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bab
BD的斜率存在且不等于零,并有kACkBD0,(kAC,kBD分别表示AC和BD的斜率)
cos12e2(cosmax12e2)
转化关系:
③双曲线笃再1(a0,b0)的切点弦方程为
4nab
3
a,lim[f(x)ax]
x
15.已知f(x)的渐近线方程为y=ax+b,则lim丄凶
16.椭圆务芯1(ab0)绕Ox坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V
17.平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和
18.在锐角三角形中sinAsinBsinCcosAcosBcosC
19.函数f(x)具有对称轴xa,xb(ab),贝Uf(x)为周期函数且一个正周期为|2a2b|
20.y=kx+m与椭圆p
a
占1(ab0)相交于两点,则纵坐标之和为222
b2a2k2b2
21.已知三角形三边x,
y,z,求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用,如-.27,-28,•、29)
ABx2
BCy2
CAz2
2S.ABBCCA
22.圆锥曲线的第二定义:
椭圆的第二定义:
平面上到定点F距离与到定直线间距离之比为常数e(即椭圆的偏心率,e-)的点的集合(定
点F不在定直线上,该常数为小于1的正数)
双曲线第二定义:
平面内,到给定一点及一直线的距离之比大于1且为常数的点的轨迹称为双曲线
mOAnOC,OBOD(同时除以m+n
mn
x2y2ab
25.过双曲线—21(a0,b0)上任意一点作两条渐近线的平行线,与渐近线围成的四边形面积为
ab2
1/Lij!
Jr!
26•反比例函数y(k0)为双曲线,其焦点为(•.2k「2k)和(.2k,.2k),k<
27.面积射影定理:
如图,设平面a夕卜的△ABC在平面a内的射影为△ABQ分别记△ABC的面积和△ABO勺面
积为S和S'
,记△ABC所在平面和平面a所成的二面角为0,贝ycos0=S'
:
S
28,角平分线定理:
三角形一个角的平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例
角平分线定理逆定理:
如果三角形一边上的某个点分这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例,
那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线
29.数列不动点:
定义:
方程f(x)x的根称为函数f(x)的不动点
利用递推数列f(x)的不动点,可将某些递推关系anf(an1)所确定的数列化为等比数列或较易求通项的
数列,这种方法称为不动点法
定理1:
若f(x)axb(a0,a1),p是f(x)的不动点,an满足递推关系anf(an1),(n1),则
anpa(an1p),即{anp}是公比为a的等比数列.
axb
定理2:
设f(x)(c0,adbe0),{an}满足递推关系anf(an1),n1,初值条件a1f(a])
cxd
(1)若f(x)有两个相异的不动点p,q,则创pk旦丄
」(这里
apck
anqan1
q
aqc
11
⑵若f(x)只有唯一不动点p,则——-k
(这里k
2C)
anpan1p
ad
axbxe
定理3:
设函数f(x)(a0,e0)有两个不同的不动点x1,x2,且由un1f(un)确定着数列
exf
{山},那么当且仅当b0,e2a时,加Xl(勺Xl)2
Un1X2UnX2
30.
⑵若A
BC
n,则:
sin2A
sin2B
sin2C
c-A
B.
C
①
8sin
sin
sinA
sinB
sinC
②cosA
cosB
cosC
1
/.A
4sin
B.sin
2A
2B
A
B
③sin-
sin—
——
12sin—sin—
.B
.C
④sin
4sin
-sin
⑤sinA
sinC
A.sin
.Csin
⑥cot-
cot-
cot
(3)在任意△ABC中,有:
金.A
r~
①sin
—
③sin
—3吋3
8
⑤sinAsinBsinC-
33
33
6A
②cos—
cos
④COS—
⑥cosA
⑨sin2A
sin2
C3
24
?
tan—
tan
IB
9
3,3
⑩tan2A
tan2
tan
2C1
⑦sinA
Acot—
Bcot—
Ccot—
A?
