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概率论知识点总结
概率论知识点总结
第一章随机事件及其概率
第一节基本概念
随机实验:
将一切具有下面三个特点:
(1)可重复性
(2)多结果性(3)不确定性的试验或观察称为随机试验,简称为试验,常用E表示。
随机事件:
在一次试验中,可能出现也可能不出现的事情(结果)称为随机事件,简称为事件。
不可能事件:
在试验中不可能出现的事情,记为Ф。
必然事件:
在试验中必然出现的事情,记为Ω。
样本点:
随机试验的每个基本结果称为样本点,记作ω.
样本空间:
所有样本点组成的集合称为样本空间.样本空间用Ω表示.
一个随机事件就是样本空间的一个子集。
基本事件—单点集,复合事件—多点集
一个随机事件发生,当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。
事件的关系与运算(就是集合的关系和运算)
包含关系:
若事件A发生必然导致事件B发生,则称B包含A,记为或。
相等关系:
若且,则称事件A与事件B相等,记为A=B。
事件的和:
“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件,称此事件为事件A与事件B的和事件。
记为A∪B。
事件的积:
称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件,记为A∩B或AB。
事件的差:
称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A与事件B的差事件,记为A-B。
用交并补可以表示为。
互斥事件:
如果A,B两事件不能同时发生,即AB=Φ,则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。
互斥时可记为A+B。
对立事件:
称事件“A不发生”为事件A的对立事件(逆事件),记为。
对立事件的性质:
。
事件运算律:
设A,B,C为事件,则有
(1)交换律:
A∪B=B∪A,AB=BA
(2)结合律:
A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪CA(BC)=(AB)C=ABC
(3)分配律:
A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)A(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)=AB∪AC
(4)对偶律(摩根律):
第二节事件的概率
概率的公理化体系:
(1)非负性:
P(A)≥0;
(2)规范性:
P(Ω)=1
(3)可数可加性:
两两不相容时
概率的性质:
(1)P(Φ)=0
(2)有限可加性:
两两不相容时
当AB=Φ时P(A∪B)=P(A)+P(B)
(3)
(4)P(A-B)=P(A)-P(AB)
(5)P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
第三节古典概率模型
1、设试验E是古典概型,其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成.则定义事件A的概率为
2、几何概率:
设事件A是Ω的某个区域,它的面积为μ(A),则向区域Ω上随机投掷一点,该点落在区域A的概率为
假如样本空间Ω可用一线段,或空间中某个区域表示,则事件A的概率仍可用上式确定,只不过把μ理解为长度或体积即可.
第四节条件概率
条件概率:
在事件B发生的条件下,事件A发生的概率称为条件概率,记作P(A|B).
乘法公式:
P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A)
全概率公式:
设是一个完备事件组,则P(B)=∑P()P(B|)
贝叶斯公式:
设是一个完备事件组,则
第五节事件的独立性
两个事件的相互独立:
若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立,或称A、B相互独立.
三个事件的相互独立:
对于三个事件A、B、C,若P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称A、B、C相互独立
三个事件的两两独立:
对于三个事件A、B、C,若P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C),则称A、B、C两两独立
独立的性质:
若A与B相互独立,则与B,A与,与均相互独立
总结:
1.条件概率是概率论中的重要概念,其与独立性有密切的关系,在不具有独立性的场合,它将扮演主要的角色。
2.乘法公式、全概公式、贝叶斯公式在概率论的计算中经常使用,应牢固掌握。
3.独立性是概率论中的最重要概念之一,应正确理解并应用于概率的计算。
第二章一维随机变量及其分布
第二节分布函数
分布函数:
设X是一个随机变量,x为一个任意实数,称函数为X的分布函数。
如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分布函数F(x)的值就表示X落在区间内的概率
分布函数的性质:
(1)单调不减;
(2)右连续;(3)
第三节离散型随机变量
离散型随机变量的分布律:
设(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值,称为离散型随机变量X的分布律,也称概率分布.
当离散性随机变量取值有限且概率的规律不明显时,常用表格形式表示分布律。
分布律的性质:
(1);
(2)
离散型随机变量的概率计算:
(1)已知随机变量X的分布律,求X的分布函数;
(2)已知随机变量X的分布律,求任意随机事件的概率;
(3)已知随机变量X的分布函数,求X的分布律
三种常用离散型随机变量的分布:
1.(0-1)分布:
参数为p的分布律为
2.二项分布:
参数为n,p的分布律为,。
例如n重独立重复实验中,事件A发生的概率为p,记X为这n次实验中事件A发生的次数,则X~B(n,p)
3.泊松分布:
参数为λ的分布率为,。
例如记X为某段事件内电话交换机接到的呼叫次数,则X~P(λ)
第四节连续型随机变量
连续型随机变量概率密度f(x)的性质
(1)f(x)≥0
(2),
(3)
(4)
连续型随机变量的概率计算:
(1)已知随机变量X的密度函数,求X的分布函数;
(2)已知随机变量X的分布函数,求X的密度函数;
(3)已知随机变量X的密度函数,求随机事件的概率;
(4)已知随机变量X的分布函数,求随机事件的概率;
三种重要的连续型分布:
1.均匀分布:
密度函数,记为X~U[a,b].
2.指数分布:
密度函数,记为X~E(λ)
3.正态分布:
密度函数,记为
N(0,1)称为标准正态分布.标准正态分布的重要性在于,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布,然后再计算概率.
第五节随机变量函数的分布
离散型:
在分布律的表格中直接求出;
连续型:
寻找分布函数间的关系,再求导得到密度函数间的关系;注意分段函数情况可能需要讨论,得到的结果也可能是分段函数。
第三章多维随机变量及其分布
第一节二维随机变量的联合分布函数
联合分布函数,表示随机点落在以(x,y)为顶点的左下无穷矩形区域内的概率。
联合分布函数的性质:
(1)分别关于x和y单调不减;
(2)分别关于x和y右连续;
(3)F(-∞,y)=0,F(x,-∞)=0,F(-∞,-∞)=0
F(+∞,+∞)=1
第二节二维离散型随机变量
联合分布律:
联合分布律的性质:
;
第三节二维连续性随机变量
联合密度:
联合密度的性质:
;;
第四节边缘分布
二维离散型随机变量的边缘分布律:
在表格边缘,对应概率相加求出;
二维连续性随机变量的边缘密度:
先求出边缘分布函数,在求导求出边缘密度
第六节随机变量的独立性
独立性判断:
(1)若取值互不影响,可认为相互独立;
(2)根据独立性定义判断
离散型可用
连续型可用
独立性的应用:
(1)判断独立性;
(2)已知独立性,由边缘分布确定联合分布
第四章随机变量的数字特征
离散型随机变量数学期望的计算,
连续型随机变量数学期望的计算,
方差的计算:
,
数学期望的性质
(1)E(C)=C
(2)E(CX)=CE(X)
(3)E(X+Y)=E(X)+E(Y)
(4)当X,Y独立时,E(XY)=E(X)E(Y)
方差的性质
(1)D(C)=0
(2)D(CX)=D(X)
(3)若X,Y相互独立,则D(X±Y)=D(X)+D(Y)
常见分布的数学期望和方差
两点分布,二项分布,泊松分布,均匀分布,正态分布,指数分布
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