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定积分的应用研究
定积分的应用研究
摘要:
定积分是某种和式的极限,定积分是高等数学中一个重要的基本概念,它是实际问题中抽象出来的数学概念,所以它是解决许多实际问题的有力工具.本文就定积分在几何、物理、经济三方面的简单应用做了相关研究.
关键词:
定积分;几何;物理;经济;应用
ApplicationofDefiniteIntegral
Abstract:
Thedefiniteintegralisthelimitsofstyle.Itisanimportantbasicconceptinhighermathematicsanditisabstractedfromthepracticalproblemsofmathematicalconcepts,soitisapowerfultooltosolvemanypracticalproblems.Thisarticleisdoingsomerelatedresearchaboutthesimpleapplicationofthedefiniteintegralingeometry,physicalandeconomicaspects.
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Keywords:
definiteintegral;geometry;physical;economicaspects;application
引言
随着社会的不断发展,利用数学知识解决相关问题也变得越来越重要,微积分的创立,被誉为“人类精神的最高胜利”.而定积分是微积分中一个很重要的数学概念,定积分在实际问题中有着非常广泛的应用,比如利用定积分解决一些高等几何问题和一些物理难题,还有当今市场经济发展如此迅速,数学与经济管理的关系日渐密切,那么定积分又在其中扮演着什么样的角色呢?
这些将在文中见分晓.
1.定积分在几何方面的应用
1.1利用定积分求两条曲线间的平面图形的面积
设两条连续曲线和两条直线与围的平面图形,如图
1所示,它的面积元素,面积为
图1
例1求抛物线与直线所围的平面图形(如图2)的面积.
图2
解:
<方法一>:
求曲线与直线的交点,即解方程组
得交点为用把图分为左右两部分,应用公式分别求得它们的面积为
所以,
<方法二>:
本题也可以把抛物线方程和直线改写成
并该取积分变量为,便有
这两种方法计算结果相同,也就是说积分变量x,y在条件允许的情况下是可以互换的,方法二明显简便于方法一,所以为了计算简便,选好积分变量很重要.
1.2利用定积分求参数方程下的平面图形的面积
设曲线由参数方程表示,在上连续且
对于连续且的情形可类似讨论,记,,
则由曲线及直线和轴所围的图形面积
例2求内摆线所围图形的面积.
解析:
据题画出其对应的图像,如图3所示,由图形的对称性,所求面积为第一象限部分的四倍,故只须求出曲线在第一象限的面积乘4即可.
解:
设所围图形的全部面积为,取积分变量为,当由变到时,就得到曲线在第一象限部分的面积.
=
图3
1.3利用定积分求平行截面面积已知的立体的体积
设截面面积函数在上连续,那么在上的体积计算公式是.
例4求由椭球面所围立体(椭球)的体积.
解:
以平面截椭球面,得椭圆(它在平面上的正投影),,则截面面积函数为,
易得椭球体积,
所以,当时这等于球的体积.
1.4利用定积分求旋转体的体积
设函数在上连续,是由平面图形,绕轴旋转一周得到的旋转体,则易知截面面积函数,,由公式,得旋转体的体积
同理,设函数g在[c,d]上连续,是由平面图形,绕轴旋转一周得到的旋转体,易知截面面积函数,,由公式,得到旋转体的体积
例3求下面平面曲线绕指定轴旋转所得旋转体的体积.
(1)绕轴;
(2),绕轴.
解:
(1)
(2)由,得
特别,若可得球的体积公式为.
1.5利用定积分求平面曲线的弧长
引理:
若和在中连续,则由参数方程,
决定的曲线段是可求长的,其弧长为
(1)
1.5.1若曲线由直角坐标方程给出,把它看作参数方程时,,所以,当在上连续时,此时弧长为
(2)
1.5.2若曲线由极坐标方程给出,把它化为参数方程,则有.故,因此,当在上连续,且时,此时弧长为
(3)
例5求下列曲线的弧长:
当在上连续时,此时弧长为
(1)
(2)
解
(1)由公式(3)得
(2)
所以,
2.定积分在物理中的某些应用
前面在研究定积分的几何应用时,利用和式极限引入定积分比较繁杂,本段我
利用相对直观的微元法来研究定积分的几个物理应用.所谓微元法,指的是根据与的等价性,利用求出的方法.
