初三数学九年级暑假 第19讲二次函数图像性质的应用文档格式.docx
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【例2】某商店以120元每件的成本购进一批新产品,在试销阶段,每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(台)之间的关系如下表所示:
x
130
150
165
y
70
50
35
(1)若日销售量y是销售价x的一次函数,求这个一次函数;
(2)每件产品的销售价定为多少元时,日销售利润最大,最大利润为多少元?
【例3】某商场试销一种成本为每件60元的服装,规定试销期间销售单价不低于成本单价,且获利不得高于45%,经试销发现,销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y=kx+b,且x=65时,y=55;
x=75时,y=45.
(1)求一次函数y=kx+b的表达式;
(2)若该商场获得利润为W元,试写出利润W与销售单价x之间的关系式;
销售单价定为多少元时,商场可获得最大利润,最大利润是多少元?
(3)若该商场获得利润不低于500元,试确定销售单价x的范围.
【例4】某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施.调查表明:
这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台.
(1)假设每台冰箱降价x元,商场每天销售这种冰箱的利润y元,请写出y与x之间的函数关系式;
(2)商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?
(3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高?
最高利润是多少?
【例5】某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg,购进价格为30元/kg,物价部门规定其销售单价不得高于70元/kg,也不得低于30元/kg,市场调查发现:
单价定于70元时,日均销售60kg,单价每降低1元,日均多售出2kg,在销售过程每天还要支出其它费用500元(不足一天时,按整天计算),设销售单价为x元,日均获利为y元.
(1)求y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围;
(2)将
(1)中所求出的二次函数配方成
的形式,指出单价定为多少时日均获利最多,是多少?
(3)将这种化工原料全部售出,比较日均获利最多和销售单价最高,这两种销售方式,哪一种获总利最多,多多少?
【难度】★★★
【例6】某商场要经营一种文具,进价为20元,当售价为25元时,每天的销售量为250件,售价每上涨1元,每天的销售量就减少10件.
(1)写出商场销售这种文具,每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)商场提出了A、B两种营销方案.
方案A:
该文具的销售单价高于进价且不超过30元;
方案B:
每天销售量不少于10件,且每件文具的利润至少为25元.
请比较哪种方案的最大利润更高,并说明理由.
求解二次函数与面积结合的问题时,基本方法上与利润最大化是相同的,也是通过配方的方式求解相关面积的最值,当然也需要注意自变量的取值范围.
而与利润最大化问题不同的是,面积问题中可能会涉及到三角形、四边形或者圆等图形,也可能会出现动点与面积相结合的类型,变化较多.
【例7】在半径为4厘米的圆面上,从中挖去一个半径为x厘米的同心圆面,剩下一个圆环的面积为y平方厘米,则y关于x的函数关系式为()
A.
B.
C.
D.
【难度】★
【例8】一长方体的长和宽相等,高比长多0.5米,若长方体的长和宽用x(米)表示,则长方体的表面积S(平方米)关于x的函数关系式为________________.
【例9】
A
B
C
D
P
Q
如图,正方形ABCD的边长为4,P是BC上的一动点,若
,交DC于Q,设PB=x,
的面积为y,y与x的函数关系式为_________________.
【例10】小智用总长为8厘米的铁丝围成矩形,则矩形的最大面积是()平方厘米
A.4B.8C.16D.32
【例11】如图所示,矩形花圃ABCD的一边利用足够长的墙,另三边用总长为32米的篱笆围成.设AB边的长为x米,矩形ABCD的面积为S平方米.
(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围);
(2)当x为何值时,S有最大值?
并求出最大值.
【例12】如图,在
中,
,AC=40cm,BC=30cm,在
内部作一个矩形DEFG,其中点D和点G分别在AC、BC上,点E、F在AB上.设矩形的一边EF=xcm,设矩形的面积为ycm2.
(1)写出y关于x的函数关系式及定义域;
(2)求当x=25cm时,矩形DEFG的面积.
E
F
G
【例13】抛物线的对称轴是直线x=1,它与x轴交于点A、B两点,与y轴交于C点,点A、C的坐标分别是(
,0)、(0,
).
(1)求此抛物线对应的函数的解析式;
(2)若点P是抛物线上位于x轴上方的一个动点,求
面积的最大值.
