高考数学理科考点与题型全归纳第四章 三角函数与解三角形Word文件下载.docx
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(2)如图,在坐标系中画出直线y=x,可以发现它与x轴的夹角是,在[0,2π)内,终边在直线y=x上的角有两个:
,;
在[-2π,0)内满足条件的角有两个:
-,-,故满足条件的角α构成的集合为.
[答案]
(1)C
(2)
[题组训练]
1.集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析:
选B 当k=2n(n∈Z)时,2nπ≤α≤2nπ+(n∈Z),此时α的终边和0≤α≤的终边一样,当k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+π≤α≤2nπ+π+(n∈Z),此时α的终边和π≤α≤π
+的终边一样.
2.在-720°
~0°
范围内所有与45°
终边相同的角为________.
所有与45°
终边相同的角可表示为:
β=45°
+k×
360°
(k∈Z),
则令-720°
≤45°
0°
得-765°
≤k×
-45°
解得-≤k<
-(k∈Z),
从而k=-2或k=-1,
代入得β=-675°
或β=-315°
.
答案:
-675°
或-315°
[典例] 已知角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-,则+=________.
[解析] ∵角α的终边经过点P(-x,-6),且cosα=-,
∴cosα==-,
解得x=或x=-(舍去),
∴P,∴sinα=-,
∴tanα==,则+=-+=-.
[答案] -
[解题技法]
用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.
[题组训练]
1.已知角α的终边经过点(3,-4),则sinα+=( )
A.- B.
C.D.
选D ∵角α的终边经过点(3,-4),∴sinα=-,cosα=,∴sinα+=-+=.
2.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=( )
A.-B.-
C.D.
选B 设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点,则cosθ=.当t>
0时,cosθ=;
当t<
0时,cosθ=-.因此cos2θ=2cos2θ-1=-1=-.
[典例] 若sinαtanα<
0,且<
0,则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角D.第四象限角
[解析] 由sinαtanα<
0可知sinα,tanα异号,
则α为第二象限角或第三象限角.
由<
0可知cosα,tanα异号,
则α为第三象限角或第四象限角.
综上可知,α为第三象限角.
[答案] C
[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断
三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sinθ在一、二象限为正,cosθ在一、四象限为正,tanθ在一、三象限为正.
学习时首先把取正值的象限记清楚,其余的象限就是负的,如sinθ在一、二象限为正,那么在三、四象限就是负的.值得一提的是:
三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角,如sin=1>
0,cosπ=-1<
0.
1.下列各选项中正确的是( )
A.sin300°
>
0B.cos(-305°
)<
C.tan>
0D.sin10<
选D 300°
=360°
-60°
,则300°
是第四象限角,故sin300°
0;
-305°
=-360°
+55°
,则-305°
是第一象限角,故cos(-305°
)>
-=-8π+,则-是第二象限角,故tan<
3π<
10<
,则10是第三象限角,故sin10<
0,故选D.
2.已知点P(cosα,tanα)在第三象限,则角α的终边在( )
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
选B 由题意得⇒所以角α的终边在第二象限.
A级
1.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为( )
A.2 B.4
C.6D.8
选C 设扇形的半径为r(r>
0),弧长为l,则由扇形面积公式可得2=lr=|α|r2=×
4×
r2,解得r=1,l=|α|r=4,所以所求扇形的周长为2r+l=6.
2.(2019·
石家庄模拟)已知角α(0°
≤α<
)终边上一点的坐标为(sin150°
,cos150°
),则α=( )
A.150°
B.135°
C.300°
D.60°
选C 由sin150°
=>
0,cos150°
=-<
0,可知角α终边上一点的坐标为,故该点在第四象限,由三角函数的定义得sinα=-,因为0°
,所以角α为300°
3.(2018·
长春检测)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角α的取值集合是( )
A.B.
