河南省洛阳市届高三上学期尖子生第一次联考数学文试题Word版含答案.docx
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河南省洛阳市届高三上学期尖子生第一次联考数学文试题Word版含答案
河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考
数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束,将答题卡交回.
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,B={x|y=ln(2-x)},在A∩B=
A.(1,3)B.(1,3]C.[-1,2)D.(-1,2)
2.设复数(i为虚数单位),则z的虚部为
A.-1B.1C.–iD.i
3.为了解学生在课外活动方面的支出情况,抽取了n个同学进行调查,结果显示这些学生的支出金额(单位:
元)都在[10,50],期中支出金额在[30,50]的学生有117人,频率分布直方图如图所示,则n=
A.180B.160
C.150D.200
4.已知,则
A.B.C.D.
5.已知实数x,y满足,则的最大值为
A.3B.C.2D.
6.已知双曲线(t>0)的一个焦点与抛物线的焦点重合,则双曲线的离心率为
A.B.2C.4D.
7.已知函数,则的图像大致为
A.B.C.D.
8.已知菱形ABCD的对角线AC长为2,则
A.1B.C.2D.
9.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.
B.
C.
D.
10.如图,已知边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,点E为线段CD1的中点,则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为
A.
B.
C.
D.
11.设函数,若方程恰好有三个根,分别为,则的值为
A.B.C.D.
12.已知函数,则关于x的不等式
的解集为
A.B.
C.D.
第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知矩形ABCD的边AB=2,AD=1,则__________.
14.直线ax-y+3=0与圆相交于A、B两点且,则a=__________.
15.已知数列的前n项和为,且,则数列的通项公式
__________.
16.已知A,B,C,D四点在半径为的球面上,且AC=BD=4,AD=BC=,AB=CD,则三棱锥D-ABC的体积是__________.
三、解答题:
本大题共6个小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c且满足(2a-c)cosB=bcosC,
.
(1)求角B的大小;
(2)若△ABC为锐角三角形,求实数的取值范围.
18.(本小题满分12分)
在2018年3月洛阳第二次模拟考试中,某校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130的占95%人,数学成绩的频率分布直方图如图:
(1)如果成绩不低于130的为特别优秀,这100名学生中本次考试语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人?
(2)如果语文和数学两科都特别优秀的共有3人.
①从
(1)中的这些同学中随机抽取2人,求这两人两科成绩都优秀的概率.
②根据以上数据,完成2×2列联表,并分析是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学,数学也特别优秀.
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
数学不特别优秀
合计
参考数据:
①;
②
0.50
0.40
…
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
…
6.635
7.879
10.828
19.(本小题满分12分)
如图,在三棱锥ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,
.
(1)求证:
AB1⊥CC1;
(2)若,D1为线段A1C1上的点,且三棱锥C-B1C1D1的体积为,求.
20.(本小题满分12分)
已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个焦点为N,△F2MN的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P、Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.
21.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)当a=4时,求曲线在(1,f
(1))处的切线方程;
(2)若时,,求a的取值范围.
选考部分:
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程(10分)
以直角坐标系的原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C1的极坐标方程为,曲线C2的参数方程是
(为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及C2的普通方程;
(2)已知点,直线l的参数方程为(t为参数),设直线l与曲线C1相交于M,N两点,求的值.
23.选修4-5:
不等式选讲(10分)
已知函数.
(1)求函数的最小值k;
(2)在
(1)的结论下,若正实数a,b满足,求证:
.
河南省洛阳市2020届高三上学期尖子生第一次联考
数学(文)试题参考答案
一、选择题
1-5CBABD6-10BBCBA11-12CC
二、填空题
13.414.115.16.
三、解答题
17.
(1)因为(2a-c)cosB=bcosC,由正弦定理得:
(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,……1分
所以2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,……3分
因为sinA≠0,所以.……4分
因为,所以.……6分
(2)因为,
由正弦定理得:
,所以,……8分
因为,且三角形为锐角三角形,……10分
所以,所以.……12分
18.解:
(1)我校共有100名文科学生参加考试,其中语文考试成绩低于130的占95%人,
语文成绩特别优秀的概率为P1=1-0.95=0.05,语文特别优秀的同学有100×0.05=5人,数学成绩特别优秀的概率为P2=0.002×20=0.04,数学成绩特别优秀的同学有100×0.04=4人;
……2分
(2)①语文数学两科都优秀的有3人,单科优秀的有3人,……3分
记两科都优秀的3人分别为A1,A2,A3,单科优秀的3人分别为B1,B2,B3,从中随机抽取2人,共有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A3,B1),(A3,B2),(A3,B3),共15种,其中这两人两科成绩都优秀的有(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3)3种,则这两人两科成绩邰优秀的概率为:
……7分
②2×2列联表:
语文特别优秀
语文不特别优秀
合计
数学特别优秀
3
1
4
数学不特别优秀
2
94
96
合计
5
95
100
……10分
∴
∴有95%的把握认为语文特别优秀的同学,数学页特别优秀.……12分
19.证明:
(1)连AC1,CB1,
∵在三棱锥ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,∠ACC1=∠CC1B1=60°,
∴△ACC1和△B1CC1皆为正三角形.……2分
取CC1的中点O,连OA,OB1,则CC1⊥OA,CC1⊥OB1,
∵OA∩OB1=O,∴CC1⊥平面OAB1,
∵平面OAB1,∴CC1⊥AB1.……5分
(2)解:
∵,
∴又
(1)知,OA=OB1=3,∴,
∴OA⊥OB1,∴OA⊥平面B1C1C,……8分
,
∴,……10分
∵D1为线段A1C1上的点,且三棱锥C-B1C1D1的体积为,
∴,……11分
∴.……12分
20.解:
(1)因为△F1MN的周长为,所以即,……1分
由直线MF1的斜率1,得,因为,所以b=1,c=1,……2分
所以椭圆的标准方程为.……3分
(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1,联立得
解得,所以,因为,即
所以,所以……7分
当直线l的斜率为0时,不符合题意.……8分
故设直线l的方程为x=my-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),由点P在点Q的上方,
则,……9分
联立
所以,所以,……10分
消去y1得,,所以,
得,,……11分
又点P在点Q的上方不符合题意,所以,
故直线l的斜率为.……12分
21.解:
(1)的定义域为,当a=4时,
,,……1分
∴
曲线在(1,f
(1))处的切线方程为2x+y-2=0……3分
(2)当时,等价于……4分
设,则,
①当a≤2,时,,
故,在上单调递增,因此;……8分
②当a>2时,令,得,,
由,和得,
故当时,,在单调递减,
此时,综上a的取值范围是.……12分
22.解:
(1)因为,所以,
所以……2分
因为,所以……4分
(2)将直线l的参数方程代入得,
设M,N两点对应的参数为t1,t2,则……6分
所以
……10分
23.解:
(1)因为
所以函数的最小值为3.……5分
(2)由
(1)知,
因为
所以
所以.……10分
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