中考备战数学专题复习精品资料第十五讲《图形的初步及相交线平行线》含详细参考答案和教师用书Word文档格式.docx
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4.互为余角互为斜角
①互为余角:
若两个角的和是90°
,则称这两个角互为余角,即若∠1+∠2=,则称∠1与∠2互为余角;
同角或等角的余角;
②互为补角:
若两个角的和是180°
,则称这两个角互为补角,即若∠1+∠2=,则称∠1与∠2互为补角。
同角或等角的补角。
(1)互补和互余是指两个角的数量关系;
(2)一个锐角的补角比它的余角大90度。
知识点三、相交线
1.对顶角及其性质:
(1)对顶角和邻补角的定义:
两条直线相交所成的四个角中,的两个角是对顶角,的两个角是邻补角。
如图:
对顶角有,
邻补角有。
(2)对顶角性质:
。
2.垂线及其性质
(1)互相垂直:
两条直线相交所构成的四个角中有一个角是,则这两条直线互相垂直,其中一条直线叫另一条直线的。
(2)性质:
①在同一平面内,过一点与已知直线垂直;
②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,最短,(简称:
)。
(3)点到直线的距离:
直线外一点到这条直线的的长度,叫做点到直线的距离。
注意三个距离的区别:
(1)两点间的距离是指:
平面上两点连线段的长度;
(2)点到直线的距离是指:
直线外一点到这条直线的垂线段的长度;
(3)两平行线间的距离是:
从一条平行线上的任意一点到另一条直线的垂线段的长度。
3.三线八角:
如图,两条直线AB与CD被第三条直线EF所截,构成八个角中:
(1)同位角有对,分别是∠1与∠5,∠2与∠6,∠4与,∠3与;
(2)内错角有对,分别是∠2与,∠3与∠5;
(3)同旁内角有对,分别是∠3与∠8,∠2与。
知识点四、平行线:
1.平行线的定义:
在同一平面内的两条直线叫平行线;
2.平行公理:
(1)经过已知直线外一点已知直线平行;
(2)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相。
3.平行线的性质和判定
平行线的常用判定方法还有两条:
(1)平行于同一直线的两条直线互相平行;
(2)垂直于同一直线的两条直线互相平行。
知识点五、命题、公理、定理和证明
1.命题:
判断一件事情的语句叫命题,一个命题由和两部分构成,可分为和两类;
2.公理:
从实践中总结出来的,并把它们作为判断其它命题真伪的原始依据的真命题;
3.定理:
经过证明的命题叫做定理;
4.互逆命题与互逆定理:
(1)在两个命题中,如果一个命题的和是另一个命题的和,那么这两个命题称为互逆命题;
(2)如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个,这两个定理称为。
5.证明:
(1)根据题设、定义、公理及定理,经过逻辑推理来判断一个命题,这一推理过程称为证明;
(2)一个命题完整证明的一般步骤为:
①审题:
找出命题的和;
②根据题意画出;
③写出和;
④分析证明的思路;
⑤写出,每一步应有根据,要推理严密。
(1)判断一个命题是真命题要能给出证明,判断一个命题是假命题可以举出反例;
(2)任何一个命题一定有它的逆命题:
对于任意一个定理不一定有它的逆定理。
知识点六、尺规作图
1.尺规作图:
我们把只能使用和的直尺两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。
2.常见的五种基本作图:
(1)作一条线段等于已知线段;
(2)作一个角等于已知角;
(3)平分已知角;
(4)作线段的垂直平分线;
(5)经过一点作已知直线的垂线。
★★★中考典例剖析★★★
考点一:
几何体的展开图
例1(2018•巴中)毕业前夕,同学们准备了一份礼物送给自己的母校.现用一个正方体盒子进行包装,六个面上分别写上“祝、母、校、更、美、丽”,其中“祝”与“更”,“母”与“美”在相对的面上.则此包装盒的展开图(不考虑文字方向)不可能是( )
A.
B.
C.
D.
【思路分析】根据立方体的平面展开图规律解决问题即可.
【解答】解:
选项C不可能.
理由:
选项C,不可能围成的立方体,不符合题意,
故选:
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字,注意正方体的空间图形,从相对面入手,分析及解答问题.
