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(y)ddyd
(a)
可见,纵向纤维的线应变与纤维的坐标y成正比。
2、物理关系
因为纵向纤维之间无正应力,每一纤维都处于单向受力状态,当应力小于比例极限时,由胡克定律知
E
将(a)式代入上式,得
E#(b)
这就是横截面上正应力变化规律的表达式。
由此可知,横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比,而在距中性轴为y的同一横线上各点处的正应力均相等,这一变化规律可由图8.4来表示。
3、静力学关系
以上已得到正应力的分布规律,但由于中性轴的位置与中性层曲率半径的大小均尚未确
定,所以仍不能确定正应力的大小。
这些问题需再从静力学关系来解决。
如图8.5所示,横截面上各点处的法向微内力bdA组成一空间平行力系,而且由于横
Fn
dA0
A
(c)
My
zdA0
(d)
MzydA0
A/
(e)
以式(b)代入式(c),得
AdA
—aydA0
(f)
上式中的积分代表截面对z轴的静矩Sz。
静距等
于零意味着z轴必须通过截面的形心。
以式(b)代入式
(d),得
adA
EAyzdA0
(g)
图8.5
式中,积分是横截面对y和z轴的惯性积。
由于y轴是截面的对称轴,必然有Iyz=0,所
示上式是自然满足的。
以式(b)代入式(e),得
MAydA
2
AydA
(h)
式中积分
y2dAIZ
(i)
是横截面对z轴(中性轴)的惯性矩。
于是,
(h)式可以写成
EIz
(8.1)
此式表明,在指定的横截面处,中性层的曲率与该截面上的弯矩M成正比,与EIz成反比。
在同样的弯矩作用下,EIz愈大,则曲率愈小,即梁愈不易变形,故EIz称为梁的抗弯
刚度。
再将式(8.1)代入式(b),于是得横截面上y处的正应力为
(8.2)
此式即为纯弯曲正应力的计算公式。
式中M为横截面上的弯矩;
Iz为截面对中性轴的惯性矩;
y为所求应力点至中性轴的距离。
当弯矩为正时,梁下部纤维伸长,故产生拉应力,上部纤维缩短而产生压应力;
弯矩
为负时,则与上相反。
在利用(8.2)式计算正应力时,可以不考虑式中弯矩M和y的正负
号,均以绝对值代入,正应力是拉应力还是压应力可以由梁的变形来判断。
应该指出,以上公式虽然是纯弯曲的情况下,以矩形梁为例建立的,但对于具有纵向对
称面的其他截面形式的梁,如工字形、T字形和圆形截面梁等仍然可以使用。
同时,在实
际工程中大多数受横向力作用的梁,横截面上都存在剪力和弯矩,但对一般细长梁来说,剪
力的存在对正应力分布规律的影响很小。
因此,(8.2)式也适用于非纯弯曲情况。
8.1.2最大弯曲正应力
由式(8.2)可知,在y=ymax即横截在由离中性轴最远的各点处,弯曲正应力最大,其值为
MyM
max_ymax
1z1z
ymax
称为抗弯截面系数,也叫抗弯截面模量。
式中,比值lz/ymax仅与截面的形状与尺寸有关,用Wz表示。
即为
IzWz—(8.3)
ymax
于是,最大弯曲正应力即为
max
M
Wz
(8.4)
可见,最大弯曲正应力与弯矩成正比,与抗弯截面系数成反比。
抗弯截面系数综合反映
了横截面的形状与尺寸对弯曲正应力的影响。
bh2
(8.5)
(8.6)
而空心圆截面的抗弯截面系数则为
(8.7)
式中a=d/D,代表内、外径的比值。
至于各种型钢截面的抗弯截面系数,可从型钢规格表中查得(见附录)。
例8.1图8.7所示悬臂梁,自由端承受集中荷载F作用,已知:
h=18cm,b=12cm,y=6cm,a=2m,F=1.5KN。
计算A截面上K点的弯曲正应力。
