北京市海淀区高三年级第二学期统一练习二数学理.docx
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北京市海淀区高三年级第二学期统一练习二数学理
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学(理科)2011.5
选择题(共40分)
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.复数在复平面上对应的点的坐标是
A.B.C.D.
2.已知全集集合,,下图中阴影部分所表示的集合为
AB.
C.D.
3.函数的零点所在区间
A.B.C.D.
4.若直线的参数方程为,则直线倾斜角的余弦值为
A.B.C.D.
5.某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下:
甲
乙
8
8
1
7
7
9
9
6
1
0
2
2
5
6
7
9
9
5
3
2
0
3
0
2
3
7
1
0
4
根据上图,对这两名运动员的成绩进行比较,下列四个结论中,不正确的是
A.甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差
B.甲运动员得分的的中位数大于乙运动员得分的的中位数
C.甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值
D.甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
6.一个锥体的主视图和左视图如图所示,下面选项中,不可能是该锥体的俯视图的是
7.若椭圆:
()和椭圆:
()
的焦点相同且.给出如下四个结论:
1椭圆和椭圆一定没有公共点;②;
③;④.
其中,所有正确结论的序号是
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
8.在一个正方体中,为正方形四边上的动点,为底面正方形的中心,分别为中点,点为平面内一点,线段与互相平分,则满足的实数的值有
A.0个B.1个C.2个D.3个
非选择题(共110分)
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.点在不等式组表示的平面区域内,则的最大值为_______.
10.运行如图所示的程序框图,若输入,则输出的值为.
11.若,
其中,则实数的值为;
的值为.
12.如图,已知的弦交半径于点,若,
,且为的中点,则的长为.
13.已知数列满足,,记数列的前项和的最大值为,则.
14.已知函数
(1)判断下列三个命题的真假:
①是偶函数;②;③当时,取得极小值.
其中真命题有____________________;(写出所有真命题的序号)
(2)满足的正整数的最小值为___________.
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知函数的最小正周期为.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数的单调区间及其图象的对称轴方程.
16.(本小题共13分)
某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠.已知该电梯在1层载有4位乘客,假设每位乘客在2、3、4层下电梯是等可能的.
(Ⅰ)求这4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的概率;
(Ⅱ)用表示4名乘客在第4层下电梯的人数,求的分布列和数学期望.
17.(本小题共14分)
如图,四棱锥的底面是直角梯形,,,和是两个边长为的正三角形,,为的中点,为的中点.
(Ⅰ)求证:
平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
18.(本小题共14分)
已知函数..
()当时,求曲线在处的切线方程();
()求函数的单调区间.
19.(本小题共13分)
在平面直角坐标系中,设点,以线段为直径的圆经过原点.
(Ⅰ)求动点的轨迹的方程;
(Ⅱ)过点的直线与轨迹交于两点,点关于轴的对称点为,试判断直线是否恒过一定点,并证明你的结论.
20.(本小题共13分)
对于数列,若满足,则称数列为“0-1数列”.定义变换,将“0-1数列”中原有的每个1都变成0,1,原有的每个0都变成1,0.例如:
1,0,1,则设是“0-1数列”,令
.
(Ⅰ)若数列:
求数列;
(Ⅱ)若数列共有10项,则数列中连续两项相等的数对至少有多少对?
请说明理由;
(Ⅲ)若为0,1,记数列中连续两项都是0的数对个数为,.求关于的表达式.
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学(理)
答案及评分参考2011.5
选择题(共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
B
D
C
B
C
非选择题(共110分)
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分.共30分.有两空的题目,第一空3分,第二空2分)
9.610.1111.,
12.13.14.①②,9
三、解答题(本大题共6小题,共80分)
15.(共13分)
解:
(Ⅰ)………………………2分
…………………………3分
因为最小正周期为,所以,解得,…………………………4分
所以,…………………………5分
所以.…………………………6分
(Ⅱ)分别由,
可得,………………8分
所以,函数的单调增区间为;
的单调减区间为………………………10分
由得.
所以,图象的对称轴方程为.…………………………13分
16.(共13分)
解:
(Ⅰ)设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为,…………………………1分
由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是,……………………………3分
则.……………………………6分
(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3,4,…………………………7分
由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为,且每个人下电梯互不影响,
所以,.……………………………9分
0
1
2
3
4
………………………………11分
.………………………………13分
17.(共14分)
(Ⅰ)证明:
设为的中点,连接,则
∵,,,
∴四边形为正方形,
∵为的中点,
∴为的交点,
∵,
∴,………………………………..2分
∵,
∴,,
在三角形中,,∴,……………………………4分
∵,∴平面;……………………………5分
(Ⅱ)方法1:
连接,∵为的中点,为中点,
∴,
∵平面,平面,
∴平面.……………………………9分
方法2:
由(Ⅰ)知平面,又,所以过分别做的平行线,以它们做轴,以为轴建立如图所示的空间直角坐标系,
由已知得:
,,
,,,
,
则,,,.
∴
∴
∵平面,平面,
∴平面;…………………………………9分
(Ⅲ)设平面的法向量为,直线与平面所成角,
则,即,
解得,令,则平面的一个法向量为,
又
则,
∴直线与平面所成角的正弦值为.………………………………………14分
18.(共14分)
解:
()当时,,,………………………2分
所以,,………………………4分
所以曲线在处的切线方程为.………………………5分
()函数的定义域为
,…………………………6分
当时,,在上,在上
所以在上单调递增,在上递减;……………………………………………8分
当时,在和上,在上
所以在和上单调递增,在上递减;………………………10分
当时,在上且仅有,
所以在上单调递增;……………………………………………12分
当时,在和上,在上
所以在和上单调递增,在上递减……………………………14分
19.(共13分)
解:
()由题意可得,……………………………2分
所以,即………………………………4分
即,即动点的轨迹的方程为……………5分
()设直线的方程为,,则.
由消整理得,………………………………6分
则,即.………………………………7分
.…………………………………9分
直线
……………………………………12分
即
所以,直线恒过定点.……………………………………13分
20.(共13分)
解:
(Ⅰ)由变换的定义可得…………………………………2分
…………………………………4分
(Ⅱ)数列中连续两项相等的数对至少有10对…………………………………5分
证明:
对于任意一个“0-1数列”,中每一个1在中对应连续四项1,0,0,1,在中每一个0在中对应的连续四项为0,1,1,0,
因此,共有10项的“0-1数列”中的每一个项在中都会对应一个连续相等的数对,
所以中至少有10对连续相等的数对.…………………………………………………………8分
(Ⅲ)设中有个01数对,
中的00数对只能由中的01数对得到,所以,
中的01数对有两个产生途径:
由中的1得到;由中00得到,
由变换的定义及可得中0和1的个数总相等,且共有个,
所以,
所以,
由可得,
所以,
当时,
若为偶数,
上述各式相加可得,
经检验,时,也满足
若为奇数,
上述各式相加可得,
经检验,时,也满足
所以…………………………………………………………………………………..13分
说明:
其它正确解法按相应步骤给分.
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- 北京市 海淀区 三年级 第二 学期 统一 练习 学理