数值计算课后答案2.docx
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数值计算课后答案2.docx
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数值计算课后答案2
习题二解答
1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间[3,4]的根,精确到10-3,即误差不超过。
分析:
精确到10-3与误差不超过10-3不同。
解:
因为f(3)=-10<0,f(4)=9>0,所以,方程在区间[3,4]上有根。
由
有2n-1>1000,又为210=1024>1000,
所以n=11,即只需要二分11次即可。
列表讨论如下:
n
an
bn
xn
f(xn)的符号
1
3
4
3.500
-
2
3.500
4
3.750
+
3
3.500
3.750
3.625
-
4
3.625
3.750
3.688
+
5
3.625
3.688
3.657
+
6
3.625
3.657
3.641
+
7
3.625
3.641
3.633
+
8
3.625
3.633
3.629
-
9
3.629
3.633
3.631
-
10
3.631
3.633
3.632
+
11
3.631
3.632
3.632
-
x*≈x11=3.632。
指出:
(1)注意精确度的不同表述。
精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。
(2)在计算过程中按规定精度保留小数,最后两次计算结果相同。
如果计算过程中取4位小数,结果取3位,则如下表:
n
an
bn
xn
f(xn)的符号
1
3
4
3.5000
-
2
3.5000
4
3.7500
+
3
3.5000
3.7500
3.6250
-
4
3.6250
3.7500
3.6875
+
5
3.6250
3.6875
3.6563
+
6
3.6250
3.6563
3.6407
+
7
3.6250
3.6407
3.6329
+
8
3.6250
3.6329
3.6290
-
9
3.6290
3.6329
3.6310
-
10
3.6310
3.6329
3.6320
+
11
3.6310
3.6320
3.6315
-
(3)用九韶算法计算f(xn)比较简单。
1*.求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。
解:
令,
则
当时,有。
函数单调区间列表分析如下:
x
(-∞,)
2
(2,+∞)
y/
+
0
-
0
+
y
-15
因为,所以方程在区间上无根;
因为,而函数在上单调增,函数值不可能变号,所以方程在该区间上无根;
因为,函数在(2,+∞)上单调增,所以方程在该区间上最多有一个根,
而(3)=-10<0,y(4)=9>0,所以方程在区间(3,4)有一个根。
所以,该方程有一个根,隔根区间是(3.4)。
2.证明在[0,1]有一个根,使用二分法求误差不大于的根,需要迭代多少次?
分析:
证明方程在指定区间有一个根,就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。
解:
令,
因为,
则,
由零点定理,函数f(x)在[0,1]区间有一个根。
由
有2n-1>10000,又为210=1024,213=8192<10000,214=16384>10000
所以n=15,即需要二分15次。
指出:
要证明的是有一个解而不是唯一解,因此不必讨论单调性。
3.试用迭代公式,求方程的根,要求精确到。
分析:
精确到即误差不超过
解:
令
列表进行迭代如下:
0
1
-7
1
1.53846
3.75964
2
1.29502
-1.52380
3
1.40182
0.70311
4
1.35421
-0.30667
5
1.37530
0.13721
6
1.36593
-0.06067
7
1.37009
0.02705
8
1.36824
-0.01198
9
1.36906
0.00531
10
1.36870
-0.00228
11
1.36886
0.00110
12
1.36879
-0.00038
13
1.36882
0.00025
14
1.36881
15
1.36881
指出:
精确到可以从两个方面判定。
第一,计算过程中取小数到位,最后两个计算结果相同,终止计算。
第二,计算过程中取小数到,当终止计算。
本题采用第一种方法。
4.将一元非线性方程写成收敛的迭代公式,并求其在附近的根,要求精确到。
解:
改写为,则
,设
有
在处,因为
所以迭代法在的邻域收敛。
列表迭代如下:
0
0.5
1
0.71
2
0.69
3
0.69
此时。
5.为求方程在附近的一个根,设将方程改为下列等价形式,并建立相应的迭代公式:
试分析每种迭代公式的收敛性,并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。
解:
(1)因为,所以迭代函数为,则
,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有局部收敛性。
(2)因为,所以迭代函数为,则
满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。
(3)因为,所以迭代函数为,则
,
不满足收敛性条件,所以迭代公式
不具有收敛性。
用迭代公式列表计算如下:
0
1.5
1
1.444
2
1.480
3
1.457
4
1.471
5
1.462
6
1.468
7
1.464
8
1.467
9
1.465
10
1.466
11
1.465
所以,方程的近似根为。
6.设,应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性?
解:
设C为常数,因为,所以,要使迭代公式具有局部收敛性,需,此时即有,也即
。
即只要C取满足如上条件的常数,就可以使得迭代公式具有局部收敛性。
指出:
本题的一般形式为:
设,应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性?