解先计算截面上的弯矩
MaFa1.523kNm
截面对中性轴的惯性矩
bh3
12
3
5.832107mm4
120180
Ma
Iz
亠匚60
5.832107
3.09MPa
A截面上的弯矩为负,K点是在中性轴的上边,所以为拉应力。
8.2平面图形的几何性质
构件在外力作用下产生的应力和变形,都与构件的截面的形状和尺寸有关。
反映截面形
状和尺寸的某些性质的一些量,如拉伸时遇到的截面面积、扭转时遇到的极惯性矩和这一章
前面遇到的惯性矩、抗弯截面系数等,统称为截面的几何性质。
为了计算弯曲应力和变形,需要知道截面的一些几何性质。
现在来讨论截面的一些主要的几何性质。
8.2.1形心和静矩
若截面形心得坐标为yc和zc(C为截面形心),将面积得每一部分看成平行力系,即看成等厚、均质薄板的重力,根据合力矩定理可得形心坐标公式
zdA
ZC
yc
AydA
微面积dA,微面积对z轴的静矩为ydA,对y轴的静矩为zdA,则整个截面对z和y轴的静矩分别为:
SzAydA
SyzdA
yA
有形心坐标公式
AydAAye
(b)
Azc
知:
Sz
Aye
Sy
Aze
?
上式中ye和ze是截面形心e的坐标,上式来计算截面的静矩。
从上面可知,同一截面对不同轴的静矩不同度的立方,用m3或cm3、mm3等表示
当截面由几个规则图形组合而成时,代数和。
其表达式为
n
SzAiyi
i1
SyAizi
而截面形心坐标公式也可以写成
ze
Ay
ye
Az
A是截面面积。
当截面形心的位置已知时可以用
静矩可以是正负或是零;
静矩的单位是长
当坐标轴过形心时,截面对该轴的静矩为零。
截面对某轴的静矩,应等于各个图形对该轴静矩的
8.2.2惯性矩、惯性积和平行移轴定理
在图8.8中任意截面上选取一微面积
dA,则微面积dA对z轴和y轴的惯性矩为z2dA
和Y2dA。
则整个面积对z轴和y轴的惯性矩分别记为Iz和Iy,而惯性积记为Izy,则定义:
IyAz2dA
IzyAzydA
极惯性矩定义为
IA2dAA(z2y2)dAIzIy(j)
从上面可以看出,惯性矩总是大于零,因为坐标的平方总是正数,惯性积可以是正、负
和零;
惯性矩、惯性积和极惯性矩的单位都是长度的四次方,用m4或cm4、mm4等表示。
同一截面对不同的平行的轴,它们的惯性矩和惯性积是不同的。
同一截面对二根平行轴
的惯性矩和惯性积虽然不同,但它们之间存在一定的关系。
下面讨论二根平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。
图8.9所示任意截面对任意轴对z'
轴和y'
轴的惯性矩、惯性积分别为Iz、|y和Izy。
过形心C有平行于z'
、y'
的两个坐标轴z和y,截面对z、y轴的惯性矩和惯性积为Iz、Iy和Izy。
对oz'
y'
坐标系形心坐标为C(a,b)。
截面上选取微面积dA,dA的形心坐标为
则按照惯性矩的定义有
22
IyzdA(za)dA
yAAv'
zdA2azdAadA
AAA
上式中第一项为截面对过形心坐标轴y轴的惯性
矩;
第三项为面积的a2倍;
而第二项为截面过形心坐标轴y轴静矩乘以2a。
根据静矩的性质,对过形心轴的静矩为零,所以第二项为零。
这样上式可以写为
IyIyca2A(k)
同理可得:
IzIzcbA(l)
zy
Izcyc
abA
(m)
圏8.10
也就是说,截面对于平行于形心轴的惯性矩,等于该截面对形心轴的惯性矩再加上其面积乘以两轴间距离的平方;
而截面对于平行于过形心轴的任意两垂直轴的惯性积,等于该面积对过形心二轴的惯性积再加上面积乘以相互平行的二轴距之积。
这就是惯性矩和惯性积的平行移轴定理。
