经典专题空间几何的外接球和内切球教师版Word文档下载推荐.docx
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.(2R)2=(2、.3)2•(2、.3)2•(2、.3)2=36,即4R2=36,正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36二.
B
(3)题-2
SA_平面ABC,.BAC=120,SA二AC=2,AB=1,则该四面体的外
接球的表面积为()
1040
A.11二B.7二C.D.-
33
在ABC中,BC2二AC2AB2—2ABBCcos120=7,
BC二,ABC的外接球直径为
BC_、7_2、7
sinZBAC33
40■:
,选D.
-(2R)2=(2r)2SA二
/40
4盲,
2
变式4、如果三棱锥的三个侧面两两垂直,它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积
是.
三条侧棱两两生直,设三条侧棱长分别为a,b,c(a,b,c・R),则
ab=12
」bc=8,二abc=24,二a=3,b=4,c=2,(2r)2=a2+b2+c2=29,S=4兀R2=29兀.
、ac=6
球心0;
径算法:
利用正弦定理,得—bC2r),00^丄PA;
sinAsinBsinC2
第三步:
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:
①(2R)2=PA2•(2r)2=2R=』PA2•(2r)2;
②R2二r200:
=R=,r200,.
模型2:
如图6,7,8,P的射影是「ABC的外心二三棱锥P-ABC的三条侧棱相等二三棱锥P-ABC的底面ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.
图7-1
P
O
A
Oi
图8-3
解题步骤:
第一步:
确定球心o的位置,取ABC的外心01,则PQ’Of三点共线;
第二步:
先算出小圆01的半径AO^r,再算出棱锥的高PO^h(也是圆锥的高);
222222
勾股定理:
0A^01A010=R=(h-R)r,解出R.
方法二:
小圆直径参与构造大圆
例2、一个几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球的表面积为()
16-
A.3-B.2-C.D.以上都不对
3
选C,(、3-R)21二R2,3-2、3RR21=R2,4-2.3R=0,
类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)模型1:
如图9-1,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)
易知球心0必是PAC的外心,即PAC的外接圆是大圆,先求出小圆的直径AC=2r;
在UPAC中,可根据正弦定理—bc2R,求出R.
sinAsinBsinC
图9-1图9-2
如图9-2,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径)
■
oc29C2O1O2=R2=r2O1O2二AC=2;
R2-0Q2.
模型3:
如图9-3,平面PAC_平面ABC,且AB_BC(即AC为小圆的直径),且P的射影是.'
ABC的外心三棱锥P—ABC的三条侧棱相等=三棱P-ABC的底面.ABC在圆锥的底上,顶点P点也是圆锥的顶点.
解题步骤:
确定球心0的位置,取ABC的外心01,则PQ’Oj三点共线;
222
r2=(h一R)2r2,解出R.
(1)由正弦定理或找球心都可得2R=7,S=4二R2=49二,
变式1、正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为.2,各顶点都在同一个球面上,则此球的体积
为•
4兀
方法一:
找球心的位置,易知r=1,h=1,h=r,故球心在正方形的中心ABCD处,R=1,V=——
大圆是轴截面所的外接圆,即大圆是SAC的外接圆,此处特殊,RfSAC的斜边是球半径,
2R=2,R=1,V
变式2、在三棱锥P-ABC中,PA二PB二PC-3,侧棱PA与底面ABC所成的角为60,则该三棱锥外接球的体积为(
A.
兀B.—C.4兀
D.
4二
选
R
D圆锥A,B,C在以r的圆上R=1
变式3、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球
O的求面上,厶ABC是边长为1的正三角形,SC为球0的
直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()•
A2B.乜C・2
663
类型四、汉堡模型(直棱柱的外接球、圆柱的外接球)
模型:
如图10-1,图10-2,图10-3,直三棱柱内接于球(同时直棱柱也内接于圆柱,棱柱的上下底面可以是任意三角形)
确定球心o的位置,01是ABC的外心,则OOj_平面ABC;
11
算出小圆O,的半径AO^r,OO,AA,h(AA,二h也是圆柱的高);
22
OA2=OiA2OO2=R2=(£
)2R=.r2・(h)2,解出R.
例4、一个正六棱柱的底面上正六边形,其侧棱垂直于底面,已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上,且
9
该六棱柱的体积为-,底面周长为3,则这个球的体积为
8
1
设正六边形边长为a,正六棱柱的咼为h,底面外接圆的关径为r,则a=-,
底面积为S=6仝(丄)2=沁,V柱-Sh=^h,h=.3,R2=(3)2(丄)2=i,
4288822
4n
R=1,球的体积为V
变式1、直三棱柱ABC-ABQ1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=AA,=2,.BAC=120,则
此球的表面积等于
Q'
Q‘_
BC=2.3,2r--4,r=2,R=、5,S=20二.
sin120'
变式2、已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直,EA=EB=3,AD=2,NAEB=60“,
则多面体E-ABCD的外接球的表面积为
折叠型,法一:
.EAB的外接圆半径为r^-/3,OO1=1,
变式3、在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=4,AC=6,A,AA=4则直三棱柱AB^A1B1C1的外
接球的表面积为.
