学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上期末数学理试题解析版.docx
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学年陕西省宝鸡市渭滨区高二上期末数学理试题解析版
2018-2019学年陕西省宝鸡市渭滨区高二(上)期末数学(理)试题
一、单选题
1.已知抛物线的准线方程为,则其标准方程为()
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】由准线方程,可直接得出抛物线方程.
【详解】
因为抛物线的准线方程为,
所以抛物线的焦点在轴正半轴上,且,即,
所以抛物线的方程为.
故选A
【点睛】
本题主要考查抛物线的方程,熟记抛物线的准线即可,属于基础题型.
2.双曲线的渐近线方程为()
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】由双曲线的方程,可直接得出渐近线方程.
【详解】
因为双曲线的方程为,
由得即为所求渐近线方程.
故选B
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程,熟记双曲线的简单性质即可,属于基础题型.
3.若为正实数,且,则的最小值为()
A.10B.8C.9D.6
【答案】C
【解析】由题意得到,再由基本不等式,即可求出结果.
【详解】
因为为正实数,且,
所以,
当且仅当,即时,等号成立.
故选C
【点睛】
本题主要考查由基本不等式求最值的问题,熟记基本不等式即可,属于常考题型.
4.已知在中,,,,若三角形有两解,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】根据三角形有两解,得到,即,结合题中数据,即可求出结果.
【详解】
因为在中,,,,若三角形有两解,
则有,即,即,
所以.
故选D
【点睛】
本题主要考查三角形解的个数的判断,熟记正弦定理即可,属于常考题型.
5.若等差数列的首项为1,公差为1,等比数列的首项为-1,公比为-2,则数列的前8项和为()
A.-49B.-219C.121D.291
【答案】C
【解析】先记等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,根据等差数列与等比数列的求和公式,结合题中条件,即可求出结果.
【详解】
因为等差数列的首项为1,公差为1,等比数列的首项为-1,公比为-2,
记等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,
则数列的前8项和为.
故选C
【点睛】
本题主要考查等差数列与等比数列的综合,熟记分组求和的方法,以及等差数列与等比数列的求和公式即可,属于常考题型.
6.设满足不等式组,若的最大值为,最小值为,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】先由得,表示斜率为,在轴截距为的直线;再由约束条件作出可行域,求出边界线的交点坐标,根据题中条件,结合图像,即可求出结果.
【详解】
由得,表示斜率为,在轴截距为的直线;
由约束条件作出可行域如下,
由解得;由解得,
因为的最大值为,最小值为,
所以显然当直线过点时,取得最大值;过点时,取得最小值;
因此只需,即,
解得
故选C
【点睛】
本题主要考查简单的线性规划问题,由目标函数的最值求参数,一般需要由约束条件作出可行域,根据目标函数的几何意义,结合图像即可求解,属于常考题型.
7.“”的一个充分但不必要的条件是( )
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】先解不等式,再由充分不必要条件的概念可知,只需找不等式解集的真子集即可.
【详解】
由解得,
要找“”的一个充分但不必要的条件,
即是找的一个子集即可,
易得,B选项满足题意.
故选B
【点睛】
本题主要考查命题的充分不必要条件,熟记充分条件与必要条件的定义即可,属于常考题型.
8.已知数列的前项和为,对任意正整数,,则下列关于的论断中正确的是()
A.一定是等差数列B.一定是等比数列
C.可能是等差数列,但不会是等比数列D.可能是等比数列,但不会是等差数列
【答案】C
【解析】试题分析:
若数列中所有的项都为0,则满足,所以数列可能为等差数列;由得:
,则,所以,另由得:
,即,所以数列不是等比数列。
故选C。
【考点】等差数列和等比数列的定义
点评:
本题利用了等差和等比数列的定义进行判断,解决本题容易出现差错的是,当得到式子时,就认为数列是等比数列,这是错误的,因为这个式子不包括首项。
9.若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于,则直线与平面所成的角等于( )
A.B.C.D.或
【答案】A
【解析】由线面角的概念,可知向量夹角与线面角互余,或者等于线面角余角的补角,进而可得求出结果.
【详解】
因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于,
所以直线与平面所成的角等于.
故选A
【点睛】
本题主要考查求直线与平面所成的角的,熟记线面角的概念即可,属于常考题型.
10.已知向量,,以为邻边的平行四边形的面积()
A.B.C.2D.1
【答案】A
【解析】先由向量夹角公式,求出的夹角余弦值,从而得到正弦值,再由三角形面积公式,即可求出结果.
【详解】
因为,,
所以,
所以,
因此以为邻边的平行四边形的面积为
故选A
【点睛】
本题主要考查向量的数量积运算,熟记向量夹角的坐标表示,以及向量模的坐标运算即可,属于常考题型.
二、填空题
11.已知的一个内角为,并且三边长成公差为2的等差数列,则的周长为________.
【答案】15
【解析】先由题意设三角形三边长依次为,其中,再由最大内角为,结合余弦定理,即可求出,从而可得出结果.
【详解】
因为三边长成公差为2的等差数列,
所以可设三角形三边长依次为,其中,
又的一个内角为,即所对的角为,
由余弦定理可得:
,
解得.
所以周长为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查解三角形,熟记余弦定理即可,属于常考题型.
