已知某工厂要生产7种产品以IIIIIIIVVVIVII文档格式.docx
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550
350
当该工厂以上述方案进行加工生产时,可得最大利润Z
=937115。
对于问题二,则是对问题一的一个拓展,要求根据已经求出的生产方案,在设备租用或者是购买价格方面这个问题时,根据价格,结合购买设备后进行加工生产所能带来的利润,做一个合理的决策。
我们同样充分lingo软件进行编程,利用excell进行数据分析,设置所购买的设备的台数,最后跟设备价格进行比较,从而得到下列结果:
1:
当设备镗床,刨床的价格之和低于217715,且磨床的价格低于227435-217715=9720时,选择购买三台设备磨床,镗床,刨床。
2:
当设备镗床,刨床的价格之和低于217715,且磨床的价格高于227435-217715=9720时,选择购入两台设备镗床,刨床。
[关键词]:
lingo最优化模型编程excell层次分析法
一:
问题重述与分析
1.1问题重述
已知某工厂要生产7种产品,以I,II,III,IV,V,VI,VII来表示,但每种产品的单件利润随市场信息有明显波动,现只能给出大约利润,依次为:
100,60,80,40,110,90,30,同时该厂有4台磨床、2台立钻、3台水平钻、1台镗床和1台刨床可以用来生产上述产品。
已知生产单位各种产品所需的有关设备台时如表1。
单位所需
台时
设备
I
II
III
IV
V
VI
VII
磨床
0.5
0.7
—
0.3
0.2
立钻
0.1
0.6
水平钻
0.8
镗床
0.05
0.03
0.07
0.08
刨床
0.01
从1月到6月,维修计划如下:
1月—1台磨床,2月—2台水平钻,3月—1台镗床,4月—1台立钻,5月—1台磨床和1台立钻,6月—1台刨床和1台水平钻,被维修的设备当月不能安排生产。
又知从1—6月市场对上述7中产品最大需求量如表2所示。
1月
1000
2月
150
3月
4月
5月
6月
60
每种产品当月销售不了的每件每月存储费为5元,但规定任何时候每种产品的存储量均不能超过100件。
1月初无库存,要求6月末各种产品各储存50件。
若该工厂每月工作24天,每天两班,每班8小时,要求
(1)该厂如何安排生产,使总利润最大;
(2)在什么价格的条件下,该厂可考虑租用或购买有关的设备。
1.2问题分析
A.对于问题
(1),我们所要解决的是在生产设备有限并得知产品最大需求量的情况下,求出最大的利润。
通过分析问题
(1),我们从以下两条思路着手,即每件产品需多少台不同设备台时,然后建立线性规划模型,其目标函数是根据总利润=各产品的销售数量×
各产品的单件利润—库存费用,最后,通过仔细分析题中所隐含的条件,再一一列举出约束条件,据此我们制定出了最优生产方案。
此问题得到解决的关键如下:
1.目标函数的确立:
由总利润=各产品的销售数量×
各产品的单件利润—库存费用,得到目标函数;
2.找出约束条件:
此线性规划模型,是在考虑到每种产品都需要多种设备加工的基础上,另外由于生产设备有限,所以各生产产品的生产量受设备的可用台时的限制,同时还已知了各产品的最大需求量,据此可得出台时约束方程与需求约束方程;
另外,题中还规定了任何时候每种产品的存储量不超过100件,一月初无库存,6月末各产品各存储50件,由此可得出3个约束方程;
最后,根据各月各产品生产数量—各月各产品库存量=各月各产品最大需求量,可得另一约束方程;
在模型
(2)中,是在考虑每种产品都需要各种设备加工的基础上建立起来的,约束条件为库存量的限制,生产量、销售量及库存量之间的关系,工作时间的限制,同样也是线性规划模型。
3.模型求解:
编写程序,尽量简洁有效,用Lingo软件进行求解;
4.结果分析:
讨论分析模型的优缺点,找出模型可改进的方向。
B.对于问题
(2),要求重新为该厂确定一个最优的设备购买计划,也就是适当分析各各设备对目标函数增量的影响的大小,使得在六个月里得到的总利润最大,当然我们肯定要建立在第一问上,在对相关情况进行具体分析,比如生产量,储存量,工时多少等,这一问题的解决只需在问题
(1)的解决方案上稍加分析,创新,便可得到。
二:
模型假设及符号说明
2.1模型假设
1.假设题目所给的数据真实可靠;
2,假设五种设备各各工作时相互独立,互不受影响;
3.为了研究方便,忽略设备维修成本所造成的损失;
4.假设进行维修并不影响当天的生产进度。
5.假设当月运行的设备不发生故障,不存在人为破坏因素使之不能正常运行;
6.假设每台设备维修的时间不超过一个月,一个月之后,立即投入生产运行;
7,假设每台设备生产出来的大多数是合格品,没有大面积的次品,导致无法正常完成生产任务。
2.2定义与符号说明
题中给出的五种设备,分别为磨床、立钻、水平钻、镗床和刨床,对应符号为i,根据排列顺序,分别取i=1,2,3,4,5;
月份对应符号为t,分别取t=1,2,3,4,5,6;
同时,该工厂生产的产品种类符号为j,依次取j=1,2,3,4,5,6,7。
