北师大版数学必修二课时作业1521直线与平面平行的性质含答案.docx
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北师大版数学必修二课时作业1521直线与平面平行的性质含答案
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课时提升作业(七)
直线与平面平行的性质
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.如果点M是两条异面直线外的一点,则过点M且与a,b都平行的平面( )
A.只有一个B.恰有两个
C.没有或只有一个D.有无数个
【解析】选C.当其中一条异面直线平行于另一条异面直线和点M所确定的平面时,过点M且平行于a和b的平面不存在,否则过点M有且只有一个平面平行于a和b.
2.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是( )
A.α内的所有直线都与直线a异面
B.α内不存在与a平行的直线
C.α内的直线都与α相交
D.直线a与平面α有公共点
【解析】选D.a不平行于平面α,则有直线a在平面α内和直线a与平面α相交两种位置关系,若aα,则α内的所有直线与a共平面,平面内有无数条直线平行于a,故A,B,C均不正确.
3.过平面α外的直线l,作一组平面与α相交,如果所得的交线为a,b,c,…,则这些交线的位置关系为( )
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
【解析】选D.因为l⊈α,所以l∥α或l∩α=A,若l∥α,则由线面平行性质定理可知,l∥a,l∥b,l∥c,…,所以由公理4可知,a∥b∥c…;若l∩α=A,则A∈a,A∈b,A∈c,…,所以a,b,c,…,交于同一点A.
4.(2014·南昌高一检测)平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,则c与a,b的位置关系为( )
A.c与a,b都异面
B.c与a,b都相交
C.c至少与a,b中的一条相交
D.c与a,b都平行
【解析】选D.因为a∥b,a⊈γ,bγ,所以a∥γ,又aα,α∩γ=c,所以a∥c,所以a∥b∥c.
【举一反三】题干中若去掉条件a∥b,则a,b,c的位置关系为________.
【解析】因为aβ,bβ,
所以a∥b或a与b相交,
当a∥b时题中已证a∥b∥c,
当a与b相交时,
如图设a∩b=A,
则A∈a,A∈b,又aα,bγ,
所以A∈α,A∈γ,
所以A在α与γ的交线c上,
即a,b,c交于一点,
综上a∥b∥c或a,b,c交于一点.
答案:
a∥b∥c或a,b,c交于一点
5.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是( )
A.异面 B.平行
C.相交D.以上均有可能
【解析】选B.因为ABC-A1B1C1是三棱柱,
所以A1B1∥AB.
又因为A1B1⊈平面ABC,AB平面ABC,
所以A1B1∥平面ABC.因为A1B1平面A1B1ED,
平面A1B1ED∩平面ABC=DE,
所以A1B1∥DE.所以DE∥AB.
6.(2014·重庆高一检测)若空间四边形ABCD的两条对角线AC,BD的长分别为8和12,过AB的中点E且平行于BD,AC的截面是四边形,则此四边形的周长为
( )
A.10 B.20 C.24 D.16
【解题指南】先判断四边形的形状再求周长.
【解析】选B.如图,设截面为EFGH,因为AC∥平面EFGH,平面ACB∩平面EFGH=EF,AC平面ABC,所以AC∥EF,同理可得GH∥AC,所以EF∥GH.同理FG∥EH,故四边形EFGH为平行四边形,所以四边形的周长为2(EF+EH)=AC+BD=20.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014·阜阳高一检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中平面A1BD∩平面A1B1C1D1=l,则直线l与B1D1的位置关系是________.
【解析】因为B1D1∥BD,BD平面A1BD,B1D1⊈平面A1BD,所以B1D1∥平面A1BD.
又B1D1平面A1B1C1D1且平面A1B1C1D1∩平面A1BD=l,所以B1D1∥l.
答案:
平行
8.如图,a∥α,A是α的另一侧的点,B,C,D∈a,线段AB,AC,AD分别交α于E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,则EG=________.
【解析】因为a∥α,平面α∩平面ABD=EG,
所以a∥EG,即BD∥EG,
所以=====,
所以EG===.
答案:
9.如图,已知AB,CD为异面直线,E、F分别为AC,BD的中点,过E,F作平面α∥AB,若AB=4,EF=,CD=2,则AB与CD所成角的大小为________.
【解析】如图所示,连接AD交平面α于G,连接EG,GF.
因为AB∥α,AB平面ABD,
平面ABD∩α=GF.
所以AB∥GF,又F为BD中点,所以G为AD的中点,所以EG∥CD,∠EGF(或其补角)即为异面直线AB,CD所成的角.因为AB=4,CD=2,所以EG=1,GF=2,又EF=,所以EG2+GF2=EF2,所以∠EGF=90°,故异面直线AB与CD所成的角为90°.
答案:
90°
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.如图,已知E,F分别是菱形ABCD边BC,CD的中点,EF与AC交于点O,点P在平面ABCD外,M是线段PA上一动点,若PC∥平面MEF.试确定点M的位置.
【解析】如图,连接BD交AC于点O1,连接OM,
因为PC∥平面MEF,平面PAC∩平面MEF=OM,
所以PC∥OM,所以=.
在菱形ABCD中,
因为E,F分别为边BC,CD的中点,
所以=,又AO1=CO1,
所以==,
故PM∶MA=1∶3,即点M的位置在PA上使PM∶MA=1∶3的地方.