例8.2计算图8.10所示T形截面的形心和过它的形心z轴的惯性矩。
解
(1)确定截面形心位置
选参考坐标系oz'
,如图8.10所示。
将截面分解为上面和下面两个矩形部分,截面形心C的纵坐标为
Ai
yc
100010850160010400
2600102
573mm
Zc0
(2)计算截面惯性矩
上面矩形与下面矩形对形心轴z的惯性矩分别为
13294
Iz110001003100010027727.75109mm412
1
z212
200
8003
800200173213.32109mm4
zIz1
Iz2
21.1
94
10mm
8.3梁的弯曲剪应力
当进行平面弯曲梁的强度计算时,一般来说,弯曲正应力是支配梁强度计算的主要因素,
但在某些情况上,例如,当梁的跨度很小或在支座附近有很大的集中力作用,这时梁的最大
弯矩比较小,而剪力却很大,如果梁截面窄且高或是薄壁截面,这时剪应力可达到相当大的
数值,剪应力就不能忽略了。
下面介绍几种常见截面上弯曲剪应力的分布规律和计算公式。
8.3.1矩形截面梁的弯曲剪应力
(a)⑹
8.I]
图8.11(a)所示矩形截面梁,在纵向对称面内承受荷载作用。
设横截面的高度为h,宽度
为b,为研究弯曲剪应力的分布规律,现作如下假设:
横截面上各点处的剪应力的方向都平行于剪力,并沿截面宽度均匀分布。
有相距dx的横截面从梁中切取一微段,如图8.12(a)。
然
(a)⑹M
Sj8.12
后,在横截面上纵坐标为y处,再用一个纵向截面m-n,将该微段的下部切出,如图8.12(b)。
设横截面上y处的剪应力为t,则由剪应力互等定理可知,纵横面m-n上的剪应力t'
在数
值上也等于T。
因此,当剪应力t'
确定后,T也随之确定。
如图8.12(a)所示,由于存在剪力Fq,截面1-1与2-2的弯矩将不相同,分别为M和M+dM
设微段下部横截面m与n2的面积为3,在该两截
Ni与N2,则由微段下部的轴向平衡方程
因此,上述两截面的弯曲正应力也不相同。
面上由弯曲正应力所构成的轴向合力分别为工x=0可知,
bdxbdxN1N2
由此得
2N2
bdx
由图8-12(c)可知
N1
dA+ydA
式中,积分代表截面3对
z轴的静矩,并用
Sz*表示,因此有
MSz
N2
(MdM)Sz
(MFQdx)Sz
将式(b)和式(c)代入式(a),于是得
(8.8)
FqSz
式中:
Iz代表整个横截面对中性轴矩z的惯性距;
而Sz*则代表y处横线一侧的部分截面对
h2
b(2y)1(2y)2(4
将上式及lz=bh3/12代入式(8.8)得
*y
㈤⑹
EB.13
3Fq
2bh
(1
第)
(8.9)
由此可见:
矩形截面梁的弯曲剪应力沿截面高度呈抛物线分布(图8.13);
在截面的上、
下边缘(y-),剪应力t=0;
在中性轴(y=0),剪应力最大,其值为
(8.10)
3Fq
2bh
8.3.2工字形截面梁的弯曲剪应力
工字形截面梁由腹板和翼缘组成。
其横截面如图8.14所示。
中间狭长部分为腹板,上、
下扁平部分为翼缘。
梁横截面上的剪应力主要分布于腹板上,翼缘部分的剪应力情况比较复
杂,数值很小,可以不予考虑。
由于腹板比较狭长,因此可以假设:
腹板上各点处的弯曲剪应力平行于腹板侧边,并沿腹板厚度均匀分布。
腹板的剪应力平行于腹板的竖边,且沿宽度
方向均匀分布。
根据上述假设,并采用前述矩形截面梁的分析方法,得腹板上y处的弯曲剪
应力为:
rzb
式中,lz为整个工字形截面对中性轴z的惯性矩,Sz*为y处横线一侧的部分截面对该轴的静矩,b为腹板的厚度。
由图8.14(a)可以看出,
对中性轴z的静矩为
y处横线以下的截面是由下翼缘部分与部分腹板的组成,
