北京市中考数学专题突破八代数综合含答案.docx
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北京市中考数学专题突破八代数综合含答案
专题突破(八) 代数综合
方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容,在北京中考试卷中,2015年代数综合题出现在第27题,分值为7分.代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点,用到的数学思想、方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代入法、待定系数法、配方法等.
2011-2015年北京代数综合题考点对比
年份
2011
2012
2013
2014
2015
考点
根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式
根的判别式、求根、确定二次函数和一次函数解析式、二次函数和一次函数图象的平移、利用函数图象求取值范围
二次函数的性质、一次函数图象如何变换、二次函数图象上点的坐标特征
确定二次函数解析式、二次函数图象的性质、利用图象求取值范围
求交点坐标、对称点坐标、确定二次函数解析式及顶点坐标,利用图象求取值范围
1.[2015·北京]在平面直角坐标系xOy中,过点(0,2)且平行于x轴的直线与直线y=x-1交于点A,点A关于直线x=1的对称点为B,抛物线C1:
y=x2+bx+c经过点A,B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求抛物线C1的函数解析式及顶点坐标;
(3)若抛物线C2:
y=ax2(a≠0)与线段AB恰有一个公共点,结合函数的图象求a的取值范围.
2.[2014·北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4).
(1)求抛物线的函数解析式及对称轴;
(2)设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上的一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象G(包含A,B两点).若直线CD与图象G有公共点,结合函数图象,求点D纵坐标t的取值范围.
3.[2013·北京]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.
(1)求点A,B的坐标;
(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的函数解析式;
(3)若该抛物线在-2 4.[2012·北京]已知二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等. (1)求二次函数的解析式; (2)若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A(-3,m),求m和k的值; (3)设二次函数的图象与x轴交于点B,C(点B在点C的左侧),将二次函数的图象在点B,C间的部分(含点B和点C)向左平移n(n>0)个单位长度后得到的图象记为G,同时将 (2)中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位长度.请结合图象回答: 当平移后的直线与图象G有公共点时,求n的取值范围. 图Z8-1 5.[2011·北京]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=mx2+x-3的图象与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C. (1)求点A的坐标; (2)当∠ABC=45°时,求m的值; (3)已知一次函数y=kx+b,点P是x轴上的一个动点,在 (2)的条件下,过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M,交二次函数y=mx2+x-3的图象于点N.若只有当-2 图Z8-2 1.[2015·海淀一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-x+2与y轴交于点A,顶点为B,点C与点A关于抛物线的对称轴对称. (1)求直线BC的函数解析式; (2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围. 图Z8-3 2.[2015·朝阳一模]如图Z8-4,将抛物线M1: y=ax2+4x向右平移3个单位长度,再向上平移3个单位长度,得到抛物线M2,直线y=x与M1的一个交点记为A,与M2的一个交点记为B,点A的横坐标是-3. (1)求a的值及M2的函数解析式. (2)点C是线段AB上的一个动点,过点C作x轴的垂线,垂足为D,在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时,直线y=x+n恰好经过正方形CDEF的顶点F,求此时n的值; ②在点C的运动过程中,若直线y=x+n与正方形CDEF始终没有公共点,求n的取值范围(直接写出结果). 图Z8-4 3.[2015·西城一模]已知二次函数y1=x2+bx+c的图象C1经过(-1,0),(0,-3)两点. (1)求C1对应的函数解析式; (2)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度,得到抛物线C2,将C2对应的函数解析式记为y2=x2+mx+n,求C2对应的函数解析式; (3)设y3=2x+3,在 (2)的条件下,如果在-2≤x≤a内存在某一个x的值,使得y2≤y3成立,利用函数图象直接写出a的取值范围. 图Z8-5 4.[2015·东城一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+1过点A,B,与y轴交于点C. (1)求抛物线y=ax2+bx+1的函数解析式. (2)若点D在抛物线y=ax2+bx+1的对称轴上,当△ACD的周长最小时,求点D的坐标. (3)在抛物线y=ax2+bx+1的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 图Z8-6 5.[2015·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-3(m≠0)与x轴交于A(3,0),B两点. (1)求抛物线的函数解析式及点B的坐标; (2)将-2 (3)在 (2)的条件下,将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折,图象G的其余部分保持不变,得到一个新图象M.