九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx
- 文档编号:2188210
- 上传时间:2022-10-27
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:208.70KB
九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx
《九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《九年级中考二轮专题证明三角形专题.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
九年级中考二轮专题证明三角形专题
状元廊学校秋季班数学思维方法讲义之一年级:
九年级
2019-2020年九年级中考二轮专题:
证明--三角形专题
【学习目标】
1、牢记三角形的有关性质及其判定;
2、运用三角形的性质及判定进行有关计算与证明。
【考点透视】
1、全等三角形的性质与判定;
2、等腰(等边)三角形的性质与判定;
3、直角三角形的有关性质,勾股定理及其逆定理;
4、相似三角形的性质与判定。
【精彩知识】
专题一三角形问题中的结论探索
【例1】如图所示,两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一
起,且∠DAB=30°。
有以下四个结论:
①AF⊥BC;②△ADG≌△ACF;③O为BC的中点;④AG:
DE=:
4,其中正确结论的序号是.
●变式练习
1.如图,△ABD与△AEC都是等边三角形,AB≠AC,下列结论中:
①BE=DC;②∠BOD=60°;③△BOD∽△COE.正确的序号是 .
★考点感悟:
专题二三角形中的平移、旋转等图形变换问题探索
【例2】如图
(1),Rt△ABC中,∠ACB=-90°,CD⊥AB,垂足为D.AF平分∠CAB,交CD于点E,交CB于点F
(1)求证:
CE=CF.
(2)将图
(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A’D’E’的位置,使点E’落在BC边上,其它条件不变,如图
(2)所示.试猜想:
BE'与CF有怎样的数量关系?
请证明你的结论.
图
(1)图
(2)
【例3】△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,以D为顶点作∠MDN=∠B.
(1)如图
(1)当射线DN经过点A时,DM交AC边于点E,不添加辅助线,写出图中所有与△ADE相似的三角形.
(2)如图
(2),将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转,DM,DN分别交线段AC,AB于E,F点(点E与点A不重合),不添加辅助线,写出图中所有的相似三角形,并证明你的结论.
(3)在图
(2)中,若AB=AC=10,BC=12,当△DEF的面积等于△ABC的面积的时,求线段EF的长.
★考点感悟:
●变式练习:
如图,O是正△ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,下列结论:
①△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O′的距离为4;③∠AOB=150°;④;⑤.其中正确的结论是【】
A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③
【例4】如图1,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D、F分别在AB、AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ(0°<θ<90°)时,如图2,BD=CF成立吗?
若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
(2)当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时,如图3,延长BD交CF于点G.
①求证:
BD⊥CF;②当AB=4,AD=时,求线段BG的长.
★考点感悟:
专题三几何动态问题
【例5】如图,在△ABC中,AB=AC=10cm,BC=12cm,点D是BC边的中点.点P从点B出发,以acm/s(a>0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts.
(1)若a=2,△BPQ∽△BDA,求t的值;
(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形.
①若a=,求PQ的长;
②是否存在实数a,使得点P在∠ACB的平分线上?
若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由.
★考点感悟:
●变式练习:
已知线段AB=6,C.D是AB上两点,且AC=DB=1,P是线段CD上一动点,在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF,G为线段EF的中点,点P由点C移动到点D时,G点移动的路径长度为.
专题四几何与函数结合问题
【例6】如图所示,在形状和大小不确定的△ABC中,BC=6,E、F分别是AB、AC的中点,P在EF或EF的延长线上,BP交CE于D,Q在CE上且BQ平分∠CBP,设BP=,PE=.
(1)当时,求的值;
(2)当CQ=CE时,求与之间的函数关系式;
(3)①当CQ=CE时,求与之间的函数关系式;
②当CQ=CE(为不小于2的常数)时,求直接与之间的函数关系式。
★考点感悟:
【例7】如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
(3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.
★考点感悟:
【课后测试】
一、选择题:
1、下列判断正确的是()
A.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
B.有两边对应相等,且有一角为30°的两个等腰三角形全等
C.有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等
D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等
2、在平面直角坐标系xoy中,已知A(2,–2),在y轴上确定点P,使△AOP为等到腰三角形,则符合条件的点P共有()
A.2个B.3个C.4个D.5个
二、填空题:
3、在锐角三角形ABC中,BC=,∠ABC=45°,BD平分∠ABC,
M、N分别是BD、BC上的动点,则CM+MN的最小值是。
4、如图,Rt△ABC的边BC位于直线l上,AC=,∠ACB=90°,∠A=30°.若Rt△ABC由现在的位置向右滑动地旋转,当点A第3次落在直线l上时,点A所经过的路线的长为 ▲ (结果用含有π的式子表示)
三、解答题:
5、在矩形ABCD中,点P在AD上,AB=2,AP=1.将直角尺的顶点放在P处,直角尺的两边分别交AB,BC于点E,F,连接EF(如图①)。
(1)当点E与点B重合时,点F恰好与点C重合(如图②),求PC的长;
(2)探究:
将直尺从图②中的位置开始,绕点P顺时针旋转,当点E和点A重合时停止.在这个过程中,请你观察、猜想,并解答:
①的值是否发生变化?
