课堂新坐标高考数学理科山东专版二轮专题复习练习24不等式与线性规划含答案解析.docx
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课堂新坐标高考数学理科山东专版二轮专题复习练习24不等式与线性规划含答案解析
突破点20 不等式与线性规划
提炼1
基本不等式的常用变形
(1)a+b≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a2+b2≥2ab,ab≤2(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(3)+≥2(a,b同号且均不为零),当且仅当a=b时,等号成立.
(4)a+≥2(a>0),当且仅当a=1时,等号成立;a+≤-2(a<0),当且仅当a=-1时,等号成立.
(5)a>0,b>0,则≥≥≥,当且仅当a=b时取等号.
提炼2
利用基本不等式求最值
已知a,b∈R,则
(1)若a+b=S(S为定值),则ab≤2=,当且仅当a=b时,ab取得最大值;
(2)若ab=T(T为定值,且T>0),则a+b≥2=2,当且仅当a=b时,a+b取得最小值2.
提炼3
求目标函数的最优解问题
(1)“斜率型”目标函数z=(a,b为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点的连线的斜率取最值时的可行解.
(2)“两点间距离型”目标函数z=(a,b为常数),最优解为点(a,b)与可行域上点之间的距离取最值时的可行解.
提炼4
线性规划中的参数问题的注意点
(1)当最值已知时,目标函数中的参数往往与直线斜率有关,解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.
(2)当目标函数与最值都已知,且约束条件中含有参数时,因为平面区域是变动的,所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口,先确定最优解,然后变动参数范围,使得这样的最优解在该区域内即可.
专题限时集训(二十) 不等式与线性规划
[A组 高考题、模拟题重组练]
一、基本不等式
1.(2016·日照一模)若实数x,y满足xy>0,则+的最大值为( )
A.2- B.2+
C.4+2D.4-2
D [+==1+
=1+.
由xy>0,得>0,>0,从而+≥2,
所以≤=3-2,
所以+≤4-2,故选D.]
2.(2016·长沙一模)若实数a,b满足+=,则ab的最小值为( )
A.B.2
C.2D.4
C [依题意知a>0,b>0,则+≥2=,当且仅当=,即b=2a时,“=”成立,因为+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值为2,故选C.]
3.(2016·东营一模)若2x+4y=4,则x+2y的最大值是________.
【导学号:
67722077】
2 [因为4=2x+4y=2x+22y≥2=2,所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,当且仅当2x=22y=2,即x=2y=1时,x+2y取得最大值2.]
4.(2016·江苏高考)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是________.
8 [在锐角三角形ABC中,∵sinA=2sinBsinC,
∴sin(B+C)=2sinBsinC,
∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,等号两边同除以cosBcosC,得tanB+tanC=2tanBtanC.
∴tanA=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)==.①
∵A,B,C均为锐角,
∴tanBtanC-1>0,∴tanBtanC>1.
由①得tanBtanC=.
又由tanBtanC>1得>1,∴tanA>2.
∴tanAtanBtanC=
=
=(tanA-2)++4≥2+4=8,当且仅当tanA-2=,即tanA=4时取得等号.
故tanAtanBtanC的最小值为8.]
二、线性规划问题
5.(2016·山东高考)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是
( )
A.4B.9
C.10D.12
C [作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x2+y2表示平面区域内的点到原点距离的平方,由得A(3,-1),由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2=10.故选C.]
6.(2016·浙江高考)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )
A.B.
C.D.
B [根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为1的直线分别过A点和B点时满足条件,联立方程组求得A(1,2),联立方程组求得B(2,1),可求得分别过A,B点且斜率为1的两条直线方程为x-y+1=0和x-y-1=0,由两平行线间的距离公式得距离为=,故选B.]
7.(2016·北京高考)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x-y的最大值为( )
A.-1 B.3
C.7 D.8
C [作出线段AB,如图所示.
作直线2x-y=0并将其向下平移至直线过点B(4,1)时,2x-y取最大值为2×4-1=7.]
8.(2016·全国丙卷)设x,y满足约束条件则z=2x+3y-5的最小值为________.
-10 [画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由题意可知,当直线y=-x++过点A(-1,-1)时,z取得最小值,即zmin=2×(-1)+3×(-1)-5=-10.]
9.(2016·全国乙卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.
216000 [设生产A产品x件,B产品y件,则
目标函数z=2100x+900y.
作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0).
当直线z=2100x+900y经过点(60,100)时,z取得最大值,zmax=2100×60+900×100=216000(元).]
10.(2015·全国卷Ⅰ)若x,y满足约束条件则的最大值为________.
3 [画出可行域如图阴影所示,∵表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率,
∴点(x,y)在点A处时最大.
由得
∴A(1,3).
∴的最大值为3.]
