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如何在另一张纸板再剪一个三角形DEF,使它与△ABc全等?
3.板书课题:
全等三角形
定义:
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示,读着“全等于”
如图中的两个三角形全等,记作:
△ABc≌△DEF
二、探究
全等三角形中的对应元素
.问题:
你手中的两个三角形是全等的,但是如果任意摆放能重合吗?
该怎样做它们才能重合呢?
2.学生讨论、交流、归纳得出:
⑴.两个全等三角形任意摆放时,并不一定能完全重合,只有当把相同的角重合到一起(或相同的边重合到一起)时它们才能完全重合。
这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
⑵.表示两个全等三角形时,通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上,这样便于确定两个三角形的对应关系。
全等三角形的性质
.观察与思考:
寻找甲图中两三角形的对应元素,它们的对应边
有什么关系?
对应角呢?
全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等.
全等三角形的对应角相等.
2.用几何语言表示全等三角形的性质
如图:
∵&
#8710;
ABc≌&
DEF
∴AB=DE,Ac=DF,Bc=EF(全等三角形对应边相等)
∠A=∠D,∠B=∠E,∠c=∠F(全等三角形对应角相等)
探求全等三角形对应元素的找法
.动画(几何画板)演示
图中的各对三角形是全等三角形,怎样改变其中一个三角形的位置,使它能与另一个三角形完全重合?
两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻折、旋转的方法.
说出每个图中各对全等三角形的对应边、对应角
从运动角度可以很轻松解决找对应元素的问题.可见图形转换的奇妙.
2.动画(几何画板)演示
图中的两个三角形通过怎样的变换才能重合?
用式子表示全等关系.并说出其中的对应关系.
3.归纳:
找对应元素的常用方法有两种:
(1)从运动角度看
a.翻折法:
一个三角形沿某条直线翻折与另一个三角形重合,从而发现对应元素.
b.旋转法:
三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合,从而发现对应元素.
c.平移法:
沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素.
(2)根据位置元素来推理
a.有公共边的,公共边是对应边;
b.有公共角的,公共角是对应角;
c.有对顶角的,对顶角是对应角;
d.两个全等三角形最大的边是对应边,最小的边也是对应边;
e.两个全等三角形最大的角是对应角,最小的角也是对应角;
三、课堂练习
练习1.△ABD≌△AcE,若∠B=25°
BD=6㎝,AD=4㎝,
你能得出△AcE中哪些角的大小,哪些边的长度吗?
为什么?
练习2.△ABc≌△FED
⑴写出图中相等的线段,相等的角;
⑵图中线段除相等外,还有什么关系吗?
请与同伴交
流并写出来.
四、课堂小结
通过本节课学习,我们了解了全等的概念,发现了全等三角形的性质,探索了找两个全等三角形对应元素的方法,并且利用性质解决简单的问题。
找对应元素的常用方法有三种:
(一)从运动角度看
.平移法:
2.翻转法:
找到中心线,沿中心线翻折后能相互重合,从而发现对应元素.
3.旋转法:
(二)根据位置元素来推理
.全等三角形对应角所对的边是对应边;
两个对应角所夹的边是对应边.
2.全等三角形对应边所对的角是对应角;
两条对应边所夹的角是对应角.
(三)根据经验来判断
.大边对应大边,大角对应大角
2.公共边是对应边,公共角是对应角
五、课堂作业
必做题:
课本第38页1、2、选做题:
第3题
六、板书设计
2.1
全等三角形
一、概念二、全等三角形的性质
三、性质应用
例题
四、小结:
找对应元素的方法
运动法:
翻折、旋转、平移.
位置法:
对应角→对应边,对应边→对应角.
经验:
大边→大边,大角→大角.公共边是对应边,公共角是对应角。
【教学反思】
课
题
:
12.2.1
三角形全等的判定《1》
【教学目标】:
知识与技能:
掌握三角形全等的“边边边”的条件;
过程与方法:
经历探索三角形全等条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学结论的过程.通过对问题的共同探讨,培养学生的协作精神.
情感态度与价值观:
让学生在自主探索三角形全等的过程中,经历画图、观察、比较、推理、交流等环节,从而获得正确的学习方法和享受良好的情感体验.让学生体验数学于生活,又服务于生活的辩证思想.
教学重点:
三角形全等的条件.
寻求三角形全等的条件.
采用启发诱导,实例探究,
讲练结合,小组合作等方法。
这节课是学了全等三角形的基本知识后的一节课、只要实际操作不出错、学生一定能学好,根据之前的学情、学好这一节课有把握。
课前准备
全等三角形纸片、三角板、
【教学过程】:
[师],回忆前面研究过的全等三角形.已知△ABc≌△A′B′c′,找出其中相等的边与角.
[生]图中相等的边是:
AB=A′B、Bc=B′c′、Ac=A′c.
相等的角是:
∠A=∠A′、∠B=∠B′、∠c=∠c′.
[师]很好,老师这里有一个三角形纸片,你能画一个三角形与它全等吗?
怎样画?
[生]能,先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数,再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等.这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等.
[师]这位同学利用了全等三角形的定义来作图.请问,是否一定需要六个条件呢?
条件能否尽可能少呢?
现在我们就来探究这个问题.
.只给一个条件(一组对应边相等或一组对应角相等),画出的两个三角形一定全等吗?
2.给出两个条件画三角形时,有几种可能的情况,每种情况下作出的三角形一定全等吗?
分别按下列条件做一做.
①三角形一内角为30°
,一条边为3cm.
②三角形两内角分别为30°
和50°
.
③三角形两条边分别为4cm、6cm.
学生活动:
分组讨论、探索、归纳,最后以组为单位出示结果作补充交流.
结果展示:
.只给定一条边时:
只给定一个角时:
2.给出的两个条件可能是:
一边一内角、两内角、两边.
可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等.
[师]那么,给出三个条件画三角形,你能说出有几种可能的情况吗?
[生]四种可能.即:
三内角、三条边、两边一内角、两内有一边.
[师]在大家刚才的探索中,我们已经发现三内角不能保证三角形全等.下面我们就来逐一探索其余的三种情况.
二、探究:
做一做:
已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm.你能画出这个三角形吗?
把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较,它们全等吗?
.讨论作法.
2.比较、验证结果.
3.探究、发现、总结规律.
教师活动:
教师可参与到学生的制作与讨论中,及时发现问题,因势利导.
活动结果展示:
.作图方法:
先画一线段AB,使得AB=6cm,再分别以A、B为圆心,8cm、10cm为半径画弧,两弧交点记作c,连结线段Ac、Bc,就可以得到三角形ABc,使得它们的边长分别为AB=6cm,Ac=8cm,Bc=10cm.
2.以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现都能够重合.这说明这些三角形都是全等的.
3.特殊的三角形有这样的规律,要是任意画一个三角形ABc,根据前面作法,同样可以作出一个三角形A/B/c/,使AB=A/B/、Ac=A/c/、Bc=B/c/.将△A/B/c/剪下,发现两三角形重合.这反映了一个规律:
三边对应相等的两个三角形全等,简写为“边边边”或“SSS”.
[师]用上面的规律可以判断两个三角形全等.判断两个三角形全等的推理过程,叫做证明三角形全等.所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据.请看例题.
三、例题
[例]如图,△ABc是一个钢架,AB=Ac,AD是连结点A与Bc中点D的支架.
求证:
△ABD≌△AcD.
[师生共析]要证△ABD≌△AcD,可以看这两个三角形的三条边是否对应相等.
证明:
因为D是Bc的中点
所以BD=Dc
在△ABD和△AcD中
所以△ABD≌△AcD(SSS).
生活实践介绍:
用三根木条钉成三角形框架,它的大小和形状是固定不变的,而用四根木条钉成的框架,它的形状是可以改变的.三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.所以日常生活中常利用三角形做支架.就是利用三角形的稳定性.例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等.
四、课时小结
本节课我们探索得到了三角形全等的条件,发现了证明三角形全等的一个规律SSS.并利用它可以证明简单的三角形全等问题.
五、布置作业
课本P43页习题12.2中的第1,选做题:
第2题
六、板书设计:
2.2.2
三角形全等的条件《2》
理解三角形全等的“边角边”的条件.掌握三角形全等的“SAS”条件,了解三角形的稳定性.能运用“SAS”证明简单的三角形全等问题.
经历探究全等三角形条件的过程,体会利用操作、归纳获得数学规律的过程.掌握三角形全等的“边角边”条件.在探索全等三角形条件及其运用过程中,培养有条理分析、推理,并进行简单的证明.
通过画图、思考、探究来激发学生学习的积极性和主动性,并使学生了解一些研究问题的经验和方法,开拓实践能力与创新精神.
