届山西省长治市高三下学期在线综合测试数学文试题解析.docx
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届山西省长治市高三下学期在线综合测试数学文试题解析
绝密★启用前
2020届山西省长治市高三下学期(3月在线)综合测试数学(文)试题
注意事项:
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1.已知集合,,则()
A.B.C.D.
答案:
C
计算,再计算交集得到答案.
解:
,.
故选:
C.
点评:
本题考查了交集的运算,属于简单题.
2.已知为虚数单位,,则复数的虚部为()
A.B.C.2D.
答案:
D
由复数的除法运算求出,进而得出,即可得出结果.
解:
因为,所以,所以虚部为.
故选D
点评:
本题主要考查复数的运算,熟记运算法则即可,属于基础题型.
3.函数的图象()
A.关于原点对称B.关于点对称
C.关于直线对称D.关于点对称
答案:
D
令,解得,得到答案.
解:
函数中,令,解得;
令得,所以的图象关于原点对称,D正确.
代入验证知错误.
故选:
D.
点评:
本题考查了正切函数的对称中心,意在考查学生的计算能力.
4.根据党中央关于“精准”脱贫的要求,某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研,每个县区派一位专家,则甲专家恰好派遣至县区的概率为()
A.B.C.D.
答案:
B
列出所有情况共有6种,满足条件的有两种情况,得到概率.
解:
某市农业经济部门派三位专家对、、三个县区进行调研,每个县区派一位专家,故调研的情况的基本事件总数为,,,,,,六种情况,
甲专家恰好派遣至县区的情况为,,两种情况,
则甲专家恰好派遣至县区的概率为:
.
故选:
B.
点评:
本题考查了概率的计算,意在考查学生的计算能力和应用能力.
5.已知向量,满足,,,则在上的投影为()
A.1B.C.2D.
答案:
A
计算,再根据投影公式计算得到答案.
解:
向量,满足,∴,可得,
则在上的投影为.
故选:
A.
点评:
本题考查了向量的投影,意在考查学生的计算能力和对于投影概念的理解..
6.已知椭圆与双曲线的焦点相同,则椭圆的离心率为()
A.B.C.D.
答案:
A
根据题意得到,得到,得到离心率.
解:
椭圆的半焦距,
双曲线的半焦距,
由题意可得,即,
∴椭圆的离心率为.
故选:
A.
点评:
本题考查了椭圆离心率,双曲线焦点,意在考查学生的计算能力和转化能力.
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该几何体的体积为()
A.B.C.D.
答案:
B
该几何体是如图所示的三棱锥,计算体积得到答案.
解:
根据三视图知,该几何体是如图所示的三棱锥,
结合图中数据,计算该三棱锥的体积为:
.
故选:
B.
点评:
本题考查了根据三视图求体积,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
8.已知,满足约束条件,则目标函数的最大值为()
A.2B.C.D.13
答案:
D
画出可行域,目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,计算得到答案.
解:
由已知得到可行域如图:
目标函数的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方,
由图得知,是距离原点最远的点,由得到,
所以目标函数的最大值为.
故选:
D.
点评:
本题考查了线性规划问题,将目标函数转化为点到原点的距离的平方是解题的关键.
9.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:
把阳爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦所代表的数表示如下:
卦名
符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤
000
0
震
001
1
坎
010
2
兑
011
3
依此类推,则六十四卦中的“井”卦,符号“”表示的十进制数是()
A.11B.18C.22D.26
答案:
C
根据题意井卦表示二进制数的010110,计算得到答案.
解:
六十四卦中符号“”表示二进制数的010110,
转化为十进制数的计算为.
故选:
C.
点评:
本题考查了二进制,意在考查学生的计算能力和理解能力.
10.执行如图所示的程序框图,若输入的依次为,,,则输出的为()
A.B.C.D.
答案:
A
根据程序框图知:
、、中最大的数用表示后输出,比较大小得到答案.
解:
由题意可知、、中最大的数用表示后输出,
若输入的,,依次为,
利用指数函数的性质可得,,故最大的数为,
故选:
A.
点评:
本题考查了程序框图,理解程序框图表示的意义是解题的关键.
11.已知函数,若函数恰有2个零点,则的取值范围是()
A.B.C.D.
答案:
C
函数在原点处的切线斜率为,函数在原点处的切线斜率为,根据图像得到答案.
解:
函数恰有2个零点,即函数与的图象有2个交点,
可知直线过原点,函数的导数是,
可知函数在原点处的切线斜率为,
函数的导数是,可知函数在原点处的切线斜率为,
由图象可知,直线的斜率时有2个零点.
故选:
C.
点评:
本题考查了零点问题,意在考查学生的计算能力和综合应用能力,画出函数图像是解题的关键.
12.已知动点到点的距离与到轴距离之和为3,动点在直线上,则两点距离的最小值是()
A.B.C.D.
答案:
B
根据定义知动点的轨迹方程为抛物线,计算,根据二次函数性质得到最值.
