第一章第四节空间曲线曲率计算公式及推导Word文档格式.docx
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rr(s),这里参
数s是曲线自身的弧长,我们知
道,r(s)是曲线的切向量,
||r(s)||1,即r(s)是单位向量。
记Tr(s),T(s)r(s),
T(s)与T(ss)的夹角,
度量了曲线的弯曲程度。
,我们称之
||T(s)||||r(s)||lim|
为曲线r(s)的曲率,用k(s)来表
示,k(s)||r(s)||。
(举例解释,需要曲率这个量来刻画曲线;
曲珑拐弯,拐弯抹角的程度。
例1.直线可以用向量方程表示为r(s)usv,其中u和v为常向量,并且||u||1,这时切向量
T(s)r(s)u是常向量,从而
r(s)0,曲率k(s)0。
反之,如果k0,即r(s)0,
由此可知r(s)是常向量,进而解
3
得r(s)usv,其中u和v为常向
量。
由此可知:
直线的特征是k0。
例2.讨论圆
r(s)(acos
asin
)。
a
(这是由于
r()(acos,asin),
而sa,
,故圆的方程可表
示为r(s)
(acos
ss
这时,r(s)(sina,cosa),
4
r(s)(1coss,1sins)。
aaaa
于是,k(s)||r(s)||a,
即圆的曲率等于其半径的倒数。
空间曲线曲率的计算公式:
rr(t),这里参数
t不必是弧长参数。
dr
drdt
r(t)dt
我们有ds
dtds
ds
d2r
r(t)(dt)2
r(t)d2t
ds2
ds2,
将以上两式的双方作向量外积,
5
得
dt
rr(t)(
由于||dr||2
1,
0,(即互相垂直)
得ds
k(t)||d2r
||
d
2r
||r(t)
r
(t)|||(dt)3|
由于||dr||ds,
所以|dt|3
||ds||3
||dr||3||r(t)||3
由此得出曲率公式
6
r(t)||
k(t)
(t)||3
||r
r(t)(x(t),y(t),z(t)),
把||r(t)r(t)||2
||r(t)||2||r(t)||2(r(t),r(t))2
(x(t)2y(t)2z(t)2)(x(t)2y(t)2z(t)2)
(x(t)x(t)y(t)y(t)z(t)z(t))2,
代入曲率公式,可得简便计算公
式k(t)
(t)||
||r
[||r(t)||2
(t)||2(r(t),r(t))2]2。
||r(t)||3
7
例3求圆柱螺线
r(t)(acot,sasitn,bt),a0
的曲率。
解直接计算,得
r(t)(asint,acost,b),
r(t)(acost,asint,0),
所以,
||r||a2b2,
||r||a,
(r(t),r(t))0,
又||r(t)r(t)||2
a2(a2b2),
8
代入公式k(t)
||r(t)r(t)||
3,
||r(t)||
得出曲率
ka2b2。
它是一个常数,这与几何直觉是相符合的。
平面曲线的曲率计算公式:
设平面曲线L:
r(t)(x(t),y(t))。
||r(t)r(t)||2
(x(t)2y(t)2)(x(t)2y(t)2)
(x(t)x(t)y(t)y(t))2
(x(t)y(t)x(t)y(t))2,
所以,平面曲线L:
9
r(t)
(x(t),y(t))的曲率
k(t)
|x(t)y(t)x(t)y(t)|
(x(t)2
y(t)2)2
对曲线yy(x),
xx
此时yy(x),
则曲率
|y(x)|
k(x)
(1y(x)2)32。
若曲线由极坐标方程rr()
给出,且r()二阶可导。
则可得
xr()cosyr()sin
xrcosrsin
yrsinrcos
10
x
cos
2r
sin
rcos
y
rsin
由曲率公式
|x(t)y(t)
x(t)y(t)|
k(t)
(x(t)2
y(t)2)2
可计算:
x()2y()2r2r2
x()y()x()y()
(rr
rr
sin2
2cos2
2rrcos
r2sin2)
cossin
rrcos
2rsin
2rr
r2
代入,得曲率为
rr
K
(r2
2)2
例6求心形线ra(1cos)(a0)
在0处的曲率。
解
11
r(
2a
r'
asin
'
acos
r22rrr
代入公式K
r2)2
它在0曲率为
a)
2a(
k
4a。
空间曲线曲率公式的另一种证明方法:
对光滑曲线:
r
r(t),
t
[,],
0,
s(t)
||r()||d,ds
12
ss(t)严格递增,反函数存在,记
为tt(s),把它代入rr(t);
所以,r是s的函数,这里参
数s是弧长参数。
我们有
||dr
||||dr
||||dt||
||r(t)||
||dr||21
,drdr
1。
dsds
空间曲线的曲率(描述曲线的弯曲程度)。