tan
tan-
tanC
⑧cosA
cotA
cotB
cotC
-3
(4)在任意锐角△ABC中,有:
①tanAtanB
3、3
③tan2A
tan2B
tanC
②cotAcotB
仝
④cot2A
cot2B
cot2C
31.帕斯卡定理:
如果一个六边形内接于一条二次曲线
(椭圆、双曲线、
抛物线
),那么它的三对对边的交点在同
一条直线上
32.拟柱体:
所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体,它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面,
其余各面叫做拟柱体的侧面,两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高
拟柱体体积公式[辛普森(Simpson)公式]:
设拟柱体的高为H,如果用平行于底面的平面y去截该图形,所得到
的截面面积是平面y与一个底面之间距离h的不超过3次的函数,那么该拟柱体的体积V为
1h
V—(34S。
S2)H,式中,^和S2是两底面的面积,S。
是中截面的面积(即平面丫与底面之间距离h
62
时得到的截面的面积)
事实上,不光是拟柱体,其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时
所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过3次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积
33.三余弦定理:
设A为面上一点,过A的斜线A0在面上的射影为ABAC为面上的一条直线,那么
/OAC/BAC/OABE角的余弦关系为:
cos/OAC=osZBAC・cos/OAB/BAC和/OABR能是锐角)
34.在Rt△ABC中,C为直角,内角A,B,C所对的边分别是a,b,^则厶ABC勺内切圆半径为
3322
35.立方差公式:
ab(ab)(aabb)
立方和公式:
a3b3(ab)(a2abb2)
36.已知△ABCO为其外心,H为其垂心,则OHOAOBOC
37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜率乘积为定值
2(ab0)
b2
a2
椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值2(ab0)
b
38.ex
1x
2x
2!
n0x
xen1
n!
(n1)!
e1
39.ex
xe
ax(a2)
(
①t1t
2lnt(t
0)
ax
②Inx(x0,0a2)
xa
40.抛物线焦点弦的中点,在准线上的射影与焦点F的连线垂直于该焦点弦
41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值a(长半轴长)
42.向量与三角形四心:
在厶ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c
(1)OAOBOC0O是ABC的重心
⑵OAOBOBOCOCOAO为ABC的垂心
(3)aOAbOBcOC0O为ABC的内心
OA
OB
OC
O为ABC的外心
43.正弦平方差公式:
sin2sin2sin()sin()
44.对任意圆锥曲线,过其上任意一点作两直线,若两射线斜率之积为定值,则两交点连线所在直线过定点
sin(x)sin(x)
45.三角函数数列求和裂项相消:
sinx2—
c1
2cos—
46.点(x,y)关于直线Ax+By+C=0的对称点坐标为
2A(AxByC)
22y
A2B2
2B(AxByC)
47.圆锥曲线统一的极坐标方程:
ep
1ecos
(e为圆锥曲线的离心率
M为符合要求元素的频率),
N
48.超几何分布的期望:
若X~H(n,N,M),则E(X)观(
M
D(X)n(1
Mn1
亓)(1百)
49.an为公差为
d的等差数列,bn为公比为q的等比数列,若数列
项和Sn为Sn51qC;
&
(q1)
Cn
满足Cnanbn,则数列Cn的前n
yy1yy2°
50.若圆的直径端点A为,%,Bx2,y2,则圆的方程为xx1xx2
51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于AB两点,则直线AB的斜率为定值
52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式:
kC:
nC;
;
53.三角形五心的一些性质:
(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等
(2)三角形的垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点所构成的三角形的垂心
(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心;
或者说,三角形的内心是它旁心三角形的垂心
⑷三角形的外心是它的中点三角形的垂心
(5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心
(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心
⑺三角形的任一顶点到垂心的距离,等于外心到对边的距离的二倍
a2b2c2
54.在厶ABC中,角AB,C所对的边分别是a,b,c,则ABAC-
ee
55.n>
n时,
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- 中学数学 二级 结论