【例14】如图,E、F分别是边长为
的正方形ABCD的边BC、CD上的点,CE=1,CF=
,直线EF交AB的延长线于G,过线段FG上的一个动点H作HM
AG,HN
AD,垂足分别为M、N,设HM=x,矩形AMHN的面积为y.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)当x为何值时,矩形AMHN的面积最大,最大面积为多少?
【例15】如图,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米.点M从点A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度向点B移动,点N从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动.若点M、N分别从A、B两点同时出发,设移动时间为t(
),
的面积为S.
(1)求S关于t的函数关系式,并求出S的最小值;
(2)当
为直角三角形时,求
的面积.
N
M
二次函数与拱桥问题的解题,依赖于合理的平面直角坐标系的建立,继而在平面直角坐标系中,利用二次函数的图像性质解答相关的问题.
【例16】如图,河上有一座抛物线形状的桥洞,已知桥下的水面离桥拱顶部4米时,水面宽AB为12米,如图建立直角坐标系.
(1)求抛物线的函数解析式;
(2)当水位上升1米时,水面宽为多少米?
(答案保留整数,其中
)
O
【例17】有一个横截面为抛物线形的拱形桥洞,桥洞离水面的最大高度为4m,跨度为10m,则把它的横截面的图形放在如图所示的直角坐标系中时:
(1)抛物线的顶点坐标为________,这条抛物线所对应的函数解析式为________________;
(2)如图,在对称轴右边3m处,桥洞离水面的高度为______m.
3m
4m
10m
【例18】某农业合作社的蔬菜大棚的横截面为抛物线,尺寸如图所示:
(1)根据图中的平面直角坐标系求该抛物线的解析式;
(2)若菜农身高为1.6米,则在他不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围有几米?
(精确到0.01米)
【例19】一条隧道的截面由抛物线和矩形构成,矩形的长OC为8米,宽OA为2米,隧道最高点P位于AB的中央且距地面6米,建立如图所示的坐标系.
(1)求抛物线的解析式;
(2)一辆货车高4米,宽2米,能否从该隧道内通过?
请说明理由;
(3)如果隧道内设双行道,那么这辆货车是否可以顺利通过?
请说明理由.
【例20】某工厂要赶制一批蒙古包.如图,蒙古包横截面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成的,矩形长为12m,抛物线拱高为5.6m.
(1)在如图所示的平面直角坐标系中,求抛物线的表达式;
(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在AB上,每扇窗户宽1.5m,高1.6m,相邻窗户之间的间距均为0.8m,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m.请计算最多可安装几扇这样的窗户?
12m
5.6m
【例21】如图有一座抛物线形拱桥,在正常水位时,水面AB的宽为
米,如果水位上升
米时,水面CD的宽是
米.
(1)建立如图所示的平面直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥
千米(桥长忽略不计).货车正以每小时
千米的速度开往乙地,当行驶
小时后,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小时
米的速度持续上涨(货车接到通知时,水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:
如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?
若能,请说明理由;
若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
【例22】如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为6米,底部宽度OM为12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标;
(2)求这条抛物线的解析式;
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD—DC—CB,使C、D点在抛物线上,A、B点在地面OM上,则这个“支撑架”总长的最大值是多少?
与拱桥问题相同,也需要借助建立平面直角坐标系,利用二次函数的图像性质解答二次函数与运行轨迹的问题.
【例23】若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为
,则t=5秒时,该物体所经过的路程为________.
【例24】如图,是一个运动员投掷铅球的抛物线图,解析式为
(单位:
米),其中点A为出手点,点C为铅球运行中的最高点,点B为铅球落地点,求:
(1)出手点A离地面的高度;
(2)最高点C离地面的高度;
(3)该运动员的成绩是多少米?
【例25】在距离地面2米高的某处把一物体以初速度v0(米/秒)竖直向上抛出,在不计空气阻力的情况下,其上升高度h(米)与抛出的时间t(秒)满足
(其中g是常数,取g=10米/秒2).若v0=10米/秒,则该物体在运动过程中,最高点距离地面______米.
【例26】顽皮的小明,从10米高的窗口A用水枪向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面
米,则水流落地点B离墙的距离OB是()
A.2米B.3米C.4米D.5米
【例27】如图所示,一位篮球运动员跳起投篮,球沿抛物线
运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的距离为
(1)球在空中运行的最大高度为多少米?