解:
设动点,
当时,到轴距离与到直线的距离之和为3,
由抛物线定义得:
动点满足:
,
同理,当时,到轴与到直线的距离之和为3,
由抛物线定理得:
动点满足:
,
当到直线距离最小时,,
到的距离:
,
当时,取最小值.
故选:
B.
点评:
本题考查了抛物线的轨迹方程,距离的最值,意在考查学生的计算能力和转化能力.
二、填空题
13.cos75°-cos15°的值等于_________.
答案:
解:
原式=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)
=cos45°cos30°-sin45°sin30°-(cos45°cos30°+sin45°sin30°)
=-2sin45°sin30°=-.
14.已知定义在上的函数满足,且的图象与的图象有四个交点,则这四个交点的横纵坐标之和等于___________.
答案:
8
确定的图象关于点对称,函数的图象关于点对称,得到答案.
解:
,故,即的图象关于点对称,
又函数满足,则函数的图象关于点对称,
所以四个交点的横纵坐标之和为8.
故答案为:
8.
点评:
本题考查了函数的交点问题,确定函数关于点对称是解题的关键.
15.已知球的直径,,是该球球面上的两点,,,则棱锥的体积为________.
答案:
设圆心为,连结,,由是球的直径,得到,证明平面,计算体积得到答案.
解:
设圆心为,连结,,由是球的直径,得到,
∵,∴,∴平面,
∴棱锥的体积为:
.
故答案为:
.
点评:
本题考查了三棱锥的体积,意在考查学生的计算能力和空间想象能力.
16.在中,角、、所对的边分别为、、,已知,,则面积的最大值是_________.
答案:
根据正弦定理得到,再根据余弦定理和均值不等式得到,得到面积最值.
解:
因为,
由正弦定理可得,,
即,所以,
因为,所以,
由余弦定理可得,,
所以,当且仅当时取等号,所以,
所以,即面积的最大值.
故答案为:
.
点评:
本题考查了正弦定理,余弦定理,面积公式,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
三、解答题
17.在公差大于1的等差数列中,,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
答案:
(1);
(2)
(1)直接根据等差数列公式和等比中项计算得到答案.
(2),根据裂项求和计算得到答案.
解:
(1)设数列的公差为,
∵,且,,成等比数列,∴,
解得:
,则,∴;
(2),
∴.
点评:
本题考查了等差数列通项公式,裂项求和,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.
18.如图,在四棱锥中,底面是矩形,平面,且,,点为线段的中点.
(1)求证:
;
(2)求三棱锥的体积.
答案:
(1)见解析;
(2)1
(1)证明,,得到平面,得到证明.
(2)根据计算得到答案.
解:
(1)证明:
∵平面,∴,又在矩形中,,
∴平面,∵平面,∴,
又∵,为中点,∴,∴平面,∴;
(2)∵点为线段的中点.
∴.
点评:
本题考查线线垂直,三棱锥体积,意在考查学生计算能力,推断能力,空间想象能力.
19.为了丰富学生的课外文化生活,某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式,取得了良好的效果.为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关,学校对200名学生做了问卷调查,列联表如下:
参加文体活动
不参加文体活动
合计
学习积极性高
80
学习积极性不高
60
合计
200
已知在全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为.
(1)请将上面的列联表补充完整;
(2)是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关?
请说明你的理由;
(3)若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,再从所选出的5人中随机选取2人,求至少有1人学习积极性不高的概率.
附:
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
,其中.
答案:
(1)表格见解析;
(2)有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关,理由见解析;(3)
(1)计算学习积极性不高的有人,完善列联表得到答案.
(2),对比临界值表得到答案.
(3)有2人学习积极性高,设为、,有3人学习积极性不高,设为、、,列出所有情况,统计满足条件的情况,得到概率.
解:
(1)根据题意,全部200人中随机抽取1人,抽到学习积极性不高的学生的概率为,
则学习积极性不高的有人,
据此可得:
列联表如下:
参加文体活动
不参加文体活动
合计
学习积极性高
80
40
120
学习积极性不高
20
60
80
合计
100
100
200
(2)根据题意,由列联表可得:
;
故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关;
(3)根据题意,从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人,有2人学习积极性高,设为、,有3人学习积极性不高,设为、、,从中选取2人,
有、、、、、、、、、,共10种情况,
其中至少有1人学习积极性不高的有、、、、、、、、,共9种情况,
至少有1人学习积极性不高的概率.
点评:
本题考查了列联表,独立性检验,概率的计算,意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.已知椭圆,点、、在椭圆上,直线与直线的斜率之积.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)已知直线点关于直线的对称点是,求证:
过点,的直线恒过定点.
答案:
(1);
(2)见解析
(1)计算,根据得到,得到椭圆方程.
(2)直线为,计算得到的坐标,,得到,得到答案.
解:
(1)椭圆,点,,、在椭圆上,直线与直线的斜率之积,
得,由,联立得,
所以椭圆的标准方程为:
;
(2)证明:
由
(1)直线为,设的坐标为,
则,
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