若经过点C(4,2)的直线y=kx+b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点,结合图象求b的取值范围. 6.[2015·通州一模]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y1=x+k的图象交于A(0,1),B两点,C(1,0)为二次函数图象的顶点. (1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的解析式; (2)在平面直角坐标系中画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和一次函数y1=x+k的图象; (3)把 (1)中的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2=ax2+bx+c+m(a≠0,m为常数)的图象,定义新函数f: “当自变量x任取一值时,x对应的函数值分别为y1或y2,如果y1≠y2,函数f的函数值等于y1,y2中的较小值;如果y1=y2,函数f的函数值等于y1(或y2).”当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围. 7.[2015·海淀二模]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx+m+4与y轴交于点A(0,3),与x轴交于点B,C(点B在点C左侧). (1)求该抛物线的函数解析式及点B,C的坐标; (2)抛物线的对称轴与x轴交于点D,若直线y=kx+b经过点D和点E(-1,-2),求直线DE的函数解析式; (3)在 (2)的条件下,已知点P(t,0),过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M,交直线DE于点N,若点M和点N中至少有一个点在x轴下方,直接写出t的取值范围. 图Z8-7 8.[2014·海淀期中]在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-(m-1)x-m(m>0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C. (1)求点A的坐标; (2)当S△ABC=15时,求该抛物线的函数解析式; (3)在 (2)的条件下,经过点C的直线l: y=kx+b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象.请结合图象回答: 若新函数的最小值大于-8,求k的取值范围. 图Z8-8 9.[2015·平谷一模]已知抛物线y=ax2+x+c(a≠0)经过A(-1,0),B(2,0)两点,与y轴相交于点C,点D为该抛物线的顶点. (1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标; (2)点E是该抛物线上一动点,且位于第一象限,当点E到直线BC的距离为时,求点E的坐标; (3)在 (2)的条件下,在x轴上有一点P,且∠EAO+∠EPO=∠α,当tanα=2时,求点P的坐标. 图Z8-9 10.[2015·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象与x轴有交点,a为正整数. (1)求a的值; (2)将二次函数y=(a-1)x2+2x+1的图象向右平移m个单位长度,再向下平移(m2+1)个单位长度,当-2≤x≤1时,二次函数有最小值-3,求实数m的值. 图Z8-10 参考答案 北京真题体验 1.解: (1)当y=2时,2=x-1,x=3. ∴A(3,2). ∵点A,B关于直线x=1对称, ∴B(-1,2). (2)把(3,2),(-1,2)代入y=x2+bx+c,得 解得 ∴抛物线C1的解析式为y=x2-2x-1,顶点坐标为(1,-2). (3)如图,当C2过点A,点B时为临界状态, 将A(3,2)代入y=ax2,则9a=2,a=, 将B(-1,2)代入y=ax2,则a=2, ∴≤a<2. 2.解: (1)∵y=2x2+mx+n经过点A(0,-2),B(3,4), ∴ 解得 ∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2. ∴对称轴为直线x=1. (2)由题意可知C(-3,-4). 二次函数y=2x2-4x-2的最小值为-4. 如图,由图象可以看出点D纵坐标的最小值即为-4,最大值为直线BC与抛物线对称轴的交点的纵坐标. 由B(3,4),C(-3,-4)可知直线BC的函数解析式为y=x. 当x=1时,y=. ∴-4≤t≤. 3.解: (1)当x=0时,y=-2, ∴A(0,-2), 抛物线的对称轴为直线x=-=1, ∴B(1,0). (2)易得点A关于对称轴直线x=1的对称点为A′(2,-2),点B关于对称轴对称的点仍为点B, ∴直线l经过点A′,B. 设直线l的函数解析式为y=kx+b(k≠0). 则 解得 故直线l的函数解析式为y=-2x+2. (3)∵抛物线的对称轴为直线x=1, ∴抛物线在2<x<3这一段与在-1<x<0这一段关于对称轴对称. 如图,结合图象可以观察到抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,在-1<x<0这一段位于直线l的下方, ∴抛物线与直线l的交点的横坐标为-1. 当x=-1时,y=-2×(-1)+2=4, ∴抛物线与直线l的一个交点为(-1,4). 当x=-1时,m+2m-2=4, 解得m=2, ∴抛物线的函数解析式为y=2x2-4x-2. 4.解: (1)∵二次函数y=(t+1)x2+2(t+2)x+在x=0和x=2时的函数值相等, ∴0+0+=4(t+1)+4(t+2)+, 解得t=-, ∴二次函数的解析式是y=-x2+x+. (2)把A(-3,m)代入y=-x2+x+得m=-×(-3)2-3+=-6, 即A(-3,-6). 将A(-3,-6)代入y=kx+6,得-6=-3k+6, 解得k=4, 故m=-6,k=4. (3)由题意可知,点B,C间的部分图象的函数解析式是y=-(x-3)(x+1)(-1≤x≤3), 则抛物线平移后得到图象G的函数解析式是y=-(x-3+n)(x+1+n)(-n-1≤x≤
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