♥♥♥思维升华♥♥♥
对于“正方体相对两个面上的文字”的问题,注意正方体的空间图形,其平面展开图中,相对的两个面中间一定隔着一个小正方形,要从相对面入手,分析及解答问题。
【跟踪训练】
1.(2018•河南)某正方体的每个面上都有一个汉字,如图是它的一种展开图,那么在原正方体中,与“国”字所在面相对的面上的汉字是( )
A.厉B.害
C.了D.我
2.(2018•湖北)如图是某个几何体的展开图,该几何体是( )
A.三棱柱B.三棱锥
C.圆柱D.圆锥
考点二:
余角和补角
例2(2018•德州)如图,将一副三角尺按不同的位置摆放,下列方式中∠α与∠β互余的是( )
A.图①B.图②
C.图③D.图④
【思路分析】根据平角的定义,同角的余角相等,等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解.
图①,∠α+∠β=180°
-90°
,互余;
图②,根据同角的余角相等,∠α=∠β;
图③,根据等角的补角相等∠α=∠β;
图④,∠α+∠β=180°
,互补.
【点评】本题考查了余角和补角,是基础题,熟记概念与性质是解题的关键.
若两个角的和为90°
,则这两个角互余;
若两个角的和等于180°
,则这两个角互补。
3.(2018•陇南)若一个角为65°
,则它的补角的度数为( )
A.25°
B.35°
C.115°
D.125°
考点三:
相交线与垂线
例3(2018•益阳)如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥CD.下列说法错误的是( )
A.∠AOD=∠BOCB.∠AOE+∠BOD=90°
C.∠AOC=∠AOED.∠AOD+∠BOD=180°
【思路分析】根据对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义逐一判断可得.
A、∠AOD与∠BOC是对顶角,所以∠AOD=∠BOC,此选项正确;
B、由EO⊥CD知∠DOE=90°
,所以∠AOE+∠BOD=90°
,此选项正确;
C、∠AOC与∠BOD是对顶角,所以∠AOC=∠BOD,此选项错误;
D、∠AOD与∠BOD是邻补角,所以∠AOD+∠BOD=180°
【点评】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角,解题的关键是掌握对顶角性质、邻补角定义及垂线的定义.
4.(2018•河南)如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°
,则∠BOC的度数为.
考点四:
平行线的判定与性质
例4(2018•聊城)如图,直线AB∥EF,点C是直线AB上一点,点D是直线AB外一点,若∠BCD=95°
,∠CDE=25°
,则∠DEF的度数是( )
A.110°
B.115°
C.120°
【思路分析】直接延长FE交DC于点N,利用平行线的性质得出∠BCD=∠DNF=95°
,再利用三角形外角的性质得出答案.
如图,延长FE交DC于点N,
∵直线AB∥EF,
∴∠BCD=∠DNF=95°
,
∵∠CDE=25°
∴∠DEF=95°
+25°
=120°
.
【点评】此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角,正确掌握平行线的性质是解题关键.
●●●触雷警示●●●
借助辅助线解决平行问题
当图形中出现平行线的条件,而又无法直接利用平行线的性质解决问题时,常作辅助线来构建已知条件与所求问题间的“桥梁”,这是解决此类问题的常用方法,也是容易出错的地方。
5.(2018•随州)如图,在平行线l1、l2之间放置一块直角三角板,三角板的锐角顶点A,B分别在直线l1、l2上,若∠l=65°
,则∠2的度数是( )
C.45°
D.65°
6.(2018•齐齐哈尔)一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°
,则∠DBC的度数为( )
A.10°
B.15°
C.18°
D.30°
考点五:
真假命题的识别
例5(2018•包头)已知下列命题:
①若a3>b3,则a2>b2;
②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>-2;
③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a∥c;
④周长相等的所有等腰直角三角形全等.
其中真命题的个数是( )
A.4个B.3个
C.2个D.1个
【思路分析】依据a,b的符号以及绝对值,即可得到a2>b2不一定成立;
依据二次函数y=x2-2x-1图象的顶点坐标以及对称轴的位置,即可得y1>y2>-2;
依据a∥b,b⊥c,即可得到a∥c;
依据周长相等的所有等腰直角三角形的边长对应相等,即可得到它们全等.
①若a3>b3,则a2>b2不一定成立,故错误;
②若点A(x1,y1)和点B(x2,y2)在二次函数y=x2-2x-1的图象上,且满足x1<x2<1,则y1>y2>-2,故正确;
③在同一平面内,a,b,c是直线,且a∥b,b⊥c,则a⊥c,故错误;
④周长相等的所有等腰直角三角形全等,故正确.
