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证法1:
设直线AE、AF交直线BC于G、H,
则△BAG和△CAH都是等腰的,
从而E、F各为AG、AH的中点,故FE//GH,即FE//BC.
证法2:
设I为BE、CF的交点,则E、F在以AI为直径的圆周上。
从而
∠FEB=∠FEI=∠FAI=∠CAF-∠A=d-∠C-∠A=∠B.
即∠FEB=∠EBC.
故EF//BC.证毕.
4已知,如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,又AB+DC=AD,E为BC的中点,连接AE、ED。
求证:
AE⊥DE
分析:
取AD的中点F,连接EF,只需证明EF=AF=DF即可
取AD的中点为F,连接EF
∵E为BC的中点
∴EF是梯形ABCD的中位线
∴EF=1/2(AB+CD)
又∵AF=FD=1/2AD,且AD=AB+CD
∴AF=FD=EF
5、从半圆形的铅皮板剪下具有最大周长的梯形?
问题是求半圆的内接梯形,使其周长为极大(如图)。
梯形的大底及直径2r,圆的内接梯形必
等腰。
解:
设腰和小底是x和2y,则梯形ABCD的半周长为:
u=x+y+r求u的极大值。
作BE⊥AD,则
x²
=AB²
=AD×
AE=2r×
(r-y)则y=2r²
-x²
∕2r
所以u=x+y+r=(-x²
+2rx+2r²
∕2r)+r
求u的极大值意味着求分子的极大值,
而这分子-x²
=3r²
-(x-r)²
≤3r²
。
其中等号当也只当x=r时成立,这时也有2y=r
所以,把半圆弧分成三等分,就得到梯形两个顶点B和C,
梯形的底角是60°
和120°
6、证明三角形三高线共点
证:
设△ABC的高线是AX、BY、CZ,则
∆BAX~∆BCZ得出
∆CBY~∆CAX得出
∆ACZ~∆ABY得出
三式两端相乘得
所以三高线AXBYCZ共点(因三高线显然不能平
行,否则它们的垂线即三角形的三边也将平行)
7、如图:
在△ABC中E为AB中点,D是AC上一点,AD:
DC=2:
3BD与CE交与F.且S△ABC=40求四边形AEFD的面积。
证连接AF.设S△CFD=3X.
S△AFC=S△AEC-S△AEF;
S△CBF=S△CBE-S△CBF,E是中点。
所以S△AEC=S△AEF=S△FBE.因此S△CBF=S△AFC=S△AFD+S△CFD=5X。
所以S△BCD=S△CBF+S△CFD=8X=3|5×
S△ABC=24.所以x=24.所以SAEFD=S△AEC-S△CFD=1|2。
所以S△ABC-3x=20-9=11
8、例1,一块矩形耕地的大小尺寸如图1.如果修筑同样宽的两条“之”字形的道路,如图1.所示,余下的部分为耕地。
要使耕地的面积为540道路的宽应是多少?
设道路的宽应为x米,依题意得
(20-X)×
(32-X)=540
整理解得x=2,x=50(不符合题意,舍去)
所以道路的宽应为2米。
9、如图,在△ABC中,D为边BC上的点,∠BAD=α,∠CAD=β求证:
如图
得
两边同除以
所以张角公式
10、如图,圆的三条弦AB,CD,EF分别相交于点P,Q,R,AP=EQ=DR,CP=FR=BQ.
求证:
△PQR是等边三角形
设
PQ=x,PR=y,QR=z,AP=EQ=DR=a,
CP=FR=BQ=b.
根据相交弦定理有(b+x)a=(a+y)b
(b+z)a=(a+x)b
(b+y)a=(a+z)b
即ax=by……①
az=bx……②
ay=bz……③
①+②+③得a(x+y+z)=b(x+y+z)
由x+y+zǂ0可得a=b,分别代入①,②,③得x=y=z
因此△PQR是等边三角形。
11、四边形ABCD、CEFD、EGHF均为正方形,求证:
△ACE~△GCA
证明:
设正方形边长为a,则CE=a,CG=2a,AC=a
所以
因为∠ACE=∠GCA
所以△ACE~△GCA
12、证明等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为常量。
如果连接AP,那么就面积而言SABP+SAPC=SABC,即
1/2AB×
PD+1/2AC×
PE=1/2AB×
CH.
