导数公式证明大全Word格式.docx
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证法二:
(n为任意实数)
f(x)=xAn
lnf(x)=nlnx(lnf(x))'
=(nlnx)'
(x)/f(x)=n/x
(x)=n/x*f(x)
f(x)=n/x*x5
f(x)=nx^(n-1)
(2)f(x)=sinx
=lim(sin(x+△x)-sinx)/△x
=lim(sinxcos△x+cosxsin△x-sinx)/△x
=lim(sinx+cosxsin△x-sinx)/△x
=limcosxsin△x/△x
=cosx
3)f(x)=cosx
=lim(cos(x+△x)-cosx)/△x
=lim(cosxcos△x-sinxsin△x-cosx)/△x
=lim(cosx-sinxsin△x-cos)/△x
=lim-sinxsin△x/△x
=-sinx
(4)f(x)=aAx
=lim(aA(x+△x)-aAx)/△x
=limaAx*(aA△x-1)/△x
(设aA△x-1=m,贝U△x=logaA(m+1))
=limaAx*m/logaA(m+1)
=limaAx*m/[ln(m+1)/lna]
=limaAx*lna*m/ln(m+1)
=limaAx*lna/[(1/m)*ln(m+1)]
=limaAx*lna/ln[(m+1F(1/m)]
=limaAx*lna/lne
=aAx*lna
若a=e,原函数f(x)=eAx
则f'
(x)=eAx*lne=eAx
(5)f(x)=logaAx
=lim(logaA(x+
△x)-logaAx)/△x
=limlogaA[(x+
△x)/x]/△x
=limlogaA(1+
△x/x)/△x
limln(1+△x/x)/(lna*△x)
=limx*ln(1+△x/x)/(x*Ina*△x)
=lim(x/△x)*ln(1+△x/x)/(x*Ina)
=limln[(1+△x/x)A(x/△x)]/(x*lna)
=limlne/(x*lna)=1/(x*lna)
若a=e,原函数f(x)=logeAx=Inx
(x)=1/(x*lne)=1/x
(6)f(x)=tanx
=lim(tan(x+△x)-tanx)/△x
=lim(sin(x+△x)/cos(x+△x)-sinx/cosx)/△x
=lim(sin(x+△x)cosx-sinxcos(x+△x)/(△xcosxcos(x+△x))
△x)/(△xcos
(sinxcos△xcosx+sin△xcosxcosx-sinxcosxcos△x+sinxsinxsinxcos(x+△x))
=limsin△x/(△xcosxcos(x+△x))
=1/(cosx)A2=secx/cosx=(secx)A2=1+(tanx)A2
7)f(x)=cotxf'
=lim(cot(x+△x)-cotx)/△x
=lim(cos(x+△x)/sin(x+△x)-cosx/sinx)/△x
=lim(cos(x+△x)sinx-cosxsin(x+△x))/(△xsinxsin(x+△x))
(cosxcos△xsinx-sinxsinxsin△x-cosxsinxcos△x-cosxsin△xcosx)/(△xsinxsi
n(x+△x))
=lim-sin△x/(△xsinxsin(x+△x))
=-1/(sinxF2=-cscx/sinx=-(secxF2=-1-(cotxF2
(8)f(x)=secx
=lim(sec(x+△x)-secx)/△x
=lim(1/cos(x+△x)-1/cosx)/△x
=lim(cosx-cos(x+△x)/(△xcosxcos△x)
=lim(cosx-cosxcos△x+sinxsin△x)/(△xcosxcos(x+△x))
=limsinxsin△x/(△xcosxcos(x+△x))
=sinx/(cosx)A2=tanx*secx
(9)f(x)=cscx
=lim(csc(x+△x)-cscx)/△x
=lim(1/sin(x+△x)-1/sinx)/△x
=lim(sinx-sin(x+△x))/(△xsinxsin(x+△x))
=lim(sinx-sinxcos△x-sin△xcosx)/(△xsinxsin(x+△x))
=lim-sin△xcosx/(△xsinxsin(x+△x))
=-cosx/(sinx)A2=-cotx*cscx
(10)f(x)=xAx
lnf(x)=xlnx
(lnf(x))'
=(xlnx)'
(x)/f(x)=lnx+1
(x)=(lnx+1)*f(x)
f(x)=(lnx+1)*x^x
(12)h(x)=f(x)g(x)
h'
=lim(f(x+△x)g(x+△x)-f(x)g(x))/△x
=lim[(f(x+△x)-f(x)+f(x))*g(x+△x)+(g(x+△x)-g(x)-g(x+
[(f(x+△x)-f(x))*g(x+△x)+(g(x+△x)-g(x))*f(x)+f(x)*g(x+
/△x
=lim(f(x+△x)-f(x))*g(x+△x)/△x+(g(x+△x)-g(x))*f(x)/
=f'
(x)g(x)+f(x)g'
△x))*f(x)]/△x
△x)-f(x)*g(x+△x)]
(13)h(x)=f(x)/g(x)
=lim(f(x+Ax)/g(x+Ax)-f(x)g(x))/Ax
=lim[(f(x+Ax)-f(x)+f(x))*g(x)-(g(x+
Ax)-g(x)+g(x))*f(x)]/(
Axg(x)g(x+Ax))
=lim(f(x+Ax)g(x)-f(x)g(x+Ax))/(Axg(x)g(x+Ax))
[(f(x+Ax)-f(x))*g(x)-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)+f(x)g(x)-f(x)g(x)]/(Axg(x)g(x+Ax))
(f(x+Ax)-f(x))*g(x)/(Axg(x)g(x+Ax))-(g(x+Ax)-g(x))*f(x)/(Axg(x)g(x+Ax))
(x)g(x)/(g(x)*g(x))-f(x)g'
(x)/(g(x)*g(x))
=[f'
(x)g(x)-f(x)g'
(x)]/(g(x)*g(x))x
14)h(x)=f(g(x))h'
(x)=lim[f(g(x+Ax))-f(g(x))]/Ax=lim[f(g(x+Ax)-g(x)+g(x))-f(g(x))]/Ax
(另g(x)=u,g(x+Ax)-g(x)=Au)
=lim(f(u+△u)-f(u))/△x
=lim(f(u+△u)-f(u))*△u/(△x*△u)
=limf(u)*△u/△x
=limf(u)*(g(x+△x)-g(x))/△x
(u)*g'
(x)=f'
(g(x))g'
总结一下
(xAn)'
=nx^(n-1)
(sinx)'
(cosx)'
(aAx)'
=aAxlna
(eAx)'
=eAx
(logaAx)'
=1/(xlna)
(lnx)'
=1/x
(tanx)'
=(secx)A2=1+(tanx)A2(cotx)'
=-(cscx)A2=-1-(cotx)A2
(secx)'
=tanx*secx(cscx)'
=-cotx*cscx
(xAx)'
=(lnx+1)*x^x
[f(x)g(x)]'
[f(x)/g(x)]'
(x)]/(g(x)*g(x))
[f(g(x))]'
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