
参照附表,得到的正确结论是
A.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
B.再犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
C.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
D.有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C
湖南理15.如图4,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形。
将一颗豆子随机地扔到该图内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则
(1)P(A)=_____________;
(2)P(B|A)=.
(1)
湖南理18.(本小题满分12分)
某商店试销某种商品20天,获得如下数据:
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变),设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存货少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货,将频率视为概率。
(Ⅰ)求当天商品不进货的概率;
(Ⅱ)记X为第二天开始营业时该商品的件数,求X的分布列和数学期型。
18.解(I)(“当天商品不进货”)(“当天商品销售量为0件”)(“当天商品销售量为1件”)
(Ⅱ)由题意知,的可能取值为2,3.
(“当天商品销售量为1件”)
(“当天商品销售量为0件”)(“当天商品销售量为2件”)(“当天商品销售量为3件”)
故的分布列为
2
3
的数学期望为
江西理6.变量X与Y相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U与V相对应的一组数据为(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1),表示变量Y与X之间的线性相关系数,表示变量V与U之间的线性相关系数,则
A.B.C.D.
C
江西理12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心的距离大于,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于,则去打篮球;否则,在家看书,则小波周末不在家看书的概率为
江西理16.(本小题满分12分)
某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试
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