广东省深圳市高考数学一模文科试题解析.docx
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广东省深圳市高考数学一模文科试题解析
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2020年广东省深圳市高考数学一模试卷(文科)解析
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,2,3,4,,,2,4,,则集合的子集共有
A.2个B.4个C.6个D.8个
解:
已知集合,2,3,4,,,2,4,,
则集合,
则子集共有,,,,,4个
故选:
.
2.若复数的实部为0,其中为实数,则
A.2B.C.1D.
解:
,
,
则,则.
故选:
.
3.已知向量,,,且实数,若、、三点共线,则
A.0B.1C.2D.3
解:
向量,,,且实数,
,,
、、三点共线,,
,
由,解得.
故选:
.
点评:
也可以利用直线AB与直线BC斜率相等求解.
4.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:
已知一对兔子每个月可以生一对兔子,而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.假如没有发生死亡现象,那么兔子对数依次为:
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,这就是著名的斐波那契数列,它的递推公式是,其中,.若从该数列的前100项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率为
A.B.C.D.
解:
从斐波那契数列,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,,
可得:
每三个数中有一个偶数,可得:
从该数列的前100项中随机地抽取一个数,则这个数是偶数的概率.
故选:
.
点评:
本题考查了古典概率计算公式、斐波那契数列性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.设,,,则下列正确的是
A.B.C.D.
解:
,
,
故选:
.
点评:
本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
6.如图所示的茎叶图记录了甲,乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据(单位:
分).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则和的值为
A.2和6B.4和6C.2和7D.4和7
解:
由所有选项可知,,
再由茎叶图可知:
甲队的数据中位数为:
,
乙队的数据中位数为:
,
若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,
即,解得,
,,
,解得,
故选:
.
点评:
本题考查茎叶图,中位数和平均值,是基础题.
7.若双曲线的焦距为,且渐近线经过点,则此双曲线的方程为
A.B.C.D.
解:
依题意可得,①.
渐近线经过点,在直线上.
②.
由①②可得,
则此双曲线的方程为:
.
故选:
.
点评:
本题考查了双曲线的方程、渐近线,属于基础题.
8.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个长方体切割而成的三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积为
A.12B.16C.24D.32
解:
根据几何体的三视图转换为几何体为:
如图所示:
请旋转一下角度再看
所以.
故选:
.
点评:
本题考查的知识要点:
三视图和几何体之间的转换,几何体的体积和表面积公式的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.
9.已知函数的最大值、最小值分别为3和,关于函数有如下四个结论:
①,;
②函数的图象关于直线对称;
③函数的图象关于点对称;
④函数在区间内是减函数.
其中,正确的结论个数是
A.1B.2C.3D.4
解:
由于函数的最大值为3,最小值为,可得;
,,故.
故①正确;
直线代入,故函数的图象关于直线对称;②正确;
点代入,得;故函数的图象关于点对称;③正确;
当时,,.故函数在区间内是减函数.④正确;
正确的结论个数是:
4个;
故选:
.
点评:
本题主要考查正弦函数的最值,正弦型函数的性质,整体法思想,属于中档题.
10.函数的图象大致为
A.
B.
C.
D.
解:
,
函数为奇函数,其图象关于原点对称,故排除;
当时,,故排除.
故选:
.
点评:
本题考查函数图象的确定,属于基础题.
11.已知直三棱柱,,,和的中点分别为、,则与夹角的余弦值为
A.B.C.D.
解:
分别以直线,,为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则:
,0,,,0,,,2,,,1,,
,
,
与夹角的余弦值为.
故选:
.
点评:
本题考查了直三棱柱的定义,通过建立空间直角坐标系,利用向量坐标解决异面直线所成角的问题的方法,向量夹角的余弦公式,异面直线所成角的定义,考查了计算能力,属于基础题.
12.函数是定义在上的可导函数,为其导函数,若,且
(2),则的解集为
A.B.C.D.
解:
令,则,
当时,,单调递增,当时,,函数单调递减,
又因为
(2),所以
(2)
(2),,
由可得,即,
所以.
故选:
.
点评:
本题主要考查了利用导数求解函数的单调性,解不等式,解题的关键是进行合理的构造.
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知,则 .
解:
,
,
故答案为.
点评:
本题主要考查二倍角的余弦公式以及诱导公式的应用,属于中档题.
14.在中,角,,的对边分别为,,,若,,则的外接圆面积为 .
解:
中,由,
利用正弦定理可得:
,即,
,
.
,
设的外接圆半径为,可得,可得,可得的外接圆面积.
故答案为:
.
点评:
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
15.已知一圆柱内接于一个半径为的球内,则该圆柱的最大体积为 .
解:
作出轴截面如右.
设圆柱体的底面半径为,
则球心到底面的距离(即圆柱高的一半)为,
则,
则圆柱的高为,
则圆柱的体积,
当且仅当,即时,
圆柱的体积取最大值,且为.
故答案为:
.
点评:
本题主要考查球的截面的性质,考查圆柱的体积的最大值,运用三元均值不等式是解题的关键,属于中档题.
16.设椭圆的左、右焦点分别为、,其焦距为,为坐标原点,点满足,点是椭圆上的动点,且恒成立,则椭圆离心率的取值范围是 , .