11.如图所示,一块矩形形状的太阳能吸光板安装在三棱锥形状的支撑架上,矩形EFGH的四个顶点分别在边AB,BC,CD,AD上,已知AC=a,BD=b,问E,F,G,H在什么位置时,吸光板的吸光量最大?
【解析】吸光板的吸光量的多少,取决于矩形EFGH的面积,设EH=x,EF=y,在矩形EFGH中,有EH∥FG,又EH⊈平面BCD,FG平面BCD.
所以EH∥平面BCD,而EH平面ABD,
平面ABD∩平面BCD=BD,
所以EH∥BD.同理可证得EF∥AC,
所以=,=.
所以+==1,所以y=a.
又矩形EFGH的面积为S=xy,
即S=a·x=-x2+ax(0 所以当x=-=时,S有最大值,此时y=,所以当E,F,G,H依次为AB,BC,CD,DA的中点时,吸光板的吸光量最大. 一、选择题(每小题4分,共16分) 1.(2014·蚌埠高一检测)一个平面截空间四边形的四边得到四个交点,如果该空间四边形中只有一条对角线与这个截面平行,那么这四个交点围成的四边形是( ) A.梯形 B.菱形 C.平行四边形D.任意四边形 【解析】选A.如图,空间四边形ABCD,平面α截四边形所得截面为EFGH,由BD∥α,平面BCD∩α=FG,BD平面BCD,所以BD∥FG.同理可得BD∥EH, 所以EH∥FG. 因为AC与α不平行,可得EF与GH不平行(若平行则AC∥α),所以四边形EFGH为梯形. 【举一反三】题干中若已知截面四边形是梯形,能判断截面与一条对角线平行吗? 若截面是平行四边形呢? 【解析】若截面是梯形,令EH∥FG. 因为FG平面BCD,EH⊈平面BCD. 所以EH∥平面BCD.又因为EH平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以EH∥BD. 又因为BD⊈平面EFGH,EH平面EFGH, 所以BD∥平面EFGH. 即截面与一条对角线平行, 若截面为平行四边形,同理可得截面与两条对角线都平行. 2.(2013·深圳高一检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,若BC1∥平面AB1D1,则等于( ) A. B.1 C.2 D.3 【解析】选B.连接A1B交AB1于O, 则O为A1B的中点, 因为BC1∥平面AB1D1, BC1平面A1BC1, 平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1,所以BC1∥OD1, 所以D1为A1C1的中点,即=1. 3.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为( ) A.2+2B.3+ C.3+2D.2+ 【解题指南】先证明EF∥AB,再根据三角形中位线等知识求解. 【解析】选C.因为AB=BC=CD=AD=2, 所以四边形ABCD为菱形,所以CD∥AB. 又CD⊈平面SAB,AB平面SAB,所以CD∥平面SAB. 又CD平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF, 所以CD∥EF.所以EF∥AB. 又因为E为SA的中点,所以EF=AB=1, 又因为△SAD和△SBC都是等边三角形,DE=CF=2×sin60°=, 所以四边形DEFC的周长为CD+DE+EF+FC=2++1+=3+2. 4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上的一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为( ) A.B.C.1D.2 【解析】选B.过点Q作QE∥A1D1交A1B1于点E, 取AA1的中点F. 连接EF,PF,AB1, 可证PF∥AD,AD∥A1D1, 所以QE∥PF. 所以Q,E,P,F四点共面. 又因为PQ∥平面AA1B1B, 平面PQEF∩平面AA1B1B=EF,所以PQ∥EF, 所以四边形PQEF是平行四边形, 所以QE=PF=A1D1. 所以E是A1B1的中点, 所以PQ=EF=AB1=. 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.如图,三棱锥P-ABC中,E是侧棱AP上任一点,过E与BC平行的截面EMN分别交AB,AC于M,N,则MN与平面PBC的位置关系为________. 【解析】因为BC∥平面EMN, 平面ABC∩平面EMN=MN,BC平面ABC, 所以BC∥MN, 又因为MN⊈平面PBC.BC平面PBC. 所以MN∥平面PBC. 答案: MN∥平面PBC 6.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为8的正方形.E,F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8.P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥平面PBD,则CF=________. 【解题指南】设AC与BD的交点为O,由EF∥平面PBD得EF∥PO,再由题意构造中位线得QC∥PO,证出EFCQ为平行四边形,再由题意求CF. 【解析】连接AC交BD于O,连接PO. 因为EF∥平面PBD,EF平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO, 所以EF∥PO,在PA1上截取PQ=AP=2,连接QC, 则QC∥PO, 所以EF∥QC, 所以EFCQ为平行四边形, 则CF=EQ, 又因为AE+CF=8,AE+A1E=8, 所以A1E=CF=EQ=A1Q=2, 从而CF=2. 答案: 2 三、解答题(每小题12分,共24分) 7.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC上一点,且A1B∥平面AC1D,D1是B1C1的中点,求证: 平面A1BD1∥平面AC1D. 【证明】连接A1C交AC1于点E,连接DE. 因为A1B∥平面AC1D, A1B平面A1BC,平面A1BC∩平面AC1D=DE. 所以
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