该截面
B吟珂城殳)
b(2y)
B2
8(h
1」、y(y)
h2)b否
24
y2)
因此,腹板上y处的弯曲剪应力为
FQb(H2h2)b(h
Izb824
(8.11)
腹板上的弯曲剪应力沿腹板高度方向也是呈二次抛物线分布,如图8.14(b)
所示。
在中性轴处(y=0),剪应力最大,在腹板与翼缘的交接处(y=±
h/2),剪应力最小,其
值分别为
min
Fq
Izb
BH2
8
S
(8.12)
(警
(8.13)
从以上两式可见,当腹板的宽度b远小于翼缘的宽度B,Tmax与Tmin实际上相差不大,所以可以认为在腹板直剪应力大致是均匀分布的。
可用腹板的截面面积除剪力Fq,近似地
bh
得表示腹板的剪应力,即
(8.14)
在工字形截面梁的腹板与翼缘的交接处,剪应力分布比较复杂,而且存在应力集中现象,为了减小应力集中,宜将结合处作成圆角。
8.3.3圆形截面梁的弯曲剪应力
对于圆截面梁,在矩形截面中对剪应力方向所作的假设不再适用。
由剪应力互等定理可
知,在截面边缘上各点剪应力t的方向必与圆周相切,因此,在水平弦AB的两个端点上的
剪应力的作用线相交于y轴上的某点p,如图8.15(a)。
由于对称,AB中点C的剪应力必定是垂直的,因而也通过p点。
由此可以假设,AB弦上各点剪应力的作用线都通过p点。
如
再假设AB弦上各点剪应力的垂直分量Ty是相等的,于是对Ty来说,就与对矩形截面所作
的假设完全相同,所以,可用公式来计算,即
(8.15)
Izb
图e.is
式中,b为AB弦的长度,Sz*是图8.15(b)中阴影部分的面积对z轴的静矩。
在中性轴上,剪应力为最大值Tmax。
其值为
4Fq4Fq
37次(8佝
式中,Fq/A是梁横截面上平均剪应力。
例8.3梁截面如图8.16(a)所示,横截面上剪力Fq=15KN。
试计算该截面的最大弯曲剪应力,以及腹板与翼缘交接处的弯曲剪应力。
截面的惯性矩Iz=8.84X10-6m4。
丄J
Ea.is
解(1最大弯曲剪应力。
最大弯曲剪应力发生在中性轴上。
中性轴一侧的部分截面对中性轴的静矩为
Sz,max
(20mm120mm45mm)20mm43
9.02510mm
所以,最大弯曲剪应力为
FqSZ,max
(15103N)(9.025104mm3)
(8.84106mm4)(20mm)
7.66MPa
(2)腹板、翼缘交接处的弯曲剪应力。
由图8.16(b)可知,腹板、翼缘交接线一侧的部发截面对中性轴
z的静矩为
43
Sz(20mm120mm35mm)8.4010mm
所以,该交接处的弯曲剪应力为
(15103N)(8.40104mm3)
64
8.8410mm20mm
7.13MPa
8.4梁的强度条件
在一般情况下,梁内同时存在弯曲正应力和剪应力,为了保证梁的安全工作,梁最大应力不能超出一定的限度,也即,梁必须要同时满足正应力强度条件和剪应力强度条件。
以下将据此建立梁的正应力强度条件和剪应力强度条件。
8.4.1弯曲正应力强度条件
最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处,小,因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向受力状态,
而该处的剪应力一般为零或很所以,弯曲正应力强度条件为
(8.16)
即要求梁内的最大弯曲正应力c
max不超过材料在单向受力时的许用应力[c]。
对于等截面直梁,上式变为
(8.17)
利用上述强度条件,可以对梁进行正应力强度校核、截面选择和确定容许荷载。
842弯曲剪应力强度条件
最大弯曲剪应力通常发生在中性轴上各点处,而该处的弯曲正应力为零,因此,最大弯