具体符号定义如下:
:
总利润
:
第t个月对第j种产品的最大需求量;
第j种产品的单件利润;
:
第i种设备生产单件第j种产品消耗的时间;
第t月份第i种工作设备台数(下文中称为工作矩阵);
第t个月生产第j种产品的数量;
第t个月第j种产品的库存量;
第t个月售出第j种产品的数量;
第j种产品的单件库存费用;
第t个月机器的维修;
三:
模型的建立与求解
3.1针对问题
(1):
3.1.1模型的建立
1)目标函数
此目标函数的确立采用了先确定影响变量,再确定影响变量和总利润之间的关系的思路,让问题的模型具有条理性和简洁性。
根据总利润=生产各产品的数量×
各产品的单件利润—库存费用就可写出该函数方程。
2)约束条件
i.由于该工厂每月只工作24天,每天两班,每班8小时,同时,每月工作设备工作的台时不同,则该工厂第t个月第i种设备生产各产品所需时间等于
小时,约束条件如下:
………………
(1)
ii.由于已知该工厂生产的各种产品的最大需求量,因此,各产品的销售量需不超过各产品的最大需求量:
……………………
(2)
iii.由于题中规定,任何时候每种产品的存储量均不能超过100件,1月无库存,6月末各种产品各存储50件,所得公式如下:
(j=1,2,3,4,5)………………………(3)
………………………(4)
iv.另外,根据生产量,销售量及货存量之间的关系,可得数学表达式如下:
当t=1时
(j=1,2,3,…,7)………………………(5)
当
时
…………………………(6)
3.1.2模型的求解
由题中从1月到6月的维修计划可知工作矩阵:
,
由表一数据可知第i种设备生产单件第j种产品消耗的台时矩阵:
由表二可知,第t个月对第j种产品的最大需求量矩阵
由七种产品的单件利润可得到:
根据已得出的目标函数,以及各约束条件,用lingo软件求解该线性规划模型,具体公式如下:
用lingo软件编程,程序见附表一,求得最大利润为937115元,其各产品的生产计划表,库存量表,销售量表如下:
表3:
(例如表中第一个数500表示:
安排第一个月生产第一种产品500件)
表4:
六个月的各产品库存量
1
0
83
2
100
3
0
4
5
6
50
表5:
六个月的各产品销售量
50
3.2针对问题
(2):
3.2,1问题的分析
我们首先分析能够多购买几台机器使得总利润提高效率更高,又因为我们有前面的数据可知,部分型号产品并未达到最大需求量,并且前面主要由于几台机器在维修导致总利润并不是想象中那么大,在考虑存储费对总利润的影响小于产量的增加的影响,因此我们考虑多增加几台机器使得产量增加来使得总利润越大。
下面我们先考虑不购买设备时,产品的相关情况:
表六:
五种设备每月在加工七种产品时的最大工作时间
设备月份
1152
1536
768
384
表七:
各月每种型号产品的生产量
型号月份
7
我们可以根据不同设备在加工不同型号产品所需时间的大小不同来计算每种设备在每月的应当工作时间里所加工的时间。
再由表一,我们可以得到下表:
表八:
每种设备在达到最优解时每月实际的工作时间
设备月份
1151.6
1105
80
420
510
770
437.6
370
240
230
406.4
383.6
540
110
152.64
123
82
128
68.5
43.83
38.67
19
66
因此,我们将表六和表八作差得到每种设备在达到最优解时每月工时差(即闲置时间)如下表所示:
表九:
每种设备在达到最优解时每月工时差
每月工时差月份
0.4
431
1456
1116
642
766
330.4
782
528
154
168
745.6
732
612
658
231.36
261
302
256
315.5
340.17
345.33
365
318
由上表我们分析可知,找出这0.4,0这样特殊点:
1:
磨床,水平钻这两个设备是由于工作时间长为了达到每月的最优生产量,使得他们几乎是全天工作,镗床,就比如磨床在第一个月生产工作总时间几乎是全天的,类似的,水平钻在第二个月也是这样的,而立钻几乎在每个月都没工作很长时间,长时间都是闲置的。
2:
镗床,刨床分别在三月和六月则是由于维修导致该机器无法正常参与到加工生产中来,因此我们就要考虑购买不足的设备,观察购买的设备对总利润的影响值。
3.2.2模型建立
(目标函数):
(约束条件):
t=1时
1<
t<
=6时
其中
并且
3.2.3问题
(2)的求解
因此我们设置变量X=(x1,0,x3,x4,x5)分别表示购买该种类设备的数量。
我们先单独考虑仅购买一种设备对目标函数达到最大利润值的影响。
一:
x1=1,即当我们只考虑购买一台磨床时,我们可以由问题
(1)lingo程序帮助我们实现:
(程序见附表2)
当我们每月按照下列情况生产时,可以达到利润最大Z1=946835
381
119
102
248
x2=1,同理我们有Z2=937530.0
x3=1.同理我们有Z3=1033530
四:
X4=1,同理我们有Z2=1058415
因此我们初步断定购买每购买一个镗床,刨床,对目标函数取得最大值的影响较大。
