PID控制LQRH控制器实例已修正错误.docx

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PID控制LQRH控制器实例已修正错误

0引言

随着磁盘驱动器轨道密度的不断增长，越来越多的算法被引入到磁盘驱动器的磁头定位上；由于H∞控制能详细的指定闭环系统的结构，利用H∞控制来增强HDD伺服系统的性能和鲁棒性成为一种可行的方法；本文将对几种常见的控制器：

PID,极点配置，LQR和H∞控制器进行研究，并比较各种控制的优缺点。

本文则分别介绍了4种不同的控制控制器来改善系统的动态性能、稳态性能、跟踪性能和抗干扰性能。

1原系统的特性

1.1参考论文系统结构图分析

本文通过阅读《AComparativeStudyoftheUseoftheGeneralizedHoldFunctionforHDDs》一文，对硬盘伺服系统的模型进行分析，如图1-1所示是参考论文系统结构图。

图1-1参考论文系统结构图

其中P为控制对象、K为控制器、S为采样器、y采样器测量值、v为采样测量噪声、为外部干扰、W为低通滤波器、U为控制器输出、、和比例因子。

参考论文采用的是H∞控制器来改善一个离散系统性能，本文在没有考虑采样器情况下，针对控制对象P来设计几种控制器来改善一个连续系统性能，并做了一个横向比较。

1.2控制对象的传递函数

式

（1）为控制对象传递函数，下文中针对控制对象P设计控制器，首先，经过对被控对象分析，加入一个比例因子就可以达到一个基本的控制效果。

MATLAB程序仿真如下：

num=conv（[-3*10^7],[1-2.4*10^51.92*10^10]）;%多项式乘法

den=conv（[1251.33.948*10^5],[12.4*10^51.92*10^10]）;

g1=tf（num,den）

g=g1/（-76）;%加入比例因子

G=minreal（g）

figure

（1）;step（G）;

Transferfunction:

394800s^2-9.475e010s+7.58e015

s^4+2.403e005s^3+1.926e010s^2+4.92e012s+7.58e015

图1-2原系统阶跃响应曲线

由仿真结果知，系统传递函数互质，状态空间最小实现为4阶。

如图1-2所示系统阶跃响应曲线可知系统稳定，超调量53%，响应时间0.045s，但是控制效果不理想。

因此，需要进一步设计控制器来改善系统性能。

下面对硬盘模型P进行四种控制器的设计:

PID控制器、基于极点配置的状态反馈控制器、线性二次最优（LQR）控制器、控制器。

2PID控制器设计

2.1PID控制器原理

为了便于理解PID控制器的原理，首先介绍一下典型PID控制器系统原理框图如图2-1所示：

-

图2-1典型PID控制结构

在图2-1中，系统的偏差信号为。

在PID调节作用下，控制器对误差信号分别进行比例、积分、微分运算，其结果的加权和构成系统的控制信号，送给被控对象加以控制。

PID控制器的数学描述为：

式中，Kp为比例系数，Ti为积分时间常数，Td的微分时间常数。

连续PID控制器的Laplace变换式可以写成：

但为了避免纯微分运算，经常用一阶滞后环节来近似纯微分环节，即将PID控制器写成如下形式：

本文采用Ziegler-Nichols公式得出PID函数来进行PID控制器的设计，从系统的稳定性、响应速度、超调量和稳态精度等各方面来考虑,kp,ki,kd的作用如下:

（1）比例系数kp的作用是加快系统的响应速度,提高系统的调节精度。

kp越大,系统的响应速度越快,系统的调节精度越高,但易产生超调,甚至会导致系统不稳定。

kp取值过小,则会降低调节精度,使响应速度缓慢,从而延长调节时间,使系统静态、动态特性变坏。

（2）积分作用系数ki的作用是消除系统的稳态误差。

ki越大,系统静态误差消除越快,但ki过大,在响应过程的初期会产生积分饱和现象,从而引起响应过程的较大超调。

若ki过小,将使系统静态误差难以消除,影响系统的调节精度。

（3）微分作用系数kd的作用是改善系统的动态特性,其作用主要是在响应过程中抑制偏差向任何方向的变化,对偏差变化进行提前预报。

但kd过大,会使响应过程提前制动,从而延长调节时间,而且会降低系统的抗干扰性能。

2．2PID控制器设计

加入PID控制器之后，通过如上所述kp、ki、kd的作用调节Kp、Ti、Td参数使得闭环传递函数阶跃响应达到理想效果，MATLAB程序仿真如下：

num=conv（[-3*10^7],[1-2.4*10^51.92*10^10]）;

den=conv（[1251.33.948*10^5],[12.4*10^51.92*10^10]）;

G1=tf（num,den）;

G=G1/（-76）;%这一项有问题

G1=-G1;

[Kc,b,Wc,d]=margin（G1）;%取得控制对象幅值裕度Kc、相位裕度d、和交叉频率Wc、d

Tc=2*pi/Wc;%求取参数

Kp=0.45*Kc;Ti=0.5*Tc;Td=0.5*Tc;

GPID=Kp*（1+tf（1,[Ti0]）+tf（[Td0],[Td/201]））;

figure

（2）;

step（feedback（G1*GPID,1）,'-',G,'--'）;

figure（3）;

bode（feedback（G1*GPID,1）,'-',feedback（G,1）,'--'）;

axis（[00.0101.6]）%有问题，这里

%各参数取值为：

Kp=0.150********068

Ti=9.728509668515869e-004

Td=9.728509668515869e-004

N=20

设计控制器为：

系统阶跃响应曲线如图2-2所示：

图2-2PID控制前后的阶跃响应曲线

图2-3PID控制后系统的伯德图

2.3控制器性能分析

如图2-2、图2-3所示分析了PID控制前后系统动态性能和稳态性能，系统的超调量由53%降为14.2%，调节时间由0.045s降到0.00452s，动态性能明显提高。