因AB=AC,立即得
PD+PE=CH
13、正三角形ABC内任意一点X,M、P、Q分别是X点在高AD、BE、CF上得垂足求AM+BP+CQ为定值。
如图作XG⊥BC于G,XH⊥AC于H,XI⊥AB于I,则
XG=MD,XH=PE,XI=QF,
AM+BP+CQ
=(AD-MD)+(BE-PE)+(CF-QF)
=(AD+BE+CF)-(MD+PE+QF)
=3AD-AD
=2AD
∴AM+BP+CQ为定值
14、在三角形ABC中,AT平分角BAC,BE垂直AT于E,CF垂直AT于F,且M是BC的中点,证ME=MF
延长FM交BE与点G,∵BE⊥AT,CF⊥AT
∴BE∥CF∴∠MBG=∠MCF又∵M为BC中点,∴BM=CM∵∠BMG=∠CMF,∠MBG=∠MCF,BM=CM∴△BMG≌△CMF∴MG=MF
又GEF是直角三角形,ME为斜边上的中线,故ME=1⁄2FG=MF
15、如图,已知△ABC中,AB=AC,点E在AB上,点F在AC的延长线上,且BE=CF,EF与BC交于D,求证:
ED=DF。
证明:
过点E作EG//AF交BC于点G
∴∠EGB=∠ACB,∠EGD=∠FCD
∵AB=AC
∴∠B=∠ACB,∠B=∠FGB,BE=GE
∵BE=CF,∴GE=CF
在△EGD和△FCD中,
∠EGD=∠FCD,∠EDG=∠FDC,GE=CF
∴△EGD≌△FCD(AAS)∴ED=FD
16、如图,△ABC中,∠C=90°
,∠A=30°
,分别以AB、AC为边在△ABC的外侧作正△ABE和正△ACD,DE与AB交于F,求证:
EF=FD。
过D作DO⊥AC交AB于点O
∵OD垂直平分AC,∴AP=AC∠APO=90°
又∵∠ACB=90°
∴△APO∽△ACB
∴O点必为AB的中点,连结EO,则EO⊥AB
∵∠CAB=30°
,∠BAE=∠CAD=60°
∴AD⊥AB,AE⊥AC
∴OE//AD,AE//OD(内错角相等)
∴四边形ODAE为平行四边形
∴EF=FD
17、已知I为ABC的内心,延长AI交BC于D,作IE⊥BC。
∠BID=∠CIE.
证明:
∵点I△ABC是的内心,
∴∠BAD=1/2∠BAC
∠ABI=1/2∠ABC
∠BCI=1/2∠ACB
∴∠BAD+∠ABI+∠BCI=1/2(∠ABC+∠ACB+∠BAC)=900
又∵∠BID=∠BAD+∠ABI
∴∠BID+∠BCI=900
又∵IE⊥BC
∴∠CIE+∠BCI=900
∴∠BID=∠CIE
18、用反证法证明等腰三角形的底角都是锐角。
已知;
在△ABC中,AB=AC.求证;
∠B或∠C都是锐角。
假设∠B和∠C都不是锐角.
(1)若∠B或∠C时直角时,
∵AB=CD
∴∠B=∠C=90°
∴∠A+∠B+∠C﹥180°
这与三角形内角和定理相矛盾,所以∠B或∠C时直角不正确。
(2)若∠B或∠C是钝角时,
∵AB=AC,∠B=∠C﹥90°
这与三角形内角和定理相矛盾,∴∠B或∠C是钝角不正确。
故∠B和∠C都是锐角。
19、直线与圆最多只有两个交点。
假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C,
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA=OB=OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB,ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于1,这是不可能的,故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
20、过平面α上的点A的直线a⊥α,求证:
a是唯一的。
假设a不是唯一的,则过A至少还有一条直线b,b⊥α
∵a、b是相交直线,
∴a、b可以确定一个平面β.
设α和β相交于过点A的直线c.
∵a⊥α,b⊥α,
∴a⊥c,b⊥c.
这样在平面β内,过点A就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾。
所以a是唯一的。
21、在三角形ABC中,AB>
AC,AL、BM、CN是中线,G是重心。
CN<
BM
在△ABL和△ACL中
AL=AL,BL=CL,AB>
AC
故∠ALB>
∠ALC,
即∠GLB>
∠GLC.
在△GLB和△GLC中,
于是又两组边对应相等而夹角不等,从此得出:
BG>
CG,即
故CN<
22、设△ABC的三边(所在直线)BC、CA、AB、被一直线分别截于点X、Y、Z,则有·
·
=-1
通过点C做直线CD与截线平行,交直线AB于D,则:
逆定理(梅涅劳定理)设△ABC三边BC、CA、AB、上各取一点X、Y、Z,满足关系
此三点公线
23、在正ΔABC中,设P是等边ΔABC内的一点,PA=3,PB=5,PC=4,
则APC的度数是________.
在△ABC中,将△ABP绕点A按逆时针旋转60°
,得到△ACP‘,则△ABP≌△ACP’,所以∠BAP=∠CAP'
且AP'
=AP=3,所以△APP'
为正三角形。
故PP'
=AP=3
又因为PC=4,P'
C=PB=5,即△P'
PC为直角三角形所以∠APC=∠APP'
+∠P'
PC=60°
+90°
=150°
24、在梯形ABCD中,AD∥BC(BC>AD),
BC=CD=12AE=10,求CE的长度。
延长OA,把△BCE绕点B逆时针旋转,与DA的延长线分别交于点G,点M,易知四边形BCDG为正方形。
∴BC=BG
又
∴Rt△BEC≌Rt△BMG,
∴BM=BE
∴△ABE≌△ABM∴AM=AE=10
设CE=x,则AG=10-x,AD=12-(10-x)=2+x,DE=12-x.
在Rt△ADE中,
即
∴x=4,或x=6
∴CE的长度为4或6.
25、
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