请说明理由;
②直接写出从开始到停止,线段EF的中点经过的路线长。
图①图②
6、如图
(1),将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开得到△ABD和△ECF,固定△ABD,并把△ABD与△ECF叠放在一起。
(1)操作:
如图
(2),将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处,△ECF绕点F在BD边上方左右旋转,设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)。
FE交DA于点G(G点不与D点重合)。
求证:
BH·GD=BF2
(2)操作:
如图(3),△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合),且CF始终经过A,过点A作AG∥CE,交FE于点G,连接DG。
探究:
FD+DG=__________。
请予证明。
(1)
(2)(3)
学生对本次课的评价:
○特别满意○满意○一般○不怎么样
家长意见或建议:
家长签字:
部分答案:
【例3】解:
(1)图
(1)中与△ADE相似的有△ABD,△ACD,△DCE。
(2)△BDF∽△CED∽△DEF,证明如下:
∵∠B+∠BDF+∠BFD=180°,∠EDF+∠BDF+∠CDE=180°,
又∵∠EDF=∠B,∴∠BFD=∠CDE。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∴△BDF∽△CED。
∴。
∵BD=CD,∴,即。
又∵∠C=∠EDF,∴△CED∽△DEF。
∴△BDF∽△CED∽△DEF。
(3)连接AD,过D点作DG⊥EF,DH⊥BF,垂足分别为G,H.
∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,BD=BC=6。
在Rt△ABD中,AD2=AB2﹣BD2,即AD2=102﹣62,
∴AD=8。
∴S△ABC=•BC•AD=×12×8=48,
S△DEF=S△ABC=×48=12。
又∵•AD•BD=•AB•DH,∴。
∵△BDF∽△DEF,∴∠DFB=∠EFD。
∵DH⊥BF,DG⊥EF,∴∠DHF=∠DGF。
又∵DF=DF,∴△DHF≌△DGF(AAS)。
∴DH=DG=。
∵S△DEF=·EF·DG=·EF·=12,∴EF=5。
例3变式:
A。
【考点】旋转的性质,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理。
【分析】∵正△ABC,∴AB=CB,∠ABC=600。
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′,∴BO=BO′,∠O′AO=600。
∴∠O′BA=600-∠ABO=∠OBA。
∴△BO′A≌△BOC。
∴△BO′A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到。
故结论①正确。
连接OO′,
∵BO=BO′,∠O′AO=600,∴△OBO′是等边三角形。
∴OO′=OB=4。
故结论②正确。
∵在△AOO′中,三边长为O′A=OC=5,OO′=OB=4,OA=3,是一组勾股数,
∴△AOO′是直角三角形。
∴∠AOB=∠AOO′+∠O′OB=900+600=150°。
故结论③正确。
。
故结论④错误。
如图所示,将△AOB绕点A逆时针旋转60°,使得AB与AC重合,
点O旋转至O″点.
易知△AOO″是边长为3的等边三角形,△COO″是边长为3、4、5的
直角三角形。
则。
故结论⑤正确。
综上所述,正确的结论为:
①②③⑤。
故选A。
【例4】解:
(1)BD=CF成立。
理由如下:
∵△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,
∴AB=AC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=90°。
∵∠BAD=∠BAC﹣∠DAC,∠CAF=∠DAF﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF。
在△BAD和△CAF中,∵AB=AC,∠BAD=∠CAF,
∴△BAD≌△CAF(SAS)。
∴BD=CF。
(2)①证明:
设BG交AC于点M.
∵△BAD≌△CAF(已证),∴∠ABM=∠GCM。
又∵∠BMA=∠CMG,∴△BMA∽△CMG。
∴∠BGC=∠BAC=90°。
∴BD⊥CF。
②过点F作FN⊥AC于点N。
∵在正方形ADEF中,AD=DE=,
∴。
∴AN=FN=AE=1。
∵在等腰直角△ABC中,AB=4,∴CN=AC﹣AN=3,。
∴在Rt△FCN中,。
在Rt△ABM中,。
∴AM=。
∴CM=AC﹣AM=4﹣,。
∵△BMA∽△CMG,∴,即,∴CG=。
∴在Rt△BGC中,。
【例5】解:
(1)△ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,∴BD=CD=BC=6。
∵a=2,∴BP=2t,DQ=t。
∴BQ=BD-QD=6-t。
∵△BPQ∽△BDA,∴,即,解得:
。
(2)①过点P作PE⊥BC于E,
∵四边形PQCM为平行四边形,
∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM。
∴PB:
AB=CM:
AC。
∵AB=AC,∴PB=CM。
∴PB=PQ。
∴BE=BQ=(6-t)。
∵a=,∴PB=t。
∵AD⊥BC,∴PE∥AD。
∴PB:
AB=BE:
BD,即。
解得,t=。
∴PQ=PB=t=(cm)。
②不存在.理由如下:
∵四边形PQCM为平行四边形,∴PM∥CQ,PQ∥CM,PQ=CM
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 九年级 中考 二轮 专题 证明 三角形