[B组 “10+5”模拟题提速练]
一、选择题
1.(2016·德州一模)不等式|x+1|-|x-5|<4的解集为( )
A.(-∞,4)B.(-∞,-4)
C.(4,+∞)D.(-4,+∞)
A [当x<-1时,原不等式可化为-(x+1)+(x-5)<4,即-6<4,恒成立,∴x<-1.
当-1≤x<5时,原不等式可化为(x+1)+(x-5)<4,即2x-4<4,
解得x<4,∴-1≤x<4.
当x≥5时,原不等式可化为(x+1)-(x-5)<4,即6<4不成立,此时不等式无解.
综上知,原不等式的解集为(-∞,4).]
2.(2016·长春一模)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(ex)>0的解集为( )
A.{x|x<-1或x>-ln3}
B.{x|-1<x<-ln3}
C.{x|x>-ln3}
D.{x|x<-ln3}
D [f(x)>0的解集为,
则由f(ex)>0得-1<ex<,
解得x<-ln3,即f(ex)>0的解集为{x|x<-ln3}.]
3.(2016·武汉联考)已知g(x)是R上的奇函数,当x<0时,g(x)=-ln(1-x),函数f(x)=若f(2-x2)>f(x),则实数x的取值范围是( )
A.(-∞,1)∪(2,+∞)
B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(1,2)
D.(-2,1)
D [设x>0,则-x<0,所以g(-x)=-ln(1+x),因为g(x)是R上的奇函数,所以g(x)=-g(-x)=ln(1+x),所以f(x)=易知f(x)是R上的单调递增函数,所以原不等式等价于2-x2>x,解得-2<x<1.故选D.]
4.(2016·重庆一模)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是( )
A.6+2B.7+2
C.6+4D.7+4
D [由log4(3a+4b)=log2,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=,由a>0,得b>3.
∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值为7+4.]
5.(2016·烟台二模)已知x,y满足线性约束条件则目标函数z=的最小值为( )
A.B.
C.D.
A [由约束条件作出可行域如图,
B(0,4),P(-1,-2),
由图可知,过PB的直线的斜率大于0且最大,
即kPB==6,
∴目标函数z=的最小值为=,故选A.]
6.(2016·临沂一模)若x,y满足不等式组则z=|x-3|+2y的最小值为( )
A.4B.
C.6D.7
B [由题意作出其平面区域如图,
易知A(0,2),B(5,3),C(3,5),D.
z=|x-3|+2y=
当x≥3时,z=x+2y-3在点D处取得最小值为,
当x<3时,z=-x+2y+3>,
故z=|x-3|+2y的最小值为,
故选B.]
7.(2016·贵阳模拟)若变量x,y满足约束条件则(x-2)2+y2的最小值为( )
A.B.
C.D.5
D [作出不等式组对应的平面区域如图,
设z=(x-2)2+y2,则z的几何意义为区域内的点到定点D(2,0)的距离的平方,由图知C,D间的距离最小,此时z最小.
由得即C(0,1),
此时zmin=(x-2)2+y2=4+1=5,故选D.]
8.(2016·石家庄模拟)已知x,y满足约束条件若目标函数z=y-mx(m>0)的最大值为1,则m的值是( )【导学号:
67722079】
A.-B.1
C.2D.5
B [作出可行域,如图所示的阴影部分.
∵m>0,∴当z=y-mx经过点A时,z取最大值,由解得即A(1,2),∴2-m=1,解得m=1.故选B.]
9.(2016·江西师大附中模拟)若关于x,y的不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形,则其表示的区域面积为( )
A.1或B.或
C.1或D.或
D [可行域由三条直线x=0,x+y=0,kx-y+1=0所围成,因为x=0与x+y=0的夹角为,所以x=0与kx-y+1=0的夹角为或x+y=0与kx-y+1=0的夹角为.当x=0与kx-y+1=0的夹角为时,可知k=1,此时等腰三角形的直角边长为,面积为;当x+y=0与kx-y+1=0的夹角为时,k=0,此时等腰三角形的直角边长为1,面积为,所以选D.]
10.(2016·泰安模拟)设正实数x,y,z满足x2-3xy+4y2-z=0,则当取得最小值时,x+2y-z的最大值是( )
A.0B.
C.2D.
C [==-3+≥2-3=1,当且仅当=,即x=2y时等号成立.
此时z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3·2y·y+4y2=2y2.
∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2,
∴当y=1,x=2,z=2时,x+2y-z取最大值,最大值为2,故选C.]
二、填空题
11.(2016·枣庄一模)若函数f(x)=|x+1|+|x+a|的最小值为1,则实数a的值为________.
0或2 [由|x+1|+|x+a|≥|(x+1)-(x+a)|=|1-a|,
得|1-a|=1,解得a=
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