选D 当α的终边在射线y=-x(x≤0)上时,对应的角为+2kπ,k∈Z,当α的终边在射线y=-x(x≥0)上时,对应的角为-+2kπ,k∈Z,所以角α的取值集合是.
4.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cosα≤0,sinα>0,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,3]B.(-2,3)
C.[-2,3)D.[-2,3]
选A 由cosα≤0,sinα>0可知,角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上,所以有
解得-2<a≤3.
5.在平面直角坐标系xOy中,α为第二象限角,P(-,y)为其终边上一点,且sinα=,则y的值为( )
A.B.-
C.D.或
选C 由题意知|OP|=,则sinα==,解得y=0(舍去)或y=±
,因为α为第二象限角,所以y>
0,则y=.
6.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为( )
A.1B.-1
C.3D.-3
选B 由α=2kπ-(k∈Z)及终边相同的概念知,角α的终边在第四象限,因为角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sinθ<0,cosθ>0,tanθ<0.
所以y=-1+1-1=-1.
7.已知一个扇形的圆心角为,面积为,则此扇形的半径为________.
设此扇形的半径为r(r>
0),由=×
×
r2,得r=2.
2
8.(2019·
江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy中,60°
角终边上一点P的坐标为(1,m),则实数m的值为________.
∵60°
角终边上一点P的坐标为(1,m),∴tan60°
=,∵tan60°
=,∴m=.
9.若α=1560°
,角θ与α终边相同,且-360°
<θ<360°
,则θ=________.
因为α=1560°
=4×
+120°
,
所以与α终边相同的角为360°
k+120°
,k∈Z,
令k=-1或k=0,可得θ=-240°
或θ=120°
120°
或-240°
10.在直角坐标系xOy中,O为坐标原点,A(,1),将点A绕O逆时针旋转90°
到B点,则B点坐标为__________.
依题意知OA=OB=2,∠AOx=30°
,∠BOx=120°
设点B坐标为(x,y),
则x=2cos120°
=-1,y=2sin120°
=,即B(-1,).
(-1,)
11.已知=-,且lg(cosα)有意义.
(1)试判断角α所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sinα的值.
解:
(1)由=-,得sinα<
0,
由lg(cosα)有意义,可知cosα>
所以α是第四象限角.
(2)因为|OM|=1,所以2+m2=1,解得m=±
又因为α是第四象限角,所以m<
从而m=-,
sinα====-.
12.已知α为第三象限角.
(1)求角终边所在的象限;
(2)试判断tansincos的符号.
(1)由2kπ+π<α<2kπ+,k∈Z,
得kπ+<<kπ+,k∈Z,
当k为偶数时,角终边在第二象限;
当k为奇数时,角终边在第四象限.
故角终边在第二或第四象限.
(2)当角在第二象限时,
tan<0,sin>0,cos<0,
所以tansincos取正号;
当角在第四象限时,
tan<0,sin<0,cos>0,
所以tansincos也取正号.
因此tansincos取正号.
B级
1.若-<
-,从单位圆中的三角函数线观察sinα,cosα,tanα的大小是( )
A.sinα<
tanα<
cosαB.cosα<
sinα<
tanα
C.sinα<
cosα<
tanαD.tanα<
cosα
选C 如图所示,作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT,因为-<
-,所以α终边位置在图中的阴影部分,观察可得AT>
OM>
MP,故有sinα<
tanα.
2.已知点P(sinα-cosα,tanα)在第一象限,且α∈[0,2π],则角α的取值范围是( )
A.∪B.∪
C.∪D.∪
选B 因为点P在第一象限,所以即
由tanα>
0可知角α为第一或第三象限角,画出单位圆如图.
又sinα>
cosα,用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界),即角α的取值范围是∪.
3.已知角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0).
(1)求sinθ+cosθ的值;
(2)试判断cos(sinθ)·
sin(cosθ)的符号.
(1)因为角θ的终边过点P(-4a,3a)(a≠0),
所以x=-4a,y=3a,r=5|a|,
当a>0时,r=5a,sinθ+cosθ=-=-;
当a<0时,r=-5a,sinθ+cosθ=-+=.