于是我们令X=(x1,0,x,3,x3,x4)其中xi=1,2,3,4……一一代入,运用lingo软件输出计算结果,我们发现当x值达到一定程度时,Z的值趋近于1164550.我们找到最小的X=(1,0,0,1,1,)使得Z2=1164550.同时我们也发现当X=(0,0,0,1,1)时,Z2=1154830。
又因为由第一问我们知道Z1=937115。
所以我们可以知道当我们购入三台设备磨床,镗床,刨床时,可使目标函数增加1164550-937115=227435。
当我们购入两台设备镗床,刨床时,可使目标函数增加1154830-937115=217715.所以我们有了以下结论:
四:
模型的误差分析
文中基本假设合理,所建模型数学推导严谨,理论可靠,逻辑严密,而且易于理解,但由于市场的不稳定性,产品的利润及需求量存在着不确定性,故可能产生一些误差,误差大小与市场经济的稳定性有关,另外,软件和计算机的精度也会导致产生误差。
五:
模型的评价及改进方向
5.1模型的优点
我们的模型有以下优点:
1.适当在原有模型基础进行扩展,使工厂安排更加合理。
2.基本模型对问题的描述精确,合理,推导严谨,理论性强;
3.通过合理的数据处理,将题中表格的数据及所需数据转换为矩阵形式,便于理解、分析和求解。
4.易于推广。
当今社会的各个领域,都存在着不同类型的优化问题,而在企业生产中,在一定条件下,最大利润生产方案和最优设备维修方案显得尤为重要,根据现实条件调整该模型对企业生产、设备维修将有很大的帮助;
5.2模型的缺点及改进方向
当然,模型也存在着一些缺点:
主要是没有很好地联系经济来讨论,模型中涉及的单件产品利润只是个大概,存在着一定的误差,并且问题
(2)的求解并不是非常严谨,只是通过多次规律得出的结论,并没去用枚举法验证,这是问题
(2)求解的一个遗憾之所在,另外,本题没有考虑维修各台设备的成本,及设备是否在规定的时间里能完全修好等等。
要建立较好的能适应于社会生产和设备维修的模型,应考虑诸多因素,以及一些其它的细节,能做到这些,所建立的模型将更适应现实社会。
六:
参考文献
[1]姜启源,谢金星,叶俊,数学模型(第三版),北京:
高等教育出版社,2003.
[2]韩中庚,数学建模方法及其应用,北京:
高等教育出版社,2005.
[3]林震岩,多变量分析——SPSS的操作与应用,北京:
北京大学出版社,2007.
[4]袁新生,《Excel在数学建模中的应用》,北京:
科学出版社,2007.
[5]谢金星,《优化建模与lingo优化软件》
[6]张世贤数学建模最优化模型
七:
附录
◆附表一:
model:
sets:
product/1..7/:
b,m;
month/1..6/;
machine/1..5/;
link1(product,month):
a,h,x,s;
link2(machine,month):
d;
link3(product,machine):
c;
endsetsdata:
b=1006080401109030;
m=5;
a=50060030020005001000500600300100500300200040050010030000500100300800400500200100011002003004000300500100150100100060;
d=115215361536153611521536768768768384384768115238411521152115276838438403843843843843843843843840;
c=0.50.10.20.0500.70.200.030000.800.0100.300.0700.3000.10.050.20.60000.500.60.080.05;
enddatamax=@sum(product(j):
b(j)*@sum(month(t):
s(j,t)))-@sum(link1(j,t):
h(j,t)*m(j));
@for(product(j):
h(j,1)=x(j,1)-s(j,1));
@for(link1(j,t)|t#gt#1:
h(j,t)=h(j,t-1)+x(j,t)-s(j,t));
@for(link1(j,t):
h(j,t)<
=100);
@for(link1(j,t)|t#eq#6:
h(j,t)=50);
@for(link2(i,t):
@sum(product(j):
x(j,t)*c(j,i))<
=d);
s(j,t)<
=a(j,t));
@for(link1:
@gin(x));
end
◆附表二:
a=500600300200050010005006003001005003002000400500100300005001003008004005002001000110020030040003005001
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- 关 键 词:
- 已知 工厂 生产 产品 IIIIIIIVVVIVII