设曲线的参数方程为:
xx(t),yy(t),zz(t),
t,
并假设是光滑曲线,且x(t),
13
y(t),z(t)连续,
设r
r(s),则曲率k
||r(s)||。
设
曲
线
rr(t)
(x(t),y(t),z(t)),这里参数t不
必是弧长参数。
我们有r(t)(x(t),y(t),z(t)),
||r(t)||2
(r
(t),r(t)),
(||r(t)||)
[(r
(t),r(t))2
]
1(r
(t),r(t))
2(r(t),r(t))
(r(t),r(t))
;
||r()||d
,ds
||r(t)||,
1,||
1,ds
14
0,ds
ds,
r(t)(
r(t)
(),
(t)||,
d(dt)
d(
)(
)dt
||r(t)||
||r(t)||ds
(||r(t)||)dt
1(r(t),r(t))1
||r(t)||2||r(t)||||r(t)||
||r(t)||4
0,
由ds
15
代入计算,得
r(t)r(t)(dt)2
||r(t)||2d(dt)0
由此而来
r(t)r(t)(dt)2||r(t)||2d(dt),
dsdsds
由2
(),得
2ddt
(
ds)
(t)r(t)(
ds(ds
(t)||2(d
(dt))2
||r(t)||2
||r(t)||2(d
2[(r(t),r(t))]2
(t)||4
||r(t)||8
[||r(t)||2||r(t)||2(r(t),r(t)))2],
||r(t)||6
16
故得空间曲线:
rr(t)(x(t),y(t),z(t))
的曲率
k||d2r
[||r(t)||2||r(t)||2(r(t),r(t)))2]2
||r(t)||3
r(t)||
即k(t)
设平面曲线L:
r(t)(x(t),y(t)),
(x(t)y(t)x(t)y(t))2
17
y(t)2)
当曲线L由方程y
f(x)给出
时,此时
f(x),利用上式,
x1,yf(x),x0,
yf(x),
故曲率
|y|
|f
(x)|
(1(y)
[1(f
(x))
曲率半径:
若光滑曲线L在点P处的曲率为k,
18
当k0时,称Rk为曲线L在P处的曲率半径。
(平面曲线的情形,也有用几何图形给出的更方便直观的证法,见华东师大的书。
)
例1、求曲线yex的曲率的最大值。
解由曲率K的表达式
(1y
e
(1
2x
|y
e)2
ex(1
e2x)2
ex[3(11
33
e2x)3]2
从而得K的最大值为
9。
19
例2、证明:
若曲线的所有切线经过同一点,则该曲线是一条直线.
证明证法一
设曲线r(t)的切线经过r0,
则有r(t)r0(t)r(t),
于是r(t)(t)r(t)(t)r(t),
r(t)r(t)(t)r(t)r(t),
假若r(t)r(t)
则(t)
1,
再由r(t)r(t)(t)r(t),
得(t)r(t)0,r(t)0,矛盾,
20
所以r(t)r(t)0,
从而曲率K(t)
故曲线r(t)必为一条直线.
证法二设曲线为r(s),s为弧长
参数;
所有切线经过的点为r0,
则有r(s)r0(s)r(s),
从而r(s)(s)r(s)(s)r(s),
由||r(s)||2
得r(s)与r(s)正交,
于是(s)||r(s)||2
0,
因为|(s)|||r(s)r0||0,
必有r(s)
21
所以r(s)为一条直线.
例3、求椭圆
acost,y
bsint,0
t2上曲
率最大和最小点.
由于
asint,x
acost,
bcost,y
bsint.
由公式K
|xy
xy
((x)
32
(y)
ab
b
(a
cost)
[(a
)sin
32.
不妨设ab0,
于是在t0,(长轴端点)
处曲率最大;
22
而在t2、2(短轴端点)
处曲率最小;
且Kmax
Kmin
b2
a2.
例4、由下述方程确定一条球面
x2y2z29,
曲线:
x2y23.
给定曲线上的一点P0(2,1,2),
求曲线在P0处的曲率.
解曲线为
r(x)(x,y(x),z(x));
由条件得x2y23,2x2z212;
再由2x2yy0,4x2zz0得
x,y
xy
y2
x2
y3
;
z
z
xz
z2
2x2
r
(2)(1,2,2),
r
(2)(0,3,3),
23
||r
(2)||3,||r
(2)||32,
(r
(2),r
(2))0,
代入曲率公式
[||r(x)||2||r(x)||2(r(x),r(x))2]2
(x)||3
计算,
得k
.
例5、设函数
u(x,y)具有连续
二阶偏导数,且
u
0,则等高
线u(x,y)
C(C为常数)的曲率
|(ux)2
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- 关 键 词:
- 第一章 第四 空间 曲线 曲率 计算 公式 推导