先画出如图所示的图形,将.BCD画在小圆上,找出.BCD和:
ABD的外心H1和H2;
过H1和H2分别作平面BCD和平面ABD的垂线,两垂线的交点即为球心0,连接OE,OC;
解OEH1,算出0H1,在RtOCH1中,勾股定理:
0H;
•CH;
=0C2.
例5、三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,△PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
_2
—・・2
21
4
5
V15
=O2H
A:
+—二
R-
法-
,ah=1,
222225
厂v75
1:
O2H
二3,
O1H
二3
R-AO-AH2O1H2OQ2:
R二-
类型六、对棱相等模型(补形为长方体)
三棱锥(即四面体)中,已知三组对棱分别相等,求外接球半径(AB二CD,AD二BC,AC二BD)第一步:
画出一个长方体,标出三组互为异面直线的对棱;
第二步:
设出长方体的长宽高分别为a,b,c,AD二BC二x,AB二CD二y,AC二BD二z,列方程组,
补充:
VA卫CD=abcabc4abc.
63
图12
(1)题
(1)题解答图
a=•.3,
S3a2
^3-3,三棱锥的体积为
变式2、在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=3,AC=BD=4,则三棱锥A-BCD外接球的
表面积为
如图12,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,则a2亠b2=9,
b2c2=4,c2a2=16.2(a2b2c2)=9416=29,2(a2b2c2^9429,
2929
S
变式3、如图所示三棱锥A-BCD,其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7,则该三棱锥外接球
的表面积为.
同上,设补形为长方体,三个长度为三对面的对角线长,设长宽高分别为a,b,c,
2(a2b2c2)=253649=110,a2b2c2=55,4R2=55,S=55二.
2R=_3,
变式4、正四面体的各条棱长都为■.2,则该正面体外接球的体积为.
C
这是特殊情况,但也是对棱相等的模式,放入长方体中,
类型七、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型
•APB=/ACB-90,求三棱锥P-ABC外接球半径(分析:
取公共的斜边的中点0,连接
OP,OC,贝yOA=OB=OC=OP二丄AB,■O为三棱锥P-ABC外接球球心,然后在OCP中求出2
例7、在矩形ABCD中,AB=4,
BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角
B-AC-D,则四
半径),当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关,只要不是平角球半径都为定
面体ABCD的外接球的体积为()
125n
12
2R=AC=5,R=5,V=4二R3二4二空,,选C.
23386
变式、在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,沿BD将矩形ABCD折叠,连接AC,所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为解:
BD的中点是球心0,2R=BD=j13,S=4jtR2=13兀.
类型八、锥体的内切球问题
模型1:
如图14,三棱锥P-ABC上正三棱锥,求其外接球的半径
先现出内切球的截面图,E,H分别是两个三角形的外心;
求DH)BD,P0二PH-r,PD是侧面ABP的高;
由POE相似于PDH,建立等式:
坐二史,解出r.
图14
DHPD
图15
如图15,四棱锥P-ABC上正四棱锥,求其外接球的半径•
先现出内切球的截面图,P,O,H三点共线;
求FHBC,PO二PH-r,PF是侧面PCD的高;
2OGpo
由“POG相似于PFH,建立等式:
,解出.
HFPF
三棱锥P-ABC是任意三棱锥,求其的内切球半径•
等体积法,即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等
先画出四个表面的面积和整个锥体体积;
设内切球的半径为r,建立等式:
Vp」bc二Vowc-Vo_pab'
V°
_pac7。
亠。
=
解出r
3VP.ABC
SO_jABCSO_PAB'
SO_PACSo_PBC
二、课后巩固
1.若三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直,且SA=2,SB二SC=4,则该三棱锥的外接球半径为()
A.3B.6C.36D.9
(2R)2f41616=6,R=3,选A.
242
PAC的外接圆是大圆,2R二一24,R=-.
sin60v'
3V3
5.三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,AC=2,PA二PC=3,AB_BC,则三棱锥P-ABC
外接球的半径为.
6.三棱锥P-ABC中,平面PAC_平面ABC,AC=2,PA_PC,AB_BC,则三棱锥P-ABC外接球的半径为
AC是公共的斜边,AC的中点是球心O,球半径为R=1.
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- 经典 专题 空间 几何 外接 内切球 教师版