曲剪应力作用点处于纯剪切状态,相应的强度条件为
FqSzmax
(8.18)
即要求梁内的最大弯曲剪应力Tmax不超过材料在纯剪切时的许用剪应力[T]。
对于等截面直
梁,上式变为
FqS
z,max
(8.19)
在一般细长的非薄壁截面梁中,最大弯曲正应力远大于最大弯曲剪应力。
因此,对于一
般细长的非薄壁截面梁,通常强度的计算由正应力强度条件控制。
因此,在选择梁的截面时,
一般都是按正应力强度条件选择,选好截面后再按剪应力强度条件进行校核。
但是,对于薄
壁截面梁与弯矩较小而剪力却较大的梁,后者如短而粗的梁、集中荷载作用在支座附近的梁
等,则不仅应考虑弯曲正应力强度条件,而且弯曲剪应力强度条件也可能起控制作用。
例8.4图8.17(a)所示外伸梁,用铸铁制成,横截面为T字形,并承受均布荷载q作用。
试校该梁的强度。
已知荷载集度q=25N/mm,截面形心离底边与顶边的距离分别为yi=95mm和y2=95mm,惯性矩Iz=8.84x10-6m4,许用拉应力[<
rt]=35MPa,许用压应力[<
rc]=140Mpa。
解
(1)危险截面与危险点判断。
梁的弯矩如图8.17(b)所示,在横截面D与B上,分别作用有最大正弯矩与最大负弯矩,因此,该二截面均为危险截面。
截面D与B的弯曲正应力分布分别如图8.17(c)与(d)所示。
截面D的a点与截面B的d
点处均受压;
而截面D的b点与截面B的c点处均受拉。
3)
urn
因此
(Td|
由于|Md|>
|Mb|ya|>
|yd|,|
①a|>
I
即梁内的最在弯曲压应力bc,max发生在截面D的a点处。
至于最大弯曲拉应力bt,max,究
竟发生在b点处,还是c点处,则须经计算后才能确定。
概言之,a,b,c三点处为可能最先
发生破坏的部位。
简称为危险点。
(2)强度校核。
由式(8.2)得a,b,c三点处的弯曲正应力分别为
M°
ya
(5.56106Nmm)(95Omm)59.8MPa
8.84
106mm4
MDyb
28.3MPa
Mbyc
33.6MPa
c,max
59.8MPa
t,max
可见,梁的弯曲强度符合要求。
例8.5悬臂工字钢梁AB图8.18(a),长l=1.2m,在自由端有一集中荷载F,工字钢的
型号为18号,已知钢的许用应力[d]=170Mpa,略去梁的自重,⑴试计算集中荷载F的最大许可值。
(2)若集中荷载为45kN,拭确定工字钢的型号。
解
(1)梁的弯矩图如图8—18(c)所示,最大弯矩在靠近固定端处,其绝对值为
Mmax=FI=1.2FN•m
由附录中查得,18号工字钢的抗弯截面模量为
Wz=185x103mm3
由公式(8.16)得
1.2FW(185x10-6)(170x106)
因此,可知F的最大许可值为
1851703
[F]max26.2103N=26.2kN
1.2
(2)最大弯矩值Mmax=Fl=1.2x45x103N•m=54x103N•m
按强度条件计算所需抗弯截面系数为
54106Nmm
170MPa
3.18105mm3318cm3
查附录可知,22b号工字钢的抗弯截面模量为325cm3,所以可选用22b号工字钢。
例8.6例8.5中的18号工字钢悬臂梁,按正应力的强度计算,在自由端可承受的集中荷载F=26.2KN。
已知钢材的抗剪许用应力[t]=100Mpa。
试按剪应力校核梁的强度,绘出
沿着工字钢腹板高度的剪应力分布图,并计算腹板所担负的剪力FQ1。
解
(1)按剪应力的强度校核。
截面上的剪力Fq=26
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