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菱形中的动点问题
3.如图,在菱形中,∠B=60°
,动点E在边上,动点F在边上.
(1)如图①,若E是的中点,∠=60°
,求证:
(2)如图②,若∠=60°
△是等边三角形.
正方形中的动点问题
4.如图,正方形的边长为8,E,F,G,H分别是,,,上的动点,且===.
四边形是正方形;
(2)判断直线是否经过一个定点,并说明理由.
专训3.特殊平行四边形中的五种常见热门题型
本章主要学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用,其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点.
特殊平行四边形中的折叠问题
1.如图,将一张长为10,宽为8的矩形纸片对折两次后,沿所得矩形两邻边中点的连线(图③中的虚线)剪下,再打开,得到的菱形的面积为( )
A.102B.202
C.402D.802
2.(中考·
泰安)如图,在矩形中,E是的中点,将△沿直线折叠后得到△,延长交于点F,若=6,=4,则的长为( )
A.2B.4D.2
3.如图,将正方形纸片折叠,使边,均落在对角线上,得折痕,,则∠的大小为( )
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
特殊平行四边形中的动点问题
4.如图,在△中,∠B=90°
,=60,∠A=60°
.点D从点C出发沿方向以4的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿方向以2的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是ts(0≤t≤15).过点D作⊥于点F,连接,.若四边形为菱形,则t的值为( )
A.5B.10
C.15D.20
5.如图,正方形的边长为4,∠的平分线交于点E.若点P,Q分别是和上的动点,则+的最小值是( )
A.2B.4C.2D.4
特殊平行四边形中的中点四边形问题
6.如图,在四边形中,=a,=b,且⊥,顺次连接四边形各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2,…,如此进行下去,得到四边形.下列结论正确的是( )
①四边形A4B4C4D4是菱形;
②四边形A3B3C3D3是矩形;
③四边形A7B7C7D7的周长为;
④四边形的面积为.
A.①②③B.②③④
C.①③④D.①②③④
广安)如图,已知E,F,G,H分别为菱形四边的中点,=6,∠=60°
,则四边形的面积为.
(第8题)
特殊平行四边形中的图形变换问题
8.(中考·
枣庄)如图,边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45°
得到正方形1C1D1,边B1C1与交于点O,则四边形1的面积是( )
-1D.1+
9.如图,四边形是正方形,点G是边上任意一点,⊥于点E,∥,交于点F.
-=;
(2)将△绕点A逆时针旋转,使得与重合,记此时点F的对应点为点F′,若正方形的边长为3,求点F′与旋转前的图形中点E之间的距离.
(第9题)
灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明
10.如图,在▱中,E,F分别是,的中点,连接,.
△≌△;
(2)连接,当=时,判断四边形是什么特殊四边形,并说明理由.
(第10题)
11.(中考·
漳州)如图,在矩形中,点E在边上,将该矩形沿折叠,使点D落在边上的点F处,过点F作∥,交于点G,连接.
四边形为菱形;
(2)若=8,=4,求的值.
(第11题)
12.如图①,在正方形中,E,F分别是边,上的点,且⊥.
=.
(2)如图②,在正方形中,M,N,P,Q分别是边,,,上的点,且⊥与是否相等?
并说明理由.
(第12题)
专训4.全章热门考点整合应用
本章内容是中考的必考内容,主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题.近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似(以后学到)、函数知识相结合的综合题.其主要考点可概括为:
一个性质,两个定理,四个图形,三个技巧,三种思想.
一个性质——直角三角形斜边上的中线性质
1.如图,在△中,点D,E,F分别是,,的中点,是边上的高.求证:
(1)四边形是平行四边形;
(2)∠=∠.
(第1题)
两个定理
三角形的中位线定理
2.如图,已知在四边形中,=且⊥,点E,F,G,H,P,Q分别是,,,,,的中点.
求证:
(1)四边形是矩形;
(2)四边形是菱形.
(第2题)
多边形的内角和与外角和定理
3.如果一个多边形的内角和等于1260°
,那么这个多边形的边数为( )
A.7B.8C.9D.10
5.如图,一张多边形纸片按图所示的剪法剪去一个内角后,得到一个内角和为2340°
的新多边形,则原多边形的边数为( )
A.13B.14C.15D.16
5.如图,平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边,则∠α等于度.