12.焦距为2,短轴长为4,且焦点在轴上的椭圆的标准方程为________.
【答案】
【解析】由题意得到,,再由求出,根据焦点在轴上,即可得出结果.
【详解】
因为椭圆的焦距为2,短轴长为4,
所以,,
因此,
又该椭圆的焦点在轴上,
所以该椭圆的标准方程为.
故答案为
【点睛】
本题主要考查椭圆标准方程的求法,根据求出椭圆的标准方程,熟记椭圆标准方程即可,属于基础题型.
13.已知向量,,若,则________.
【答案】1
【解析】由向量垂直,得到向量数量积为0,结合题中条件,列出方程,求解,即可得出结果.
【详解】
因为向量,,若,
则,即,解得.
故答案为
【点睛】
本题主要考查由向量垂直求参数的问题,熟记向量垂直的坐标表示即可,属于常考题型.
14.设数列是公差不为0的等差数列,为数列前项和,若,,则的值为______.
【答案】
【解析】先设等差数列的公差为,根据,,求出公差,即可得出结果.
【详解】
设等差数列的公差为,
因为,所以,
又,
所以,整理得,
解得或,
因为数列是公差不为0,所以,
因此.
故答案为
【点睛】
本题主要考查等差数列基本量的运算,熟记等差数列的通项公式与求和公式即可,属于常考题型.
三、解答题
15.设数列满足.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列的前项和为,求.
【答案】
(1).
(2)
【解析】
(1)由,求出时的通项,再检验时,是否满足所求通项公式即可;
(2)由
(1)得到,用裂项相消法,即可求出结果.
【详解】
(1)因为,所以当时,,
所以,即,
当时,满足,所以.
(2)由
(1)知,
所以.
【点睛】
本题主要考查等差数列的通项公式,以及裂项相消法求数列的和,熟记递推关系式,以及裂项的常见形式即可,属于常考题型.
16.已知的内角满足.
(1)求角;
(2)若的外接圆半径为1,求的面积的最大值.
【答案】
(1).
(2)
【解析】
(1)先设内角所对的边分别为,由题意中条件,根据正弦定理得到,再由余弦定理,即可求出角;
(2)先由的外接圆半径为1,结合正弦定理得到,再由余弦定理,结合基本不等式,可得,从而可得三角形面积的最大值.
【详解】
(1)设内角所对的边分别为,
由可得,
所以,
又因为,所以.
(2)因为的外接圆半径为1,
所以有,即,
由余弦定理可得
即,
即,所以(当且仅当时取等号).
【点睛】
本题主要考查解三角形,熟记正弦定理与余弦定理,以及基本不等式即可,属于常考题型.
17.某种设备购置费为10万元,每年的设备管理费共计1万元,这种设备的维修费各年为:
第一年1千元,第二年3千元,第三年5千元,而且以后以每年2千元的增量逐年递增.问这种设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)?
【答案】使用10年报废最合算,年平均费用为3万元.
【解析】先设使用年的年平均费用为万元,根据题意得到,化简整理,根据基本不等式求最值即可,属于常考题型.
【详解】
解:
设这种设备使用年的年平均费用为万元,
由已知得:
由基本不等式知:
,
当且仅当即时取“等号”,
因此使用10年报废最合算,年平均费用为3万元.
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用,熟记基本不等式即可,属于常考题型.
18.如图,已知菱形和矩形所在的平面互相垂直,,.
(1)求直线与平面的夹角;
(2)求点到平面的距离.
【答案】
(1).
(2)
【解析】设,以点为坐标原点,以为轴,为轴,过点且平行于的方向为轴正方向,建立空间坐标系,
(1)由题意,求出直线的方向向量,平面的一个法向量,由向量夹角,即可得到直线与平面夹角;
(2)先求出平面的一个法向量,由点到平面的距离,即可求出结果.
【详解】
设,因为菱形和矩形所在的平面互相垂直,所以易得平面;以点为坐标原点,以为轴,为轴,过点且平行于的方向为轴正方向,建立空间坐标系,
(1)由已知得:
,,,,
因为轴垂直于平面,
因此可令平面的一个法向量为,又,
设直线与平面的夹角为,
则有,
即,
所以直线BF与平面ABCD的夹角为.
(2)因为,,
设平面的法向量为,
,令得,
又因为,
所以点到平面的距离.
【点睛】
本题主要考查求直线与平面所成的角,以及点到平面的距离问题,灵活运用空间向量的方法求解即可,属于常考题型.
19.已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点的直线与椭圆相交于、两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若以为直径的圆过坐标原点,求的值.
【答案】
(1);
(2)
【解析】
(1)由离心率得到,由椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,得到,进而可求出结果;
(2)先由题意,得直线的斜率存在,设直线的方程为,联立直线与椭圆方程,设,根据韦达定理,得到,,再由以为直径的圆过坐标原点,得到,进而可求出结果.
【详解】
(1)由题意知,
∴,即,
又双曲线的焦点坐标为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,
所以,∴,
故椭圆的方程为.
(2)解:
由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为
由得:
由得:
设,则,,
∴
因为以为直径的圆过坐标原点,
所以,
.满足条件
故.
【点睛】
本题主要考查椭圆的方程,以及椭圆的应用,熟记椭圆的标准方程,以及椭圆的简单性质即可,解决此类问题时,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于常考题型.
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