北京市清华大学届高三数学中学生标准学术能力诊断性测试试题理文档格式.docx

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C.m与n平行D.m与n平行、相交、异面均有可能

3.复数z满足|z－1|＝|z＋3|，则|z|

A.恒等于1B.最大值为1，无最小值

C.最小值为1，无最大值D.无最大值，也无最小值

4.某几何体的三视图如图所示（单位：

cm），则该几何体的表面积（单位：

cm2）是

A.16B.32C.44D.64

5.已知x＋y>

0，则“2|x|＋x2>

2|y|＋y2”是“x>

0”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

6.函数y＝ln|x|·

cos（

－2x）的图像可能是

7·

已知两个不相等的非零向量

，

，满足|

|与

－

的夹角为60°

，则|

|的取值范围是

A.

B.

C.

D.

8.已知随机变量ξ的分布列为：

则下列说法正确的是

A.存在x，y∈（0，1），E（ξ）>

B.对任意x，y∈（0，1），E（ξ）≤

C.对任意x，y∈（0，1），D（ξ）≤E（ξ）D.存在x，y∈（0，1），D（ξ）>

9.设函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d（a，b，c，d∈R且a≠0），若0<

2f

（2）＝3f（3）＝4f（4）<

1，则f

（1）＋f（5）的取值范围是

A.（0，1）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

10.已知F1，F2分别为双曲线

的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是

11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°

，E，F分别是边AB，CD的中点，现将△ABC沿着对角线AC翻折，则直线EF与平面ACD所成角的正切值最大值为

12.己数列{an}满足a1＝1，an＋1＝lnan＋

＋1，记Sn＝[a1]＋[a2]＋·

·

＋[an]，[t]表示不超过t的最大整数，则S2019的值为

A.2019B.2018C.4038D.4037

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13.在[－2，2]上随机地取一个实数k，则事件“直线y＝kx与圆（x－5）2＋y2＝9相交”发生的概率为。

14.如图，在△ABC中，AB>

AC，BC＝

，A＝60°

，△ABC的面积等于

，则角平分线AD的长等于。

15.已知数列{an}满足an＋an＋1＝15－2n，其前n项和为Sn，若Sn≤S8恒成立，则a1的取值范围为。

16.已知P为椭圆C：

上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若

，则d＝。

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：

60分。

17.（12分）已知函数f（x）＝sinx－

cosx

（1）求函数f（x）的单调递增区间；

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若f（B）＝

，b＝3，求△ABC面积的最大值。

18.（12分）如图，已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，BC＝2AD，AD⊥CD，PD⊥平面ABCD，E为PB的中点。

（1）求证：

AE//平面PDC；

（2）若BC＝CD＝PD，求直线AC与平面PBC所成角的余弦值。

19.（12分）已知甲盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各取2个球。

（1）求取出的4个球中恰有1个红球的概率；

（2）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望。

20.（12分）如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P（4，0）。

（1）求M点的横坐标；

（2）求△PAB面积（用k表示）。

21.（12分）已知函数

。

（1）若a＝0，求函数f（x）的值域；

（2）设函数f（x）的两个零点为x1，x2，且x1≠x2，求证：

x1·

x2>

e2。

（二）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

作答时请写清题号。

22.[选修4－4：

坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为

，直线l的极坐标方程为

（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；

（2）若Q是曲线C上的动点，M为线段PQ的中点，直线l上有两点A，B，始终满足|AB|＝4，求△MAB面积的最大值与最小值。

23.[选修4－5：

不等式选讲]（10分）

已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3。

证明：

（1）ab＋bc＋ac≤3；

（2）