这节课是学了全等三角形的边边边后的一节课、將中间的边变为角探讨、学生一定能理解,根据之前的学情、学好这一节课有把握。
课前准备全等三角形纸片、三角板、
一、创设情境,导入新课
[师]在上节课的讨论中,我们发现三角形中只给一个条件或两个条件时,都不能保证所画出的三角形一定全等.给出三个条件时,有四种可能,能说出是哪四种吗?
[生]三内角、三条边、两边一内角、两内角一边.
[师]很好,这四种情况中我们已经研究了两种,三内角对应相等不能保证两三角形一定全等;
三条边对应相等的两三角形全等.今天我们接着研究第三种情况:
“两边一内角”.
(一)问题:
如果已知一个三角形的两边及一内角,那么它有几种可能情况?
[生]两种.
.两边及其夹角.
2.两边及一边的对角.
[师]按照上节方法,我们有两个问题需要探究.
(二)探究1:
先画一个任意△ABc,再画出一个△A/B/c/,使AB=A/B/、Ac=A/c/、∠A=∠A/(即保证两边和它们的夹角对应相等).把画好的三角形A/B/c/剪下,放到△ABc上,它们全等吗?
探究2:
先画一个任意△ABc,再画出△A/B/c/,使AB=A/B/、Ac=A/c/、∠B=∠B/(即保证两边和其中一边的对角对应相等).把画好的△A/B/c/剪下,放到△ABc上,它们全等吗?
.学生自己动手,利用直尺、三角尺、量角器等工具画出△ABc与△A/B/c/,将△A/B/c/剪下,与△ABc重叠,比较结果.
2.作好图后,与同伴交流作图心得,讨论发现什么样的规律.
教师可学生作完图后,由一个学生口述作图方法,教师进行多媒体播放画图过程,再次体会探究全等三角形条件的过程.
操作结果展示:
对于探究1:
画一个△A/B/c/,使A/B/=AB,A/c/=Ac,∠A/=∠A.
.画∠DA/E=∠A;
2.在射线A/D上截取A/B/=AB.在射线A/E上截取A/c/=Ac;
3.连结B/c/.
将△A/B/c/剪下,发现△ABc与△A/B/c/全等.这就是说:
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写为“边角边”或“SAS”).
小结
两边和它们的夹角对应角相等的两个三角形全等.简称“边角边”和“SAS”.
如图,在△ABc和△DEF中,
对于探究2:
学生画出的图形各式各样,有的说全等,有的说不全等.教师在此可引导学生总结画图方法:
.画∠DB/E=∠B;
2.在射线B/D上截取B/A/=BA;
3.以A/为圆心,以Ac长为半径画弧,此时只要∠c≠90°
,弧线一定和射线B/E交于两点c/、F,也就是说可以得到两个三角形满足条件,而两个三角形是不可能同时和△ABc全等的.
也就是说:
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.所以它不能作为判定两三角形全等的条件.
归纳总结:
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等.即:
两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.(简记为“边角边”或“SAS”)
三、应用举例
[例]如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点c,连结Ac并延长到D,使cD=cA.连结Bc并延长到E,使cE=cB.连结DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?
[师生共析]如果能证明△ABc≌△DEc,就可以得出AB=DE.
在△ABc和△DEc中,Ac=Dc、Bc=Ec.要是再有∠1=∠2,那么△ABc与△DEc就全等了.而∠1和∠2是对顶角,所以它们相等.
在△ABc和△DEc中
所以△ABc≌△DEc(SAS)
所以AB=DE.
.填空:
如图3,已知AD∥Bc,AD=cB,要用边角边公理证明△ABc≌△cDA,需要三个条件,这三个条件中,已具有两个条件,一是AD=cB,二是___________;
还需要一个条件_____________.
如图4,已知AB=Ac,AD=AE,∠1=∠2,要用边角边公理证明△ABD≌AcE,需要满足的三个条件中,已具有两个条件:
_________________________.
四、练习
.
已知:
AD∥Bc,AD=cB.
△ADc≌△cBA.
2.已知:
AB=Ac、AD=AE、∠1=∠2.
△ABD≌△AcE.
五、课堂小结
1.根据边角边公理判定两个三角形全等,要找出两边及夹角对应相等的三个条件.
2.找使结论成立所需条件,要充分利用已知条件,并要善于运用学过的定义、公理、定理.
六、布置作业
课本P43——44页习题12.2中的第3,选做题:
第4题题
七、板书设计
12.2.3三角形全等的判定《3》
理解三角形全等的条件:
角边角、角角边.三角形全等条件小结.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
经历探究全等三角形条件的过程,进一步体会操作、归纳获得数学规律的过程.掌握三角形全等的“角边角”“角角边”条件.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
通过画图、探究、归纳、交流,使学生获得一些研究问题的经验和方法,发展实践能力和创新精神
已知两角一边的三角形全等探究.
灵活运用三角形全等条件证明.
这节课是学了全等三角形的边边边、边角边后的一节课、有全面的学习经验、探讨出角边角(ASA)角角边(AAS)学生一定能理解。
.复习:
(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?
三个角、三个边、两边一角、两角一边.
(2)到目前为止,可以作为判别两三角形全等的方法有几种?
各是什么?
三种:
①定义;
②SSS;
③SAS.
2.[师]在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了三种,今天我们接着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢?
[师]三角形中已知两角一边有几种可能?
[生]1.两角和它们的夹边.
2.两角和其中一角的对边.
做一做:
三角形的两个内角分别是60°
和80°
,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?
将你画的三角形剪下,与同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么规律?
自己动手操作,然后与同伴交流,发现规律.
检查指导,帮助有困难的同学.
以小组为单位将所得三角形重叠在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.
规律:
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
[师]我们刚才做的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABc,能不能作一个△A/B/c/,使∠A=∠A/、∠B=∠B/、AB=A/B/呢?
[生]能.
学生口述画法,教师进行多媒体演示,使学生加深对“ASA”的理解.
[生]①先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB的边长.
②画线段A/B/,使A/B/=AB.
③分别以A/、B/为顶点,A/B/为一边作∠DA/B/、∠EB/A,使∠D/AB=∠cAB,∠EB/A/=∠cBA.
④射线A/D与B/E交于一点,记为c/
即可得到△A/B/c′.
将△A/B/c′与△ABc重叠,发现两三角形全等.
[师]于是我们发现规律:
两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
这又是一个判定三角形全等的条件.
[生]在一个三角形中两角确定,第三个角一定确定.我们是不是可以不作图,用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢?
[师]你提出的问题很好.温故而知新嘛,请同学们来验证这种想法.
三、练习
如图,在△ABc和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,Bc=EF,△ABc与△DEF全等吗?
能利用角边角条件证明你的结论吗?
∵∠A+∠B+∠c=∠D+∠E+∠F=180°
∠A=∠D,∠B=∠E
∴∠A+∠B=∠D+∠E
∴∠c=∠F
在△ABc和△DEF中
∴△ABc≌△DEF(ASA).
于是得规律:
两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”).
四、例题
[例]如下图,D在AB上,E在Ac上,AB=Ac,∠B=∠c.
AD=AE.
[师生共析]AD和AE分别在△ADc和△AEB中,所以要证AD=AE,只需证明△ADc≌△AEB即可.
学生写出证明过程.
在△ADc和△AEB中
所以△ADc≌△AEB(ASA)
所以AD=AE.
[师]请同学们把三角形全等的判定方法做一个小结.
自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.
有五种判定三角形全等的条件.
.全等三角形的定义
2.边边边(SSS)
3.边角边(SAS)
4.角边角(ASA)
5.角角边(AAS)
推证两三角形全等,要学会联系思考其条件,找它们对应相等的元素,这样有利于获得解题途径.
练习:
图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
我们有五种判定三角形全等的方法:
1.全等三角形的定义
2.判定定理:
边边边(SSS)边角边(SAS)角边角(ASA)角角边(AAS)
课本P44页习题12.2中的第6,选做题:
第11题
12.2.4三角形全等的判定《4》
直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”.
经历探究直角三角形全等条件的过程,体会一般与特殊的辩证关系.掌握直角三角形全等的条件:
“斜边、直角边”.能运用全等三角形的条件,解决简单的推理证明问题.
通过画图、探究、归纳、交流使学生获得一些研究问题的经验和方法.发展实践能力和创新精神
运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题。
这节课是学了全等三角形的边边边.边角边.角边角边后的一节课、根据直角三角形的特点、探讨出“HL”.学生一定能理解。
一、提出问题,复习旧知
、判定两个三角形全等的方法:
、
2、如图,Rt△ABc中,直角边是
,斜边是
3、如图,AB⊥BE于c,DE⊥BE于E,
(1)若∠A=∠D,AB=DE,
则△ABc与
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