届新人教B版破解平面向量与其他知识的交汇问题课时作业.docx
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届新人教B版破解平面向量与其他知识的交汇问题课时作业
课时作业30 破解平面向量与其他知识的交汇问题
一、选择题
1.设a,b,c是非零向量.已知命题p:
若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:
若a∥b,b∥c,则a∥c,则下列命题中真命题是( )
A.p∨qB.p∧q
C.(┑p)∧(┑q)D.p∨(┑q)
解析:
对命题p中的a与c可能为共线向量,故命题p为假命题.由a,b,c为非零向量,可知命题q为真命题.故p∨q为真命题.故选A.
答案:
A
2.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cosy,siny)(0<x<y<π),若(3a-b)·(a+3b)=-4,则y-x的值为( )
A.B.
C.D.
解析:
(3a-b)·(a+3b)=3+8a·b-3=8cos(y-x)=-4,所以cos(y-x)=-,因为0 答案: C 3.已知O是△ABC所在平面上一点,若OA―→·OB―→=OB―→·OC―→=OC―→·OA―→,则O是△ABC的( ) A.内心B.重心 C.外心D.垂心 解析: OA―→·OB―→=OB―→·OC―→⇒OB―→·(OA―→-OC―→)=0,∴OB―→·CA―→=0⇒OB⊥AC.同理: OA⊥BC,OC⊥AB,∴O是△ABC的垂心. 答案: D 4.若|OA―→|=1,|OB―→|=4,OA―→·OB―→=2,OA―→+OB―→=OC―→,则△ABC的面积是( ) A.1B.2 C.D.2 解析: 因为OA―→+OB―→=OC―→,所以OA―→=OC―→-OB―→=BC―→,OB―→=OC―→-OA―→=AC―→,又|OA―→|=1,|OB―→|=4,所以|BC―→|=1,|AC―→|=4,OA―→·OB―→=2即BC―→·AC―→=2,设BC―→与AC―→的夹角为θ,易知θ与∠BCA为对顶角,所以θ=∠BCA.BC―→·AC―→=|BC―→|·|AC―→|cosθ=1×4cosθ=2,得cosθ=,所以cos∠BCA=,sin∠BCA=,所以S△ABC=|BC―→|·|AC―→|sin∠BCA=. 答案: C 5.已知A、B、C是单位圆O上任意不同的三点,若对于正数x,有OA―→=2OB―→+xOC―→,则x的取值范围为( ) A.(0,2]B.(1,3] C.[2,4]D.[3,5] 解析: 因为OA―→=2OB―→+xOC―→,所以xOC―→=OA―→-2OB―→,两边平方得x2=1+4-4cos∠AOB,又cos∠AOB∈[-1,1),所以x2∈(1,9],所以x∈(1,3]. 答案: B 6.已知x,y满足若OA―→=(x,1),OB―→=(2,y),且OA―→·OB―→的最大值是最小值的8倍,则实数a的值是( ) A.1B. C.D. 解析: 因为OA―→=(x,1),OB―→=(2,y),所以OA―→·OB―→=2x+y,令z=2x+y,依题意,不等式组所表示的可行域如图阴影部分表示,观察图象可知,当目标函数z=2x+y过点C(1,1)时,zmax=2×1+1=3,目标函数z=2x+y过点F(a,a)时,zmin=2a+a=3a,所以3=8×3a,解得a=,故选D. 答案: D 二、填空题 7.已知A,B,C为圆O上的三点,若AO―→=(AB―→+AC―→),则AB―→与AC―→的夹角为________. 解析: 由AO―→=(AB―→+AC―→)可得O为BC的中点,则BC为圆O的直径,即∠BAC=90°,故AB―→与AC―→的夹角为90°. 答案: 90° 8.已知向量m=(2x,-1),n=(x,lnx),若f(x)=m·n,则f(x)的单调递减区间为________. 解析: f(x)=m·n=2x2-lnx(x>0),所以令f′(x)=4x-=≤0,解得0<x≤. 答案: 9.已知单位向量OA―→与OB―→的夹角为60°,若|2OA―→-tOB―→|≥|2OA―→+OB―→|成立,则实数t的取值范围为________. 解析: 因为|2OA―→-tOB―→|≥|2OA―→+OB―→|,所以4-2t+t2≥4+2+1,所以t2-2t-3≥0,解得t≥3或t≤-1. 答案: {t|t≥3或t≤-1} 三、解答题 10.已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a+c,b-a),n=(a-c,b),且m⊥n. (1)求角C的大小. (2)若向量s=(0,-1),t=,试求|s+t|的取值范围. 解: (1)由题意得m·n=(a+c,b-a)·(a-c,b)=a2-c2+b2-ab=0,即c2=a2+b2-ab. 由余弦定理得cosC==.
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