(2)如果该运动员跳投时球出手离地面的高度为
米,请问他距离篮筐中心的水平距离是多少米?
【例28】足球比赛中,某足球运动员将在地面上的足球对着球门踢出,图1中的抛物线是足球的飞行高度y(m)关于飞行时间x(s)的函数图像(不考虑空气的阻力),已知足球飞出1s时,足球的飞行高度是2.44m,足球从飞出到落地共用3s.
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)足球的飞行高度能否达到4.88m?
(3)假设没有拦挡,足球将擦着球门左上角射入球门,球门的高为2.44m(如图2所示,足球的大小忽略不计).为了能及时将足球扑出,那么足球踢出时,距离球门左门柱12m处的守门员至少要以多大的平均速度到球门的左门柱?
1
2.44
3
【习题1】军事演习中,一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度y(m)与飞行时间x(s)的关系满足
.经过______秒时间炮弹到达它的最高点,最高点的高度是______米,经过______秒时间,炮弹落到地上爆炸(假设地面是平坦的).
【习题2】如图,点C是线段AB上的一个动点,AB=1,分别以AC、CB为边作正方形,用S表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是()
A.当C是AB的中点时,S最小
B.当C是AB的中点时,S最大
C.当C为AB的三等分点时,S最小
D.当C为AB的三等分点时,S最大
【习题3】某民俗旅游村为了接待游客的需要开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费10元时,床位可以全部租出,若每张床位每天收费提高2元,则相应地减少了10张床位租出,如果每张床位每天以2元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是多少?
【习题4】如图所示,有长24米的篱笆,一面利用墙(墙的最大长度为10米),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的边AB的长为
,花圃的面积为S平方米.
(1)请求出S与x的函数关系式.
(2)按照题中要求,所围的花圃面积能否是48m2.若能,求出的x值;
若不能,请说明理由.
【习题5】已知一隧道的截面是抛物线,且抛物线的解析式为
,一辆卡车高3米,宽4米,该车__________(选填“能”或“不能”)通过隧道.
【习题6】一男生在校运会的比赛中推铅球,铅球的行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系用如图所示的二次函数图象表示.(铅球从
点被推出,实线部分表示铅球所经过的路线).
(2)求出铅球被推出的距离;
2
(3)若铅球到达的最大高度的位置为点B,落地点为C,求四边形OABC的面积.
【习题7】如图,一座拱桥的轮廓是抛物线形,拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.
(1)将抛物线放在如图的平面直角坐标系中,求抛物线的解析式;
(2)求支柱EF的长度;
20m
6m
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m的隔离带),其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)?
【作业1】某商品的进货单价为40元,售价为60元时,能售出100个,如果这种商品涨价1元,其销售量就减少3个,则销售量y与售价x的关系式为___________,利润W与售价x的关系式为____________,x的取值范围为__________.
【作业2】一场足球比赛,一球员在球门正前方10米处将球踢起射向球门,当球飞行的水平距离是6米时,球到达最高点,此时球高3米,若球门高2.44米,则______(填“能”或“不能”)射中球门.
【作业3】用12米长的木条做一个如图所示的矩形窗子,为使透进的光线最多,则窗子的长为______米,宽为______米.
【作业4】如图,某隧道口的横截面是抛物线形,已知路宽AB为6米,最高点离地面的距离OC为5米.以最高点O为坐标原点,抛物线的对称轴为y轴,1米为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系.求:
(1)以这一部分抛物线为图像的函数解析式,并写出x的取值范围;
(2)有一辆宽2.8米,高4米的货车能否通过此隧道?
【作业5】某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍).
(1)设一天订出的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)设宾馆一天的利润为W元,求W与x的函数关系式;
(3)一天订出多少个房间,宾馆的利润最大?
最大利润是多少元?
【作业6】小智参加一次高尔夫球集训,一次练习中,他在某处击球,球的飞行路线满足抛物线
,其中y(m)代表球的飞行高度,x(m)代表球飞出的水平距离,结果球离球洞的水平距离还有2m.
(1)写出抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴;
(2)求出球飞行的最大水平距离;
(3)若小强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式.
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