普通高等学校招生全国统一考试数学92理Word格式文档下载.docx
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2
个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为
(7)若loga2<
logb2<
0,则
(A)0<
a<
b<
1
(B)0<
1
(C)a>
b>
(D)b>
a>
(A)20°
(B)70°
(C)110°
(D)160°
(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多可有
(A)1个.
(B)2个.
(C)3个.
(D)4个.
(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是
(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为
(A)160.
(B)240.
(C)360.
(D)800.
(12)若0<
1,在[0,2π]上满足sinx≥a的x的范围是
(A)[0,arcsina].
(B)[arcsina,π-arcsina].
(13)已知直线l1和l2夹角的平分线为y=x,如果l1的方程是ax+by+c=0
(ab>
0),那么l2的方程是
(A)bx+ay+c=0.
(B)ax-by+c=0.
(C)bx+ay-c=0.
(D)bx-ay+c=0.
(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值是
(15)已知复数z的模为2,则│z-i│的最大值为
(A)是奇函数,它在(0,+∞)上是减函数.
(B)是偶函数,它在(0,+∞)上是减函数.
(C)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数.
(D)是偶函数,它在(0,+∞)上是增函数.
(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么
(A)f
(2)<
f
(1)<
f(4).
(B)f
(1)<
f
(2)<
f(4).
(C)f
(2)<
f(4)<
f
(1).
(D)f(4)<
f
(1).
(18)长方体的全面积为11,十二条棱长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为
(C)5.
(D)6.
二、填空题:
把答案填在题中横线上.
(20)sin15°
sin75°
的值是
.
(21)设含有10个元素的集合的全部子集数为S,其中由3个元素组成的
(22)焦点为F1(-2,0)和F2(6,0),离心率为2的双曲线的方程是.
(23)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则
三、解答题:
解答应写出文字说明、演算步骤.
(26)已知:
两条异面直线a、b所成的角为θ,它们的公垂线段AA1的长度为d.在直线a、b上分别取点E、F,设A1E=m,AF=n.
(27)设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a3=12,S12>
0,S13<
0.
(Ⅰ)求公差d的取值范围.
(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12中哪一个值最大,并说明理由.
1992年全国普通高等学校招生统一考试(理工农医卷)
数学参考答案
本题考查基本知识和基本运算.
(1)A
(2)D
(3)D
(4)B
(5)D
(6)B
(7)B
(8)C
(9)D
(10)D
(11)B
(12)B
(13)A
(14)D
(15)D
(16)C
(17)A
(18)C
三、解答案
(24)本小题考查复数相等的条件及解方程的知识.
解:
设z=x+yi(x,y∈R).
将z=x+yi代入原方程,得
(x+yi)(x-yi)-3i(x-yi)=1+3i,
整理得
x2+y2-3y-3xi=1+3i.
根据复数相等的定义,得
由①得
x=-1.
将x=-1代入②式解得y=0,y=3.
∴z1=-1,z2=-1+3i.
(25)本小题主要考查三角函数和角公式等基础知识及运算能力.
由题设知α-β为第一象限的角,
由题设知α+β为第三象限的角,
∴
sin2α=sin[(α-β)+(α+β)]
=sin(α-β)cos(α+β)+cos(α-β)sin(α+β)
(26)本小题考查空间图形的线面关系,空间想象能力和逻辑思维能力.
解法一:
设经过b与a平行的平面为α,经过a和AA1的平面为β,α∩β=c,则c∥a.因而b,c所成的角等于θ,且AA1⊥c(如图).
∵
AA1⊥b,
∴
AA1⊥α.
根据两个平面垂直的判定定理,β⊥α.
在平面β内作EG⊥c,垂足为G,则EG=AA1.并且根据两个平面垂直的性质定理,EG⊥α.连结FG,则EG⊥FG.在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
AG=m,
∴在△AFG中,
FG2=m2+n2-2mncosθ.
EG2=d2,
EF2=d2+m2+n2-2mncosθ.
如果点F(或E)在点A(或A1)的另一侧,则
EF2=d2+m2+n2+2mncosθ.
解法二:
经过点A作直线c∥a,则c、b所成的角等于θ,且AA1⊥c.
根据直线和平面垂直的判定定理,AA1垂直于b、c所确定的平面a.
在两平行直线a、c所确定的平面内,作EG⊥c,垂足为G,则EG平行且等于AA1,
从而EG⊥α.
连结FG,则根据直线和平面垂直的定义,EG⊥FG.
在Rt△EFG中,EF2=EG2+FG2.
(以下同解法一)
(27)本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力.
(Ⅰ)解:
依题意,有
由a3=12,得
a1=12-2d.
③
将③式分别代①、②入,得
(Ⅱ)解法一:
由d<
0可知
a1>
a2>
a3>
…>
a12>
a13.
因此,若1≤n≤12在中存在自然数n,使得an>
0,an+1<
0,
则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.
由于
S12=6(a6+a7)>
S13=13a7<
即
a6+a7>
a7<
由此得
a6>
-a7>
因为
0,a7<
故在S1,S2,…,S12中S6的值最大.
(Ⅱ)解法二:
d<
S6最大.
(Ⅱ)解法三:
0可知
a1>
因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an>
(28)本小题考查椭圆性质、直线方程等知识,以及综合分析能力.
证法一:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因线段AB的垂直平分线与x轴相交,故AB不平行于y轴,即x1≠x2.又交点为P(x0,0),故
│PA│=│PB│,即
A、B在椭圆上,
将上式代入①,得
x1≠x2,可得
-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,
-2a<
x1+x2<
2a,
证法二:
设A、B的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2).因P(x0,0)在AB的垂直平分线上,以点P为圆心,│PA│=r为半径的圆P过A、B两点,圆P的方程为
(x-x0)2+y2=r2,
与椭圆方程联立,消去y得
因A、B是椭圆与圆P的交点,故x1,x2为方程①的两个根.由韦达定理得
因-a≤x1≤a,-a≤x2≤a,且x1≠x2,故
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