显然,是迭代格式相应的迭代函数,因此该迭代格式要求解的方程是。
也就是说,这是如何选择C,构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。
因为,所以,
要使迭代格式收敛,需
解之得,
即C与异号,且。
下面的讨论利用了本题的特殊条件,求出了具体的结果:
因为,所以当时,有,则,即函数的不动点为。
而,
根据局部收敛性定理,
当时,迭代格式收敛到;
当时,迭代格式收敛到。
7.用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根,要求。
解:
因为
所以有,相应的迭代公式为
取x0=2为迭代的初始近似值。
迭代的结果列表如下:
k
0
1
2
3
xk
2
1.8889
1.8795
1.8794
因为,符合计算的精度要求,所以
。
8.用牛顿法解方程,导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。
用此公式求0.324的倒数,设初始值,要求计算有5位有效数字。
解:
对于方程,有,相应的迭代公式为
。
应用该迭代公式求0.324的倒数,列表计算如下
0
3
1
3.084
2
3.0864
3
3.0864
所以。
指出:
如果将方程改写为等价的,则有,相应的迭代公式为
无法展开迭代。
9.设a为已知数,试用牛顿法导出求的迭代公式,并求极限
。
解:
设a为正实数,n为自然数,由牛顿法,方程的解为
此即求的迭代公式。
由此,则
指出:
本题中,表面上是的问题,但实际上却是的问题,才是极限过程中实际的变量。
本质上。
本题实际上是求极限
由于讨论的是型不定式,且不定式的分母上有2次的“0”因子,因此两次应用罗必塔法则。
解二:
首先证明一个定理:
定理:
设,又设f(x)在的某个邻域具有连续的二阶导数,则牛顿迭代法具有局部收敛性,且有。
。
证明:
因为
所以
因为f(x)在邻域具有连续的二阶导数,所以在邻域连续,且
由局部收敛性定理,牛顿迭代法具有局部收敛性。
对求导,根据条件有
由收敛阶定理,若,则,牛顿迭代法二阶收敛,若,则,牛顿迭代法有更高的收敛阶。
因为牛顿迭代法有二阶收敛性,所以
。
显然
如果是方程f(x)=0的单根,则,且。
此时,则,
可见定理中的条件“”可以等价替换为“是方程f(x)=0的单根”
对本题来说,
,是方程的单根,
所以
则
。
指出:
应用分组分解法进行因式分解,分子、分母约去“0”因子,就可以按连续函数的极限性质求解了。
10.用快速弦截求方程在初始值邻近的实根(取,要求精确到)。
解:
因为
所以有,相应的迭代公式为
取x0=2为迭代的初始近似值。
迭代的结果列表如下:
k
xk
xk-xk-1
f(xk)
f(xk)-f(xk-1)
0
2
1
1
1.9
-0.1
0.159
-0.841
2
1.8811
-0.0189
0.0130
-0.146
3
1.8794
-0.0017
0.0001
-0.0129
4
1.8794
因为,符合计算的精度要求,所以
。
指出:
本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法(割线法),而它所说弦截法是通常的单点弦截法。
11、分别用下列方法求方程在邻近的根,要求有三位有效数字。
(1)用牛顿法,取;
(2)用弦截法,取;
(3)用快速弦截法,取。
解:
方程变形为,
则。
牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为
(1)牛顿法
;
(2)弦截法
;
(3)快速弦截法
。
取3位有效数字,分别计算得
k
xk
牛顿法
弦截法
快速弦截法
0
0.785
0.785
0.785
1
1.59
1.57
1.57
2
1.41
1.33
1.33
3
1.39
1.40
1.38
4
1.39
1.38
1.40
5
1.39
1.39
6
1.38
1.39
补充题
(一)
1、确定方程x5+x-10=0的根的个数,找出隔根区间。
2、用二分法求方程f(x)=x3+2x-5=0在[2,3]的根的近似值,要求误差不超过0.005。
3、用二分法求方程f(x)=x3-2x-5=0在[2,3]的根的近似值,要求误差不超过0.05。
4、用二分法求方程的非零实近似根,使误差不超过10-2。
5、分析方程的根的分布情况,并用二分法求正根的近似值,使误差不超过10-2。
6、估计用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在[1,2]的根的近似值,为使误差不超过10-5时所需要的二分次数。
分析与解答
1、令,
显然,而且函数没有不可导点,
所以,函数在区间上是单调增的,
故方程最多有一个根。
因为,
所以方程在(0,2)区间有一个根,(0,2)即为方程的隔根区间。
2、因为f
(2)=7>0,f(3)=28>0,实际上本方程在指定围无根。
但如果不加判定,也可以计算出一个值来。
所以,用二分法求方程的根必须先行判定。
要特别注意的是,完整的二分法的过程是,第一步代入初值,第二步判断是否有解,第三步在有解的前提下求出解来。
不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的,同样地,如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。
3、因为f
(2)=-1<0,f(3)=16>0,所以方程在区间上有解。
,所以,2n>20
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