(2)当a>0时,sinθ=∈,
cosθ=-∈,
则cos(sinθ)·
sin(cosθ)=cos·
sin<0;
当a<0时,sinθ=-∈,
cosθ=∈,
sin(cosθ)=cos·
sin>0.
综上,当a>0时,cos(sinθ)·
sin(cosθ)的符号为负;
当a<0时,cos(sinθ)·
sin(cosθ)的符号为正.
第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1;
(2)商数关系:
tanα=.
平方关系对任意角都成立,而商数关系中α≠kπ+(k∈Z).
2.诱导公式
一
二
三
四
五
六
2kπ+
α(k∈Z)
π+α
-α
π-α
+α
sinα
-sinα
cos_α
-cosα
-cos_α
-tanα
-tan_α
诱导公式可简记为:
奇变偶不变,符号看象限.“奇”“偶”指的是“k·
+α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化,若k是奇数,则正、余弦互变;
若k为偶数,则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k·
+α(k∈Z)”中,将α看成锐角时,“k·
+α(k∈Z)”的终边所在的象限.
二、常用结论
同角三角函数的基本关系式的几种变形
(1)sin2α=1-cos2α=(1+cosα)(1-cosα);
cos2α=1-sin2α=(1+sinα)(1-sinα);
(sinα±
cosα)2=1±
2sinαcosα.
(2)sinα=tanαcosα.
[典例]
(1)已知f(α)=,则f的值为________.
(2)已知cos=,则sin=________.
[解析]
(1)因为f(α)=
==cosα,
所以f=cos=cos=.
(2)sin=-sin=-sin=-sin=-sin=-cos=-.
[答案]
(1)
(2)-
1.已知tanα=,且α∈,则cos=________.
法一:
cos=sinα,由α∈知α为第三象限角,
联立解得5sin2α=1,故sinα=-.
法二:
cos=sinα,由α∈知α为第三象限角,由tanα=,可知点(-2,-1)为α终边上一点,由任意角的三角函数公式可得sinα=-.
-
2.sin(-1200°
)·
cos1290°
+cos(-1020°
sin(-1050°
)+tan945°
=________.
原式=sin(-3×
-120°
)cos(3×
+180°
+30°
)+cos(-3×
+60°
)sin(-3×
)+tan(2×
+45°
)=sin120°
cos30°
+cos60°
sin30°
+tan45°
=++1=2.
3.已知tan=,则tan=________.
tan=tan=tan=-tan=-.
考点二 同角三角函数的基本关系及应用
[典例]
(1)若tanα=2,则+cos2α=( )
A. B.-
C.D.-
(2)已知sinαcosα=,且<
,则cosα-sinα的值为( )
A.B.±
C.-D.-
[解析]
(1)+cos2α
=+
=+,
将tanα=2代入上式,则原式=.
(2)因为sinαcosα=,所以(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×
=,因为<
,所以cosα<
sinα,即cosα-sinα<
所以cosα-sinα=-.
[答案]
(1)A
(2)D
1.(2018·
甘肃诊断)已知tanφ=,且角φ的终边落在第三象限,则cosφ=( )
选D 因为角φ的终边落在第三象限,所以cosφ<
0,因为tanφ=,
所以解得cosφ=-.
2.已知tanθ=3,则sin2θ+sinθcosθ=________.
sin2θ+sinθcosθ====.
3.已知=5,则sin2α-sinαcosα=________.
由已知可得sinα+3cosα=5(3cosα-sinα),
即sinα=2cosα,所以tanα==2,
从而sin2α-sinαcosα====.
4.已知-π<
0,sin(π+α)-cosα=-,则cosα-sinα的值为________.
由已知,得sinα+cosα=,
sin2α+2sinαcosα+cos2α=,
整理得2sinαcosα=-.