从闭环系统伯德图可以看出，系统零频幅振比M（0）=0db,所以阶跃响应输入时，其稳态误差为0，另外，校正后系统的谐振峰值远小于原系统，所有超调量比较小，而频带宽度比原系统宽，所以调节时间比较短，快速性比较好，但抗干扰性能比较差。

再看PID控制的扰动输入时情况。

在原系统模型中：

1、令，则可得到由输入到输出的传递函数为：

（6）

2、令，则可得到由干扰到输出的传递函数为：

（7）

由以上分析可知，。

MATLAB程序仿真如下：

figure（3）;step（1/（1+GPID*G1））;%干扰信号的阶跃响应

axis（[00.007-0.31.2]）;

图2-4PID控制系统抗干扰性能曲线

图2-4所示，PID控制器作用下系统对阶跃干扰信号几乎可以完全抑制，系统抗干扰性能非常好。

因此，该控制器方案达到预期效果。

2.4Simulink仿真link仿真

利用Simulink仿真PID控制，仿真图如下图2-5

图2-5Simulink仿真图

仿真结果如下：

图2-6阶跃响应曲线

图2-7控制信号输入

从图2-6，图2-7仿真结果可以知道，系统可以较快跟踪阶跃信号，而且控制对象的控制信号输入也在合理范围以内。

3极点配置控制器的设计

3.1极点配置设计

本文中原系统传递函数是4阶SISO系统，且系统传递函数互质，因此首先把系统化为能控标准型，然后可直接进行基于状态反馈的极点配置。

由对控制对象分析知道，系统的平衡实现中:

g=[116.165278.17590.00510.0005]

可以看出系统有两个极点的权重非常小，可以忽略它的影响，对系统分析时，

系统的主要性能由主导极点决定。

对系统进行降阶，可以得到系统降阶后传递函数为：

系统降阶后模型为一个二阶系统。

对于二阶系统，其特征多项式为，对应特征根为，对于二节系统动态特性来说，当=0.707是为比较理想，这时。

基于以上分析选择两个主导极点和两个远极点，得到MATLAB程序仿真如下：

num=conv（[-3*10^7],[1-2.4*10^51.92*10^10]）;

den=conv（[1251.33.948*10^5],[12.4*10^51.92*10^10]）;

G1=tf（num,den）;

G=G1/（-76）;

Gs=sscanform（G,'ctrl'）%把原系统化为能控标准型

[ABCD]=ssdata（Gs）;

P=[-3000-3000i,-3000+3000i,-20000,-21000];%期望极点

K=acker（A,B,P）;

Ac=A-B*K;

[num,den]=ss2tf（Ac,B,C,D）;

G1=tf（num,den）;

Gs1=sscanform（G1,'ctrl'）;

figure

（2）;

step（G,'--',G1,'-'）;%控制前后的阶跃响应

figure（3）;

subplot（1,2,1）

margin（G）;%原系统伯德图

subplot（1,2,2）

margin（G1）;%PID控制系统伯德图

图3-1极点配置控制前后系统阶跃响应曲线

图3-2极点配置控制前后系统的伯德图

3.2极点配置控制器分析

如图3-1、图3-2所示基于极点配置状态反馈控制前后系统动态性能和稳态性能，系统超调量由53%降为4%，调节时间由0.045s降到0.002s，动态性能大幅提高。

从系统伯德图可以看出，系统零频幅振比M（0）=0db,所以阶跃响应输入时，其稳态误差为0，另外，校正后系统的谐振峰值为0，所以没有振荡，且超调量比较小，而频带宽度比原系统宽，所以调节时间比较短，快速性比较好，但抗干扰性能比较差。

3.3Simulink仿真

用simulink仿真如下：

图3-3极点配置系统结构

图3-4极点配置系统阶跃响应曲线

如图3-3、3-4所示simulink仿真与程序仿真效果一样。

因此，该控制器方案比较理想。

4LQR控制器的设计

4.1LQR控制器原理

线性二次型调节器问题简称LQR（LinearQuadraticRegulator）问题在现代控制理论中占有非常重要的位置,受到控制界的普遍重视。

LQR方法具有设计规范、易于工程实现以及能够获得线性反馈结构等优点。

但在使用该方法时,最优控制效果取决于加权阵Q和R的选取,如果Q和R选取不当,则可能使求得的解不能满足实际系统的性能要求,就更谈不上“最优”了,有时还能得出误导性的结论。

设给定线性定常系统的状态方程:

（1）二次性能指标函数定义为:

满足二次型目标函数J为最小（8）

其中:

X为n维状态向量,U为r维输入向量,A,　B分别是n×n,n×r维常数矩阵,Q为正定（或半正定）实对称矩阵,R为正定厄米特或实对称矩阵。

LQR（LinearQuadraticRegulator）问题表示这样一种物理概念:

若系统受到外界扰动,偏离零状态后（即到达某一初态X0）,应施加怎样的控制使系统回到零状态附近,并满足二次型目标函数J为最小。

此时的称为最优控制,使式（8）取得最小值的最优控制律为:

（9）

式中P就是Riccati方程的解,K是反馈增益矩阵。

目前确定加权矩阵Q和R的普遍方法是仿真试凑法,该方法的基本原理是: