等腰三角形三线合一专题练习1Word格式.docx
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等腰三角形三线合一专题练习1Word格式.docx
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DE=DF.
(2)已知:
如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点. 求证:
BE=CF.
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?
若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为()
A17B22C17或22D13
根据等腰三角形的性质寻求规律
例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=
∠ABC,∠2=
∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小与∠A的大小有什么关系?
若∠1=
∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
若∠1=
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,以BP为边作∠PBQ=60°
,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为()
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
例2、已知AD为△ABC的高,AB=AC,△ABC周长为20cm,△ADC的周长为14cm,求AD的长。
例3、如图,已知BC=3,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O,OE∥AB,OF∥AC,求△OEF的周长。
例4、如图,已知等边△ABC中,D为AC上中点,延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
例6、
(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。
(2)直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为;
(3)若直角三角形三边为1,2,c,则c=。
例7、下列说法:
①若在△ABC中a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;
②若△ABC是直角三角形,∠C=900,则a2+b2=c2;
③若在△ABC中,a2+b2=c2,则∠C=900;
④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有(把你认为正确的序号填在横线上)。
例8、正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有( )
(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个
例9.四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°
,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=( )
A.2B.3C.
D.
例10.已知△ABC为正三角形,P为其内一点,且AP=4,BP=
,CP=2,则△ABC的边长为()
(A)
(B)
(C)4(D)
三.巩固练习
1、已知等腰三角形的一边等于5,另一边等于9,求它的周长。
2、在△ABC中,AB=AC,∠B=400,则∠A=。
3、等腰三角形的一个内角是700,则它的顶角为。
4、有一个内角为40°
的等腰三角形的另外两个内角的度数为.140°
呢
D
C
B
A
5、如图,在Rt△ABC中,∠C=105o,直线BD交AC于D,
把直角三角形沿着直线BD翻折,点C恰好落在斜边AB上,
如果△ABD是等腰三角形,那么∠A等于()
(A)40o(B)30o(C)25o(D)15o
6、若△ABC三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,则△ABC的形状为()
(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)等腰直角三角形(D)等边三角形
7、判定两个等腰三角形全等的条件可以是……………………()。
A、有一腰和一角对应相等B、有两边对应相等
C、有顶角和一个底角对应相等D、有两角对应相等
8、等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
9、在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()
A、100°
B、75°
C、150°
D、75°
或100°
10、如图,P、Q是△ABC边BC上的两点,且QC=AP=AQ=BP=PQ,则∠BAC=…()
A、1250B、1300C、900D、1200
11、如图,△ABC中,AB=AC,BD、CE为中线,图中共有等腰三角形()个。
A、4个B、6个C、3个D、5个
12、如图,AB=AC,AE=EC,∠ACE=280,则∠B的度数是…………()
A、600B、700C、760D、450
13、如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上(端点A、C除外),设甲虫P到
另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,
则d与h的大小关系是()
【解题方法指导】
例1.已知,如图,AB=AC=CD,求证:
∠B=2∠D
例2.已知,如图,△ABC是等边三角形,AD//BC,AD⊥BD,BC=6,求AD的长。
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°
角的直角三角形是应用非常广泛的图形,因此,在中考试题中经常以证明题或计算题频频出现,而且经常把它们结合在一道题中加以应用,虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析,找出图形中有关的性质。
【典型例题分析】
例1.(2005年苏州)
如图,等腰三角形ABC的顶角为120°
,腰长为10,则底边上的高AD=________。
例2.已知,如图,△ABC中,∠C=90°
,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,∠A=30°
,求CD的长。
例3.已知,如图,△ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AE=CD,又BD与CE交于点F,试求∠BFE的度数。
【综合测试】
1.已知,如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,求证:
DB=DC
2.已知,如图,D、E是BC上两点,AB=AC,AD=AE,求证:
BD=CE
3.已知,如图,△ABC中,DE//BC,AB=AC,求证:
AD=AE
4.已知,如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BD=CE,求证:
DF=EF
5.已知,如图,D是BC上一点,△ABC、△BDE都是等边三角形,求证:
AD=CE
6.已知,如图,△ABC中,∠B=90°
,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又∠C=15°
,EC=10,求AB的长。
例6、如图11,在△ABC中,∠A=90°
,AB=AC,D为BC边中点,E、F分别在AB、AC上,且DE⊥DF,求证:
AE+AF是一个定值.
证明:
连接AD,
∵AB=AC,D为BC中点,∴AD⊥BC,
∵∠BAC=90°
,AB=AC,∴∠B=∠C=45°
,
∴∠BAD=45°
,∠CAD=45°
,∴AD=BD=CD,
∵∠EDF=90°
,∴∠EDA+∠ADF=90°
又由AD⊥BC得∠BDE+∠ADE=90°
,∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF,
∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB(定值).
思考:
四边形AEDF的面积是否也是定值呢?
为什么?
例4、如图9,已知AD为△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,你认为BE与AC之间有怎样的位置关系?
你能证明它吗?
线段BE⊥AC,理由如下:
∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°
∴∠FBD+∠BFD=90°
在Rt△BDF和Rt△ADC中,BF=AC,FD=CD,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC,
∴∠BFD=∠C,∴∠FBD+∠C=90°
∴∠BEC=180°
-(∠FBD+∠C)=180°
-90°
=90°
,即BE⊥AC.
例5、如图10,在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=BC,M是AB上一点,求证:
.
过C作CD⊥AB于点D,
∵∠ACB=90°
,AC=BC,CD⊥AB,
∴∠A=∠B=45°
,∠ACD=∠BCD=45°
∴∠A=∠ACD,∠B=∠BCD,
∴AD=BD,BD=CD,即AD=BD=CD,
∵CD⊥AB,∴
∴
请同学们试试用另外的方法来证明本题.
例1、如图5,在△ABC中,AB=AC,点O在△ABC内,OB=OC,求证:
AO⊥BC.
延长AO交BC于点D,
∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△ABO≌△ACO,
∴∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD,
∴AD⊥BC,即AO⊥BC.
例2、如图6,在等边△ABC中,D、E分别在边BC、BA的延长线上,且AE=BD,求证:
CE=DE.
过E作EF⊥CD于点F,
∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°
,∴∠BEF=30°
∴BE=2BF,即BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2(BC+CF),
∴CD=2CF,∴CF=DF,
在△CEF和△DEF中,CF=DF,∠CFE=∠DFE=90°
,EF=EF,
∴△CEF≌△DEF,∴CE=DE.
例3、如图7,已知在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上任意一点,PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,求证:
PD+PE是一个定值.
解:
连接AP,过点C作CF⊥AB于点F,
由
得:
即,
(定值).
说明:
本例的结论可用文字语言叙述为:
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高.
拓展:
如果点P不是在边BC上,而是在BC的延长线上,其它条件保持不变,那么PD与PE之间又有怎样的关系呢?
连接AP,过点C作CF⊥AB于点F,(如图8)
即,
即,当点P在BC延长线上时,PD与PE之差为一定值.
基础训练:
1、填空题:
(1)等腰三角形中,如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是。
(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是;
如果等腰三角形的两边长分别是4、8,那么它的周长是。
(3)等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题:
(1)如果△ABC是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是()
A、三条边长分别是5,5,11B、三条边长分别是4,4,8
C、周长为14,其中两边长分别是4,5D、周长为24,其中两边长分别是6,12
(2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为()
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍,周长为35cm,求等腰三角形各边的长。
4、已知:
如图,AD平分∠BAC,AB=AC,请你说明△DBC是等腰三角形。
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是方程组的解,
求这个三角形的各边长。
(1)等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
(2)等腰三角形有一个角是120°
,那么其他两个角的度数是和。
(3)△ABC中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C=。
(4)在等腰三角形中,设底角为x°
,顶角为y°
,则用含x的代数式表示y,得y=;
用含y的代数式表示x,得x=。
2、选择题:
(1)等腰三角形的一个外角为140°
,那么底角等于()
A、40°
B、100°
C、70°
D、40°
或70°
(2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()
(3)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()
(4)等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC,
③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是()
A、4B、3C、2D、1
3、如图,已知△ABC中,D在BC上,AB=AD=DC,∠C=20°
,求∠BAD。
4、如图,已知△ABC中,点D、E在BC上,
AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
(1)在△ABC中,∠A的相邻外角是110°
,要使△ABC是等腰三角形,则∠B=。
(2)在一个三角形中,等角对;
等边对。
(3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是。
(4)如图,AB=AC,BD平分∠ABC,且∠C=2∠A,
则图中等腰三角形共有个。
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°
,∠ADB=72°
DE平分∠ADB,则图中等腰三角形的个数是()
A、3B、4C、5D、6
3、如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点O,且OB=OC,请说明AB=AC的理由。
4、如图,已知∠EAC是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC,请说明AB=AC的理由。
5、如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,请你说明AD是BC的中垂线。
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