6.如图所示,小明从A点出发,沿直线前进8米后左转40°
,再沿直线前进8米,又左转40°
,照这样走下去,他第一次回到出发点A时:
(1)整个行走路线是什么图形?
(2)一共走了多少米?
四个图形
平行四边形
7.如图,E,F分别是▱的,边上的点,且=.
(2)若M,N分别是,的中点,连接,,试判断四边形是什么特殊的四边形,并证明你的结论.
(第7题)
矩形
8.如图,在▱中,点O是与的交点,过点O的直线与的延长线,的延长线分别交于点E,F.
△≌△.
(2)连接,,则与满足什么数量关系时,四边形是矩形?
请说明理由.
(第8题)
菱形
9.如图,在△中,D,E分别是,的中点,过点E作∥,交于点F.
四边形是平行四边形.
(2)当△满足什么条件时,四边形是菱形?
为什么?
(第9题)
正方形
10.(中考·
甘孜州)已知E,F分别为正方形的边,上的点,,相交于点G,当E,F分别为边,的中点时,有:
①=;
②⊥成立.试探究下列问题:
(1)如图①,若点E不是边的中点,点F不是边的中点,且=,上述结论①,②是否仍然成立?
(请直接回答“成立”或“不成立”,不需要证明)
(2)如图②,若点E,F分别在的延长线和的延长线上,且=,此时,上述结论①,②是否仍然成立?
若成立,请写出证明过程;
若不成立,请说明理由.
(3)如图③,在
(2)的基础上,连接和,若点M,N,P,Q分别为,,,的中点,请判断四边形是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种,并说明理由.
11.如图,已知在△中,∠=90°
,先把△绕点B顺时针旋转90°
后至△,再把△沿射线平移至△,,相交于点H.
(1)判断线段,的位置关系,并说明理由;
(2)连接,求证:
四边形是正方形.
三个技巧
解与四边形有关的折叠问题的技巧(轴对称变换法)
12.如图所示,在矩形中,=10,=5,点E,F分别在,上,将矩形沿折叠,使点A,D分别落在矩形外部的点A1,D1处,求阴影部分图形的周长.
解与四边形有关的旋转问题的技巧(特殊位置法)
13.如图,正方形的对角线相交于点O,点O也是正方形A′B′C′O的一个顶点,如果两个正方形的边长都等于1,那么正方形A′B′C′O绕顶点O转动,两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律?
(第13题)
解与四边形有关的动态问题的技巧(固定位置法)
14.如图,在边长为10的菱形中,对角线=16,对角线,相交于点G,点O是直线上的动点,⊥于E,⊥于F.
(1)求对角线的长及菱形的面积.
(2)如图①,当点O在对角线上运动时,+的值是否发生变化?
(3)如图②,当点O在对角线的延长线上时,+的值是否发生变化?
若不变,请说明理由;
若变化,请探究,之间的数量关系,并说明理由.
(第14题)
三种思想
方程思想
15.如图,四边形是平行四边形,⊥于点E,⊥交的延长线于点F,=4,=5,四边形的周长为36.求,的长.
(第15题)
16.如图,在矩形纸片中,,相交于点O,∶=1∶2,=,将纸片折叠使点B与点D重合,求折叠后纸片重合部分的面积.
(第16题)
转化思想
17.如图,在▱中,对角线,相交于点O,过点O作直线交于点E,交于点F,若▱的面积为302,求阴影部分的面积.
(第17题)
分类讨论思想
18.已知四边形是正方形,△是等边三角形,求∠的度数.
答案
1.12 点拨:
如图,设,的交点为O,连接,已知O是的中点.∵在△和△中,=,=,=,∴△≌△,则△≌△,∴∠=∠,同时,=,即在四边形中,两条对角线相等.∵在△中,∠=∠,∴=,易得O是的中点.∴四边形是矩形,在△中,==6,==8,由勾股定理得===2.
∴▱的面积=·
=6×
2=12.
2.解:
设与相交于点F,如图.
∵四边形为平行四边形,∴∥.∴∠1=∠3.
∵平行四边形纸片沿对角线所在直线折叠,点D落在点E处,
∴∠2=∠3,∴∠1=∠2.∴=.
∵F为边的中点,=6,∴===×
6=3.
又∵=3,∴△是等边三角形.∴∠B=60°
.
3.
(1)证明:
由折叠知==,=.
∵四边形是矩形,∴=.∴=.
(2)解:
∵∠=45°
,∠=∠A=90°
,=,
∴=,=2.∴=2+.
如图,由折叠知,∠1=∠2,∠3=∠4,
∴∠2+∠4=90°
,∠1+∠3=90°
∵∠1+∠=90°
,∴∠3=∠.
又∵∠A=∠B=90°
,由
(1)知,=,∴△≌△.
∴=.∴=+=+=2++=2+2.
4.C
5.解:
如图,连接,.
∵四边形是菱形,∴⊥,平分∠.
∵∠=120°
,∴∠=60°
.∴∠=90°
-60°
=30°
∵∠=90°
,∴==×
2=1.
由勾股定理,得==.
∵点A沿折叠与点O重合,∴⊥,平分.
∵⊥,∴∥,易得为△的中位线,
∴==×
(+)=.
6.13 点拨:
如图,过点F作⊥,垂足为M,连接,,设交于点N,由折叠的性质知⊥,
∴∠C=∠=90°
,∴∠=∠.易知=,∠=∠C,∴△≌△,∴==5,由勾股定理得==13.
7.
(1)证明:
∵=,∴∠=∠.
又∵∠=∠=90°
,∴∠-∠=∠-∠,
即∠=∠.
又∵∥,∴∠=∠,∴∠=∠.
△的周长不变且为定值8.
证明如下:
过B作⊥,垂足为Q.如图.由
(1)知∠=∠,
又∵∠A=∠=90°
,=,∴△≌△.
∴=,=.又∵=,∴=.
又∵∠C=∠=90°
∴△≌△,∴=.
∴△的周长为:
++=+++=+=8.
1.解:
=,∥.证明如下:
∵四边形是平行四边形,∴=,∥.
∴∠=∠.
在△和△中,∵=,∠=∠,=,
∴△≌△.∴=,∠=∠.
∵∠+∠=∠+∠=180°
,
∴∠=∠.∴∥.
(1)∵四边形是矩形,∴∥.
∴∠=∠,∠=∠.
∵垂直平分,垂足为O,∴=.
∴△≌△.∴=.∴四边形为平行四边形.
又∵⊥,∴四边形为菱形.
设==x,则=(8-x),
在△中,=4,由勾股定理得42+(8-x)2=x2,解得x=5.
∴=5.
(2)显然当P点在上,Q点在上时,A,C,P,Q四点不可能构成平行四边形;
同理P点在上,Q点在或上时,也不可能构成平行四边形.因此只有当P点在上,Q点在上时,才能构成平行四边形,如图,连接,,则以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形,此时=.∵点P的速度为5,点Q的速度为4,运动时间为ts,
∴=5t,=(12-4t).∴5t=12-4t,解得t=.
∴以A,C,P,Q四点为顶点的四边形是平行四边形时,t=.
3.证明:
(1)连接.∵在菱形中,∠B=60°
,∴==,∠=180°
-∠B=120°
.∴△是等边三角形.又∵E是的中点,∴⊥.∵∠=60°
,∴∠=90°
-∠=30°
.∴∠=180°
-∠-∠=180°
-30°
-120°
.∴∠=∠.∴=.∴=.
(2)连接.由
(1)知△是等边三角形,
∴=,∠=∠=60°
又∵∠=60°
,∴∠=∠.
,∠=60°
∴∠=60°
=∠B.
∴△≌△.
∴=.∴△是等边三角形.
(第3题)
4.
(1)证明:
如图,∵四边形为正方形,
∴∠A=∠=∠C=∠=90°
,===.
∵===,∴===.
∴△≌△≌△≌△.
∴∠1=∠2,===.∴四边形为菱形.
∵∠1+∠3=90°
,∠1=∠2,∴∠2+∠3=90°
∴四边形为正方形.
直线经过一个定点.理由如下:
如图,连接,,,.设与交于O点.
∵綊,∴四边形为平行四边形.
∴,互相平分.∴=.∴点O为正方形的中心.
∴直线必过正方形的中心.
1.A 2 3
4.B 点拨:
在△中,∠=90°
,∠C=30°
,=4t,所以=2t.又因为=2t,所以=.因为∥,所以可推出四边形为平行四边形.令=,则60-4t=2t.解得t=10.所以当t=10时,四边形为菱形.
5.C 点拨:
连接交于点O,由图可知,+的最小值即为的长,由正方形的边长为4可知,的长为2,所以+的最小值为2.
6.A
7.92 点拨:
连接,,设,相交于点O,如图,
易知,四边形是矩形.
由四边形是菱形,∠=60°
可得∠=30°
又∵∠=90°
,∴==3.
∴=6.
在△中,==3(),
∴=6.
∵=,=,∴=3,=3.
∴矩形的面积=·
=3×
3=9
(2).
8.C
9.
(1)证明:
∵四边形是正方形,
∴=,∠=∠+∠=90°
∵⊥,∴∠=∠=90°
∴∠+∠=90°
.∴∠=∠.
又∵∥,∴∠=∠=90°
在△和△中,
∵
∴△≌△().
∴=.∵-=,∴-=.
如图,由题意知将△绕A点旋转得到△′,B与D重合,连接F′E,由
(1)易得=.
根据题意知:
∠′=90°
,==′,
∴∠F′=∠=90°
即∠F′+∠=180°
∴′∥.
∴四边形′为平行四边形.
又∠=90°
,∴四边形′是矩形.
∵=3,∴′==3.
10.
(1)证明:
∵四边形为平行四边形,
∴=,∠B=∠D,=.∵E,F分别是,的中点,
∴=.∴△≌△().
四边形是矩形,理由:
∵=,=,=,∴=.
∵∥,∴四边形是平行四边形.
当=时,⊥,∴∠=90°
∴四边形是矩形.
(第11题)
11.
(1)证明:
如图,由折叠的性质可知:
=,=,∠1=∠2,
∵∥,∴∠3=∠1.∴∠2=∠3.∴=.∴===.
∴四边形为菱形.
设=x,则==x,=8-x,
在△中,2+2=2,即42+(8-x)2=x2,
解得x=5.∴=8-x=3.∴=.
12.
(1)证明:
∵四边形是正方形,∴=,∠D=∠=90°
∵⊥,∴∠+∠=90°
∴∠=∠.∴△≌△().∴=.
与相等.理由如下:
过点A作∥交于F,过点B作∥交于E,∵⊥,∴⊥,由
(1)知=.易证四边形,四边形都是平行四边形,∴=,=,∴=.
1.证明:
(1)∵点D,E分别是,的中点,
∴∥.同理可得∥.∴四边形是平行四边形.
(2)由
(1)知四边形是平行四边形,∴∠=∠.
在△中,∵D是的中点,∴==,
同理可得==,
∴∠=∠.∴∠+∠=∠+∠.
∴∠=∠.∴∠=∠.
2.证明:
(1)∵点E,F,G,H分别为,,,的中点,
∴∥,∥,∥,∥,
∴∥,∥,∴四边形是平行四边形.
又∵⊥,∴⊥.∴▱是矩形.
(2)∵点E,P,G,Q分别为,,,的中点,
∴=,=,=,=.
∵=,∴===,∴四边形是菱形.
点拨:
在三角形中出现两边中点,常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系.
3.C 4 5.72
6.解:
(1)正九边形.
(2)9×
8=72(米). 答:
一共走了72米.
∵四边形是平行四边形,
∴=,∠A=∠C. 又∵=,∴△≌△().
证明:
由
(1)知△≌△,∴=,∠=∠.
∵M,N分别是,的中点,
∴=,=.∴=.
又∵四边形是平行四边形,∴∥.
∴∠=∠.∴∠=∠.∴∥.
∴四边形是平行四边形.
8.
(1)证明:
∴=,∥,∴∠=∠.
当=时,四边形是矩形.
理由如下:
由
(1)知△≌△,∴=.
∵=,∴四边形是平行四边形.
又∵=,∴四边形是矩形.
∵D,E分别是,的中点,
∴是△的中位线,∴∥.
又∵∥,∴四边形是平行四边形.
答案不唯一,下列解法供参考.
当=时,四边形是菱形.
理由:
∵D是的中点,∴=.
∵是△的中位线,∴=.
又∵=,∴=.
又∵四边形是平行四边形,
∴四边形是菱形.
10.解:
(1)上述结论①,②仍然成立.
(2)上述结论①,②仍然成立.
∵四边形为正方形,
∴=,∠=∠=90°
∴=,∠=∠.
∵∠+∠=90°
,∴∠+∠=90°
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