【点评】本题主要考查了命题与定理,任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
任何一个命题非真即假,要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可。
7.(2018•广安)下列命题中:
①如果a>b,那么a2>b2
②一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
③从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等
④关于x的一元二次方程ax2+2x+1=0有实数根,则a的取值范围是a≤1
A.1B.2
C.3D.4
考点六:
尺规作图
例6(2018•河南)如图,已知▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),点B在x轴正半轴上按以下步骤作图:
①以点O为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA,OB于点D,E;
②分别以点D,E为圆心,大于
DE的长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点F;
③作射线OF,交边AC于点G,则点G的坐标为( )
A.(
-1,2)B.(
,2)C.(3-
,2)D.(
-2,2)
【思路分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中,AO=
,依据∠AGO=∠AOG,即可得到AG=AO=
,进而得出HG=
-1,可得G(
-1,2).
如图,
∵▱AOBC的顶点O(0,0),A(-1,2),
∴AH=1,HO=2,
∴Rt△AOH中,AO=
由题可得,OF平分∠AOB,
∴∠AOG=∠EOG,
又∵AG∥OE,
∴∠AGO=∠EOG,
∴∠AGO=∠AOG,
∴AG=AO=
∴HG=
-1,
∴G(
-1,2),
【点评】本题主要考查了角平分线的作法,勾股定理以及平行四边形的性质的运用,解题时注意:
求图形中一些点的坐标时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律.
尺规作图的依据
常见的尺规作图一般有五种,复习时,要掌握每一种作图的基本步骤,并理解其中的作图依据,往往会不理解其中的作图依据而出错。
8.(2018•襄阳)如图,在△ABC中,分别以点A和点C为圆心,大于
AC长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN分别交BC,AC于点D,E.若AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC的周长为( )
A.16cmB.19cm
C.22cmD.25cm
☀☀☀感悟中考☀☀☀
分析课程标准和近五年的中考试题,可以发现中考命题主要集中在:
平行线的判定与性质,题型一般为选择题,通过近五年考题的规律,可以预测2019年中考试题中,可能会继续以选择题的形式考查平行线的判定与性质。
★★★真题达标演练★★★
一、选择题
1.(2018•梧州)已知∠A=55°
,则它的余角是( )
D.55°
2.(2018•贺州)如图,下列各组角中,互为对顶角的是( )
A.∠1和∠2B.∠1和∠3
C.∠2和∠4D.∠2和∠5
3.(2018•陕西)如图,是一个几何体的表面展开图,则该几何体是( )
A.正方体B.长方体
C.三棱柱D.四棱锥
【分析】由展开图得这个几何体为棱柱,底面为三边形,则为三棱柱.
4.(2018•邵阳)如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOD=160°
,则∠BOC的大小为( )
A.20°
B.60°
C.70°
D.160°
5.(2018•内江)如图是正方体的表面展开图,则与“前”字相对的字是( )
A.认B.真
C.复D.习
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题.对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形.
6.(2018•赤峰)已知AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于点G、H,∠EGB=25°
,将一个60°
角的直角三角尺如图放置(60°
角的顶点与H重合),则∠PHG等于( )
A.30°
C.40°
D.45°
7.(2018•枣庄)已知直线m∥n,将一块含30°
角的直角三角板ABC按如图方式放置(∠ABC=30°
),其中A,B两点分别落在直线m,n上,若∠1=20°
,则∠2的度数为( )
B.30°
D.50°
8.(2018•莱芜)如图,AB∥CD,∠BED=61°
,∠ABE的平分线与∠CDE的平分线交于点F,则∠DFB=( )
A.149°
B.149.5°
C.150°
D.150.5°
9.(2018•通辽)下列说法错误的是( )
A.通过平移或旋转得到的图形与原图形全等
B.“对顶角相等”的逆命题是真命题
C.圆内接正六边形的边长等于半径
D.“经过有交通信号灯的路口,遇到红灯”是随机事件
10.(2018•河北)尺规作图要求:
Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线;
Ⅱ、作线段的垂直平分线;
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线;
Ⅳ、作角的平分线.
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图:
则正确的配对是( )
A.①-Ⅳ,②-Ⅱ,③-Ⅰ,④-Ⅲ
B.①-Ⅳ,②-Ⅲ,③-Ⅱ,④-Ⅰ
C.①-Ⅱ,②-Ⅳ,③-Ⅲ,④-Ⅰ
D.①-Ⅳ,②-Ⅰ,③-Ⅱ,④-Ⅲ
11.(2018•潍坊)如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是:
(1)作线段AB,分别以A,B为圆心,以AB长为半径作弧,两弧的交点为C;
(2)以C为圆心,仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D;
(3)连接BD,BC.
下列说法不正确的是( )
A.∠CBD=30°
B.S△BDC=
AB2
C.点C是△ABD的外心D.sin2A+cos2D=1
12.(2018•郴州)如图,∠AOB=60°
,以点O为圆心,以任意长为半径作弧交OA,OB于C,D两点;
分别以C,D为圆心,以大于
CD的长为半径作弧,两弧相交于点P;
以O为端点作射线OP,在射线OP上截取线段OM=6,则M点到OB的距离为( )
A.6B.2C.3D.3
二、填空题
13.(2018•日照)一个角是70°
39′,则它的余角的度数是.
14.(2018•湘西州)如图,DA⊥CE于点A,CD∥AB,∠1=30°
,则∠D=.
15.(2018•盐城)将一个含有45°
角的直角三角板摆放在矩形上,如图所示,若∠1=40°
,则∠2=.
16.(2018•无锡)命题“四边相等的四边形是菱形”的逆命题是.
17.(2018•北京)用一组a,b,c的值说明命题“若a<b,则ac<bc”是错误的,这组值可以是a=,b=,c=.
18.(2018•南京)如图,在△ABC中,用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线,分别交AB、AC于点D、E,连接DE.若BC=10cm,则DE=cm.
19.(2018•葫芦岛)如图,OP平分∠MON,A是边OM上一点,以点A为圆心、大于点A到ON的距离为半径作弧,交ON于点B、C,再分别以点B、C为圆心,大于
BC的长为半径作弧,两弧交于点D、作直线AD分别交OP、ON于点E、F.若∠MON=60°
,EF=1,则OA=.
20.(2018•通辽)如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以点A和点C为圆心,以大于
AC的长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;
②作直线MN交BC于点D,连接AD.若AB=BD,AB=6,∠C=30°
,则△ACD的面积为.
三、解答题
21.(2018•重庆)如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=54°
,求∠2的度数.
22.(2018•益阳)如图,AB∥CD,∠1=∠2.求证:
AM∥CN.
23.(2018•重庆)如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°
,∠E=35°
,求∠EFB的度数.
24.(2018•赤峰)如图,D是△ABC中BC边上一点,∠C=∠DAC.
(1)尺规作图:
作∠ADB的平分线,交AB于点E(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)的条件下,求证:
DE∥AC.
25.(2018•广州)如图,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°
,AB>CD,AD=AB+CD.
(1)利用尺规作∠ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);
(2)在
(1)的条件下,
①证明:
AE⊥DE;
②若CD=2,AB=4,点M,N分别是AE,AB上的动点,求BM+MN的最小值.
♦♦♦详细参考答案♦♦♦
(1)线段有两个端点,射线有一个端点,直线无端点;
(2)线段可以度量、比较大小,把线段向两个方向无限延伸,就得到直线,将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,线段、直线、射线都有两种表示方法:
可以用其上的两个大写字母表示,也可以用一个小写字母表示。
两点确定一条直线;
(2)两点的所有连线中,线段最短,简单地说,两点之间,线段最短。
连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离。
(1)有公共端点的两条射线组成的图形叫做角,这个公共端点叫做角的顶点;
(2)角也可以看做是一条射线绕它的顶点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
锐角、钝角、直角、平角、周角。
(2)1周角=360度=2平角=4直角,1度=60分,1分=60秒。
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的平分线。
,则称这两个角互为余角,即若∠1+∠2=90°
,则称∠1与∠2互为余角;
同角或等角的余角相等;
,则称这两个角互为补角,即若∠1+∠2=180°
,则称∠1与∠2互为补角。
同角或等角的补角相等。
两条直线相交所成的四个角中,有公共顶点,且一个角的两边与另一个角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角,有一条公共边且另一边互为反向延长线的两个角是邻补角。
对顶角有∠1和∠3,∠2和∠4,
邻补角有∠1和∠2,∠1和∠4,∠2和∠3,∠4和∠3
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