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,
且-π<
0,所以sinα<
0,cosα>
所以cosα-sinα>
0,故cosα-sinα=.
1.已知x∈,cosx=,则tanx的值为( )
A. B.-
选B 因为x∈,所以sinx=-=-,所以tanx==-.
淮南十校联考)已知sin=,则cos的值为( )
A.-B.
选A ∵sin=,∴cos=cos=-sin=-.
3.计算:
sin+cos的值为( )
A.-1B.1
C.0D.-
选A 原式=sin+cos
=-sin-cos=--=-1.
4.若=,则tanθ的值为( )
选D 因为==,
所以2(sinθ+cosθ)=sinθ-cosθ,
所以sinθ=-3cosθ,所以tanθ=-3.
5.(2018·
大庆四地六校调研)若α是三角形的一个内角,且sin+cos=,则tanα的值为( )
C.-或-D.不存在
选A 由sin+cos=,
得cosα+sinα=,∴2sinαcosα=-<
∵α∈(0,π),∴sinα>
0,cosα<
∴sinα-cosα==,
∴sinα=,cosα=-,
∴tanα=-.
6.在△ABC中,sin=3sin(π-A),且cosA=-cos(π-B),则△ABC为( )
A.等腰三角形B.直角三角形
C.等腰直角三角形D.等边三角形
选B 将sin=3sin(π-A)化为cosA=3sinA,则tanA=,则A=,将cosA=-cos(π-B)化为cos=cosB,则cosB=,则B=,故△ABC为直角三角形.
7.化简:
==sin2θ.
sin2θ
8.化简:
·
sin(α-π)·
cos(2π-α)=________.
原式=·
(-sinα)·
=·
cosα=-sin2α.
-sin2α
9.sin·
cos·
tan的值为________.
原式=sin·
tan
=×
(-)=-.
10.(2019·
武昌调研)若tanα=cosα,则+cos4α=________.
tanα=cosα⇒=cosα⇒sinα=cos2α,故+cos4α=+cos4α=sinα++cos4α=sinα++sin2α=sin2α+sinα+1=sin2α+cos2α+1=1+1=2.
11.已知α为第三象限角,
f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若cos=,求f(α)的值.
(1)f(α)=
==-cosα.
(2)∵cos=,
∴-sinα=,从而sinα=-.
又∵α为第三象限角,
∴cosα=-=-,
∴f(α)=-cosα=.
12.已知sinα=,求tan(α+π)+的值.
因为sinα=>
所以α为第一或第二象限角.
tan(α+π)+
=tanα+=+
=.
①当α为第一象限角时,cosα==,
原式==.
②当α为第二象限角时,cosα=-=-,
原式==-.
综合①②知,原式=或-.
1.已知sinα+cosα=,α∈(0,π),则=( )
选A 因为sinα+cosα=,
所以(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=,
所以sinαcosα=-,又因为α∈(0,π),
所以sinα>
0,所以cosα-sinα<
因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=1-2×
=,
所以cosα-sinα=-,
所以====-.
2.已知θ是第一象限角,若sinθ-2cosθ=-,则sinθ+cosθ=________.
∵sinθ-2cosθ=-,
∴sinθ=2cosθ-,
∴2+cos2θ=1,
∴5cos2θ-cosθ-=0,
即=0.
又∵θ为第一象限角,∴cosθ=,
∴sinθ=,∴sinθ+cosθ=.
3.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sinθ和cosθ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
(1)原式=+
==sinθ+cosθ.
由条件知sinθ+cosθ=,
故+=.
(2)由已知,得sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,
因为1+2sinθcosθ=(sinθ+cosθ)2,
所以1+2×
=2,解得m=.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
故当sinθ=,cosθ=时,θ=;
当sinθ=,cosθ=时,θ=.
第三节三角函数的图象与性质
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理:
在正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:
(0,0),,(π,0),,(2π,0).
在余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象上,五个关键点是:
(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
函数y=sinx,x∈[0,2π],y=cos
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