2.1利用定积分求变力做功
例6长10米的铁索垂直于矿井中,已知铁索每米的质量为8千克,问将此铁索提出地面需做多少功?
解:
取轴正向为铁索的下垂方向,当很小,把到一段铁索提出地面索做的功为,即,
于是.
2.2利用定积分求静压力
例7直径为6m的一球浸入水中,其球心在水面下10m处,求球面上所受静压力.
图4
解:
球面在水深米处所受压力的微元为
则球面所受总压力
即球面上所受总压力为.
2.3利用定积分求引力
例7如图所示,设有半径为的半圆形导线,电源密度为,在圆心处有一单位
图5
正电荷,试求它们之间作用力的大小.
解析:
将单位正电荷置于坐标原点,将中心角的小段导线看作一点电荷.
解:
上述电荷其电量为
由库仑定律,它对点电荷的作用力为
所以,
2.4平面曲线与平面图形的重心
在所给条件下,曲线L的重心坐标计算公式为:
,
在所给条件下,平面图形D的重心坐标计算公式为:
特别地,曲线的线密度恒为常数时,称它的重心为形心.
例8求下面几何的形心.
(1)求半径为2的半圆弧的形心坐标;
(2)求由与所围图形的形心坐标.
解:
题设求形心坐标,故不妨设此半圆弧的直角坐标方程为其形心为,因为对称性,,而由公式得
故我们求得的形心为.
(2)根据题意,由公式得
故我们求得的形心为.
3定积分在经济上的应用
3.1利用定积分求由边际函数求总量函数
在经济问题中,常会涉及到总收入,总产量,总成本等许多经济问题,通常这类问题都是给出某个经济函数的边际函数或变化率,要求计算在某段时间内,对应的经济函数总量,求解时只需将所给边际函数或变化率在给定的时间段上求定积分即可.
设经济应用函数的边际函数为,则有,从而,
.
例9某产品的总成本(万元)的变化率(边际成本)总收益(万元)的变化率(边际成本)为生产量(百台)的函数:
(1)求生产量等于多少时,总利润为最大;
(2)从利润量最大的生产量上又生产了100台,总利润减少了多少?
解:
(1),,
令得,因为,所以当时,
有极大值,即为最大值.即当生产量为500台时,总利润最大.
(2),即(万元)
因此,从利润量最大的生产量上又生产了100台,总利润减少了0.5万元.
例10已知某种产品总产量的变化率是(台/天),求第一个五天和第二个五天产品的总量.
解:
总产量是的原函数,由已知条件,则
第一个五天的总产量为:
第二个五天的总产量为:
3.2利用定积分求收益流的现值和将来值
在讨论连续收益流时,为简单起见,假设以连续复利率计息.若有一笔收益流的收益流量为(元/年),下面计算其现值和将来值.考虑从现在开始到年后这一时间段,利用微元法,在区间内任取一小区间,在内将近似值看做常数,则所应获得的金额近似等于(元).
从现在算起,这一金额是在年后的将来而获得,因此在内,
收益的现值
总现值;
在计算将来值时,收入在以后的年期间内获息,故在内
收益的将来值
将来值
例11假设以年连续复利率计息,求收益流量为100元/年的收益流在10年期间的现值和将来值.
解:
(1)现值=(元)
将来值=(元)
例12设有一项计划现在需要投入1000万元,在10年中每年收益为200万元若连续利率为求资本价值W(设购置的设备10年后完全失去价值).
解:
资本价值=收益流的现值—投入资本的现值
W=
=
(万元)
结束语
在社会的不断发展中,数学与社会的关系也日益密切,定积分作为高等数学中的一个重要内容,它也是解决许多问题的有力工具。
利用定积分解决几何,物理及经济活动中的疑难问题,显得得心应手的多,这也是数学应用性的具体体现.
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