八下数学第4章因式分解名师教案北师大版文档格式.docx
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3 公式法2时
回顾与思考1时
1 因式分解
1使学生了解因式分解的意义,理解因式分解的概念
2认识因式分解与整式乘法的关系——互逆关系(即相反变形),并能运用这种关系寻求因式分解的方法1通过解决实际问题,学会将实际应用问题转化为数学问题,并用所学到的数学知识解决问题,体验解决问题策略的多样性,发展实践应用意识
2通过对因式分解与整式乘法的观察与比较,学习代数式的变形和转化,培养学生分析问题的能力与综合应用能力培养学生接受矛盾的对立统一观点,独立思考、勇于探索的精神和实事求是的科学态度【重点】 因式分解的概念
【难点】 理解因式分解与整式乘法的关系,并运用它们之间的关系寻求因式分解的方法【教师准备】 多媒体
【学生准备】 复习有关整式乘法的知识
导入一:
【问题】 简便运算
(1)736×
9+736×
;
(2)-267×
132+2×
267+7×
267
[设计意图] 观察实例,分析两个问题的共同属性:
解决问题的关键是把一个数式化成几个数的积的形式,此时学生对因式分解还相当陌生,但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉这一步的目的是设计问题情境,复习相关知识点与计算,引入新,让学生通过回顾用简便方法计算——因数分解这一特殊算法,运用类比很自然地过渡到因式分解的概念上,从而为因式分解的理解和掌握打下基础
导入二:
【问题】
(1)993-99能被99整除吗?
为了回答这个问题,你该怎样做?
把你的想法与同学交流
因为993-99=99×
992-99×
1=99(992-1),
所以993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗?
小明是这样做的:
993-99=99×
1
=99(992-1)
=99×
9800
98×
100,
所以993-99能被100整除
[设计意图] 以一连串的知识性问题引入,在学生已有的知识基础上,先让学生解决一些具体的数的运算问题,通过简便运算把一个式子化成几个数的乘积的形式,并且问题的设置由浅入深,逐步让学生体会因数分解的过程和意义这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大作用,体现了知识螺旋上升的特点一、因式分解的概念
思路一
[过渡语] (针对导入二)前面问题中解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?
用a表示任意一个常数,则:
a3-a=a&
#8226;
a2-a&
=a&
(a2-1)
(a+1)(a-1)
=(a-1)&
a&
(a+1)
(1)你能理解吗?
你能与同伴交流每一步是怎么变形的吗?
(2)这样变形是为了达到什么样的目的?
像这样,把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解因式分解也可称为分解因式
[设计意图] 从知识性的问题过渡到思考性的问题,巧妙设问:
“如果我们将数字换成字母,上述结论仍然成立吗?
”引发学生联想到用字母表示数的方法,得出a3-a=(a-1)&
(a+1),这个过程对学生说是思维上的一次飞跃,是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识,是对学生思维能力水平的一次提高,同时很自然地从因数分解过渡到因式分解,初步树立起学生对因式分解概念的直观认识
思路二
[过渡语] 前面我们研究了数字的情况,下面我们看教材第92页做一做,关于字母的情况
观察下面的拼图过程,写出相应的关系式解答:
(1)a+b+=(a+b+)
(2)x2+2x+1=(x+1)2
[设计意图] 以拼图前后面积不变的方式,加深学生对因式分解的理解,形象地说明因式分解是整式的恒等变形,对学生的思维发展具有实际价值学生通过观察,给出填空的答案,可能有不同的形式,只要合理就都应给予鼓励要注意的是,这里拼图前后的数量关系主要指向面积,教师要适当引导
二、例题讲解
[过渡语] 刚刚我们学习了什么是因式分解,我们通过下面的几个例题看看同学们理解得怎么样
(教材做一做)计算下列各式:
(1)3x(x-1)= ;
(2)(a+b-1)= ;
(3)(+4)(-4)= ;
(4)(-3)2=
根据上面的算式进行因式分解:
(1)3x2-3x=( )( );
(2)a+b-=( )( );
(3)2-16=( )( );
(4)2-6+9=( )( )
思考:
因式分解与整式乘法有什么关系?
举例说明
[设计意图] 通过两组练习,类比两种不同的运算,进一步让学生体会什么是因式分解,以及因式分解与整式乘法之间的互逆关系,这个时候,因式分解的概念已基本在学生头脑中确立由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解,发展学生的逆向思维
[知识拓展] 对于因式分解应注意以下几点:
(1)分解的对象必须是多项式;
(2)分解的结果一定是几个整式的乘积的形式;
(3)要分解到不能分解为止1把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做因式分解,因式分解也可称为分解因式
2因式分解与整式乘法是互逆过程
3因式分解要注意以下几点:
(3)要分解到不能分解为止1下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是( )
Ax2-x-2=x(x-1)-2
B(a+b)(a-b)=a2-b2
x2-4=(x+2)(x-2)
Dx2-=
解析:
主要考查因式分解的概念故选
2下列各式因式分解正确的是( )
Aa+b=b+a
B4x2-8x2+1=4x(x-2)+1
a(a-b)=a2-ab
Da2-2ab+2a=a(a-2b+2)
主要考查因式分解的概念故选D
3把一个多项式化成 的形式,这种变形叫做因式分解
答案:
几个整式的积
4因式分解与整式乘法的关系是
互为逆过程
计算×
13-×
6+×
2的结果是
利用因式分解可以简化计算原式=×
(13-6+2)=×
9=7故填71 因式分解
一、因式分解的概念
二、例题讲解一、教材作业
【必做题】
教材第93页随堂练习的1,2题
【选做题】
教材第94页习题41的1,2题
二、后作业
【基础巩固】
1(柳州中考)下列式子是因式分解的是( )
Ax(x-1)=x2-1
Bx2-x=x(x+1)
x2+x=x(x+1)
Dx2-x=(x+1)(x-1)
2下列各式从左到右的变形中,是因式分解的是( )
Ax2-9+6x=(x+3)(x-3)+6x
B(x+)(x-2)=x2+3x-10
x2-8x+16=(x-4)2
D(x-2)(x+3)=(x+3)(x-2)
3观察下面计算962×
9+962×
的过程,其中最简单的方法是( )
A962×
=962×
(9+)=962×
100=96200
B962×
×
(19+1)=962×
(×
20)=96200
962×
=×
(962×
19+962)=×
(18278+962)=96200
D962×
=91390+4810=96200
【能力提升】
4计算
(1)~(3)题,并根据计算结果将(4)~(6)题进行因式分解
(1)(x-2)(x-1)= ;
(2)3x(x-2)= ;
(3)(x-2)2= ;
(4)3x2-6x=( )( );
()x2-4x+4=( )( );
(6)x2-3x+2=( )( )
【拓展探究】
下列从左到右的变形中,哪些是因式分解?
哪些不是?
请说明理由
(1)a(x+)=ax+a;
(2)x2+2x+2-1=x(x+2)+(+1)(-1);
(3)ax2-9a=a(x+3)(x-3);
(4)x2+2+=;
()2a3=2a&
a
【答案与解析】
1(解析:
因式分解就是把一个多项式化成几个整式的积的形式,对各选项分析判断后利用排除法求解故选)
2(解析:
根据因式分解的概念可知只有是因式分解故选)
3A(解析:
利用因式分解进行计算比较简单故选A)
4
(1)x2-3x+2
(2)3x2-6x (3)x2-4x+4 (4)3x x-2 ()x-2 x-2 (6)x-2 x-1(解析:
利用因式分解与整式乘法互为逆过程解答)
解:
因为
(1)
(2)的右边都不是整式的积的形式,所以它们不是因式分解;
(4)中,都不是整式,所以不是因式分解;
()中的2a3不是多项式,所以它也不是因式分解只有(3)的左边是多项式,右边是整式的积的形式,所以(3)是因式分解
本节以学生的思维进程发展为主线,采用逐步渗透和类比的思想方法在概念引入时从因数分解与因式分解的类比,到概念强化阶段整式乘法与因式分解的过程的类比,再到等式恒等变形与因式分解的类比,逐渐加深学生的认识主要体现在从一开始以一连串的知识性问题引入,到后教学环节中多次提出思考性的问题,启发、引导学生做进一步的猜想、探究,这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识本的设计过多强调学生用高度抽象的语言描述概念在例题的讲解过程中,没有让学生尝试自己独立完成注意引导学生从几何的角度理解因式分解最好将因式分解的方法也一起适当地融入到本节的教学内容中随堂练习(教材第93页)
1解:
2解:
(2)(4)是因式分解因为
(2)(4)满足因式分解的定义:
把一个多项式化成几个整式的积的形式
习题41(教材第94页)
(2)(3)是因式分解3解:
原式=I(R1+R2+R3)=2×
(242+364+394)=20故代数式的值为20
4解:
如右图所示x2+x+2x+2=x2+3x+2=(x+2)&
(x+1)
(1)原式=1999×
(1999+1)=1999×
2000,所以19992+1999能被1999整除,也能被2000整除
(2)原式=×
(169+11)=4,故169×
+11×
能被4整除
学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算,并且学习了整式的乘法运算,因此对于因式分解的引入,学生不会感到陌生,它为今天学习因式分解打下了良好基础由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程,而逆向思维对于八年级学生说还比较生疏,接受起还有一定的困难,另外本节还没有涉及因式分解的具体方法,所以对于学生说,寻求因式分解的方法是一个难点 已知a=2,b=3,=求代数式a(a+b-)+b(a+b-)+(-a-b)的值
当a=2,b=3,=时,
a(a+b-)+b(a+b-)+(-a-b)
=a(a+b-)+b(a+b-)-(a+b-)
=(a+b-)(a+b-)
=(a+b-)2
=(2+3-)2=0
2 提公因式法
经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法【重点】 用提公因式法分解因式
【难点】 确定多项式各项的公因式
第时1使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形
2让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解自主探索,合作交流1通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想
2通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识【重点】 因式分解的概念及提公因式法的应用
【难点】 正确找出多项式中各项的公因式【教师准备】 多媒体
【学生准备】 复习有关乘法分配律的知识
【问题】 一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积
解法1:
这块场地的面积=×
+×
=++==2
解法2:
4=2
从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:
先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础
【问题】 计算×
1-×
9+×
2采用什么方法?
依据是什么?
原式=-+==
原式=×
(1-9+2)=×
8=
解法1是按运算顺序:
先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法
[设计意图] 让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础一、提公因式法分解因式的概念
[过渡语] 上一节我们学习了什么是因式分解,那么怎样进行因式分解呢?
我们看下面的问题
如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,,宽都是,那么这块场地的面积为a+b+或(a+b+),可以用等号连接,即:
a+b+=(a+b+)
大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?
各项之间有什么联系?
等式右边的项有什么特点?
分析:
等式左边的每一项都含有因式,等式右边是与多项式a+b+的乘积,从左边到右边的过程是因式分解
由于是左边多项式a+b+中的各项a,b,都含有的一个相同因式,因此叫做这个多项式各项的公因式
由上式可知,把多项式a+b+写成与多项式a+b+的乘积的形式,相当于把公因式从各项中提出,作为多项式a+b+的一个因式,把从多项式a+b+的各项中提出后形成的多项式a+b+,作为多项式a+b+的另一个因式
总结:
如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法
[设计意图] 通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式
[过渡语] 同学们,我们看下面的问题,看看同学们谁先做出
多项式ab+a中,各项都含有相同的因式吗?
多项式3x2+x呢?
多项式b2+nb-b呢?
结论:
多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式
多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?
你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?
[设计意图] 从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念
[过渡语] 刚刚我们学习了因式分解的一种方法,现在我们尝试下利用这种方法进行因式分解吧
(教材例1)把下列各式因式分解:
(1)3x+x3;
(2)7x3-21x2;
(3)8a3b2-12ab3+ab;
(4)-24x3+12x2-28x
〔解析〕 首先要找出各项的公因式,然后再提取出要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象
(1)3x+x3=x&
3+x&
x2=x(3+x2)
(2)7x3-21x2=7x2&
x-7x2&
3=7x2(x-3)
(3)8a3b2-12ab3+ab
=ab&
8a2b-ab&
12b2+ab&
=ab(8a2b-12b2+1)
=-(24x3-12x2+28x)
=-(4x&
6x2-4x&
3x+4x&
7)
=-4x(6x2-3x+7)
【学生活动】 通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题
提取公因式的步骤:
(1)找公因式;
(2)提公因式
容易出现的问题(以本题为例):
(1)第
(2)题中只提出7x作为公因式;
(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;
(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号
教师提醒:
(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;
(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;
(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;
(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等
[设计意图] 经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验1提公因式法分解因式的一般形式,如:
这里的字母a,b,,可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式
2提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式
3找公因式的一般步骤:
(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;
(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;
(3)所有这些因式的乘积即为公因式1多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2的公因式是( )
A-6ab2B-ab2
-6ab2D-6a3b2
根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2故选
2下列用提公因式法分解因式正确的是( )
A12ab-9a2b2=3ab(4-3ab)
B3x2-3x+6=3(x2-x+2)
-a2+ab-a=-a(a-b+)
Dx2+x-=(x2+x)
A12ab-9a2b2=3ab(4-3ab),错误;
B3x2-3x+6=3(x2-x+2),错误;
Dx2+x-=(x2+x-1),错误故选
3下列多项式中应提取的公因式为a2b的是( )
A1a2b-20a2b2
B30a2b3-1ab4-10a3b2
10a2b-20a2b3+0a4b
Da2b4-10a3b3+1a4b2
B应提取公因式ab2,错误;
应提取公因式10a2b,错误;
D应提取公因式a2b2,错误故选A
4填空
(1)a3+4a2b-12ab=a( );
(2)多项式32p2q3-8pq4的公因式是 ;
(3)3a2-6ab+a= (3a-6b+1);
(4)因式分解:
+n=
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