解:
因为,所以在以原点为圆心,以为半径的圆上,设坐标为,
即满足的方程为:
,由题意可,
所以由恒成立可得,
可得,即恒成立,,
所以,整理可得:
,解得,又因为椭圆的离心率
故答案为:
,.
点评:
考查椭圆的性质,属于中档题.
三、解答题:
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:
共60分.
17.(12分)已知数列,,.
(1)求数列的通项公式;
(2)若,求数列前项和为.
解:
(1)依题意,由,可得
,
,
.
各项相加,可得
,
,
,.
(2)由
(1)知,.
故
.
点评:
本题主要考查已知递推公式用累加法求通项公式,以及用裂项相消法计算出数列前项和.考查了整体思想,转化思想的应用,逻辑思维能力和数学运算能力.本题属中档题.
18.(12分)某公司为了对某种商品进行合理定价,需了解该商品的月销售量(单位:
万件)与月销售单价(单位:
元件)之间的关系,对近6个月的月销售量和月销售单价,2,3,,数据进行了统计分析,得到一组检测数据如表所示:
月销售单价(元件)
4
5
6
7
8
9
月销售量(万件)
89
83
82
79
74
67
(1)若用线性回归模型拟合与之间的关系,现有甲、乙、丙三位实习员工求得回归直线方程分别为:
,和,其中有且仅有一位实习员工的计算结果是正确的.请结合统计学的相关知识,判断哪位实习员工的计算结果是正确的,并说明理由;
(2)若用模型拟合与之间的关系,可得回归方程为,经计算该模型和
(1)中正确的线性回归模型的相关指数分别为0.9702和0.9524,请用说明哪个回归模型的拟合效果更好;
(3)已知该商品的月销售额为(单位:
万元),利用
(2)中的结果回答问题:
当月销售单价为何值时,商品的月销售额预报值最大?
(精确到
参考数据:
.
解:
(1)已知变量,具有负相关关系,故乙不对.
,,
代入甲和丙的回归方程验证甲正确;
(2),且越大,残差平方和越小,拟合效果越好,
选用更好;
(3)由题意可知,,
即,则.
令,解得(舍去)或.
令,当时,单调递增,当,时,单调递减.
当时,商品的月销售额预报值最大,
,.
当时,商品的月销售额最大.
点评:
本题考查线性回归方程,训练了利用导数求最值,是中档题.
19.(12分)如图,四边形为长方形,,、分别为、的中点,将沿折到△的位置,将沿折到△的位置,使得平面底面,平面底面,连接.
(1)求证:
平面;
(2)求三棱锥的体积.
解:
(1)证明:
作于,作于点,
,,,
,为,的中点,且,
平面底面,平面底面,
,平面‘,底面,
同理:
底面,,
四边形是平行四边形,,
平面,平面,平面.
(2)解:
设点到平面’的距离为,连结,
,平面,平面,
平面,
到平面的距离与点到平面的距离相等,
为中点,,,
,,
平面底面,底面,
平面,
点到平面的距离为,
点到平面的距离,
,
三棱锥的体积.
点评:
本题考查线面垂直的证明,考查三村锥的体积求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
20.(12分)在平面直角坐标系中,过点的动圆恒与轴相切,为该圆的直径,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的任意直线与曲线交于点,为的中点,过点作轴的平行线交曲线于点,关于点的对称点为,除以外,直线与是否有其它公共点?
说明理由.
解:
(1)如图,过作轴的垂线,垂足为,交直线于,
设动圆的圆心为,半径为,则到轴的距离为,在梯形中,由中位线性质可得,
所以,又,
所以,
由抛物线的定义知,点是以为焦点,以直线为准线的抛物线,
所以曲线的方程为:
;
(2)由可得在求出上,
当直线的斜率存在时,设,,,,则,
的中点,,即,,
在方程中,令,得,所以,,
设,,由中点坐标公式可得,
又,代入化简,
所以,,
直线的斜率为:
,
所以直线的方程为:
①,
将代入①化简可得:
②,
将代入②式整理可得,△,
所以直线与抛物线相切,
所以除点外,直线与没有其他的公共点.
当直线的斜率不存在时.,,,,
直线的方程为:
代入抛物线的方程可得,△,
所以除点外,直线与没有其他的公共点.
综上所述,除点外直线与没有其他的公共点.
点评:
考查抛物线的定义,直线与抛物线的位置关系和中点坐标的关系,属于中难题
21.(12分)已知函数.
(1)当时,判断函数的单调性;
(2)讨论零点的个数.
解:
(1)时,,,
令,则,
易得函数在上单调递增,在上单调递减,
故
(1)即,
所以在上单调递减;
(2)由可得
(1),即为函数的一个零点,
设,则的零点个数即为的不为1的零点个数加上1,
当时,由
(1)知单调递减,且是的零点,故有且只有1个零点1;
当时,单调递增且
(1),
,,
因为,
所以,
综上可知,在上有1个零点且
(1),
所以有2个零点
又,所以当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的最大值,
又,且,,
所以在上有1个零点,在上有1个零点且也是零点,
此时共有3个零点,
又,所以当时,在上单调递增,在上单调递减,
故的最大值,
故没有零点,此时只有1个零点,
综上可得,当时,有1个零点;当时,有3个零点,当时,有2个零点.
点评:
本题主要
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