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备战高中数学联赛之历年真题汇编1981
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2021)
专题21复数A辑
历年联赛真题汇编
1.【2000高中数学联赛(第01试)】设,则以为根的方程是()
A.B.
C.D.
【答案】B
【解析】本题也可以用检验法.显然,
所以
.
由根与系数的关系,从而排除A,D.
又有,
再排除C,
故选:
B.
2.【1995高中数学联赛(第01试)】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1,Z2,…,Z20,则复数,所对应的不同的点的个数是()
A.4B.5C.10D.20
【答案】A
【解析】解法1设,
则,
由得
.
共有4个不同的值,
故选A.
解法2不妨设为1的20个20次单位根,
则必为1的4次单位根,
且不难得知,包含了1的4个4次单位根,故所对应不同点的个数为4.
3.【1994高中数学联赛(第01试)】给出下列两个命题:
(1)设a,b,c都是复数,如果,则.
(2)设a,b,c都是复数,如果,则.那么下述说法正确的是()
A.命题
(1)正确,命题
(2)也正确
B.命题
(1)正确,命题
(2)错误
C.命题
(1)错误,命题
(2)也错误
D.命题
(1)错误,命题
(2)正确
【答案】B
【解析】命题
(1)是正确的.则,表示与c2都是实数,
因此,根据移项法则有,
命题
(2)是错误的.
仅表明是实数,并不能保证与c2是实数,故不一定成立.
例如,取,
则有,
但并没有.
4.【1992高中数学联赛(第01试)】设复数z1,z2在复平面上的对应点分别为A,B,且.O为坐标原点,则△OAB的面积为()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】由已知得,.
故在复平面上等式两边的复数所对应的向量互相垂直,即.如图.
故.
5.【1991高中数学联赛(第01试)】设a,b,c均为非零复数,且,则的值为()
A.1B.C.
D.,其中.
【答案】C
【解析】令,则
由a≠0,知t3=1,因此,.
利用比例性质,知原式等于,故当时,原式分别取.
6.【1990高中数学联赛(第01试)】设非零复数x,y满足x2+xy+y2=0,则代数式的值是()
A.B.C.1D.以上答案都不对
【答案】B
【解析】令,代入已知条件得,
所以,进而.
故原式.
7.【1986高中数学联赛(第01试)】设z为复数,,那么().
A.M={纯虚数}B.M={实数}C.{实数}⊆M⊆{复数}D.M={复数}
【答案】B
【解析】因为,即,所以.
因此,Z=1或.
即Z为实数,故选:
B.
8.【1985高中数学联赛(第01试)】设Z,W,为复数,,关于Z的方程Z-Z=W有下面四个结论:
1.是这个方程的解;Ⅱ.这个方程只有一个解;Ⅲ.这个方程有两个解;Ⅳ.这个方程有无穷多解.则()
A.只有I和Ⅱ是正确的B.只有和Ⅲ是正确的
C.只有I和Ⅳ是正确的D.以上A,B,C都不正确
【答案】A
【解析】由题中给出的四个结论,可知本题需要根据解方程的情况作出选择,
于是考虑在方程的两端同取共轭,得,
以乘两端,得,与原方程两端分别相加,得.
两端再取共轭,得.
因为,所以.
9.【1984高中数学联赛(第01试)】集合在复平面的图形是()
A.射线argZ=2aB.射线argZ=-2a
C.射线argz=-aD.上述答案都不对
【答案】B或D
【解析】根据一对共轭复数的模相等,辐角的终边关于x轴对称,和复数的平方是模的平方且辐角乘以2,可以确定集合S在复平面上的图形.只要(为常数)能成立,图形就是一条射线但是,由于本题记号argZ的含义不明确,于是可以有两种不同的答案.若argZ表示复数Z的一个辐角,则答案为B.若argZ表示复数Z的辐角主值,则答案是D.
10.【2020高中数学联赛A卷(第01试)】设z为复数.若为实数(i为虚数单位),则的最小值为.
【答案】
【解析】解法1:
设,由条件知
故.
从而,
即.当时,取到最小值.
解法2:
由及复数除法的几何意义,可知复平面中z所对应的点在2与i所对应的点的连线上(i所对应的点除外),故的最小值即为平面直
角坐标系中的点到直线的距离,即.
11.【2020高中数学联赛B卷(第01试)】设9元集合,是虚数单位.是A中所有元素的一个排列,满足,则这样的排列的个数为.
【答案】8
【解析】由于,
故,,,.
由乘法原理知,满足条件的排列的个数为.
12.【2018高中数学联赛A卷(第01试)】设复数满足|z|=1,使得关于x的方程有实根,则这样的复数z的和为.
【答案】
【解析】
设=a+bi(a,b∈R,).
将原方程改为,分离实部与虚部后等价于
①
②
若b=0,则a2=1,但当a=1时,①无实数解,从而a=-1,此时存在实数满足①、②,故满足条件.
若b≠0,则由②知x∈{0,2},但显然x=0不满足①,故只能是x=2,
代入①解得,进而,相应有.
综上,满足条件的所有复数z之和为.
13.【2018高中数学联赛B卷(第01试)】已知复数满足,其中r是给定实数,则的实数是(用含有r的式子表示).
【答案】
【解析】记.由复数模的性质可知,
因此.
于是,
解得.
14.【2017高中数学联赛B卷(第01试)】设复数z满足,则|z|的值为.
【答案】
【解析】设x=a+bi,a,b∈R.由条件得.
比较两边实虚部可得,
解得a=1,b=2,故z=1+2i,进而.
15.【2016高中数学联赛(第01试)】设复数z、w满足,其中i是虚数单位,分别表示z、w的共轭复数,则的模为.
【答案】
【解析】由运算性质,,
因为与为实数,,
故,
又,所以.
从而,
因此,的模为.
16.【2015高中数学联赛(第01试)】已知复数数列{zn}满足,其中i为虚数单位,表示zn的共轭复数,则z2015的值为.
【答案】
【解析】由已知得,对一切正整数n,有,
于是
17.【2002高中数学联赛(第01试)】已知复数满足,若它们所对应向量的夹角为60°,则.
【答案】
【解析】如图,由余弦定理可得,,
所以.
18.【2001高中数学联赛(第01试)】若复数满足,则.
【答案】
【解析】令,
则由及复数相等的充要条件,得
,,
二式相除,得,由万能公式,得,
故.
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1.若复数z满足且,则()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
由,解得(舍)或.
故选:
C.
2.若A,B是锐角△ABC的两个内角,则复数在复平面内所对应的点位于().
A.第一象限.B.第二象限.C.第三象限D.第四象限
【答案】B
【解析】
因为A,B是锐角△ABC的两个内角,所以
即>0,因此点位于第二象限,选B.
3.已知满足.则的最大值是()
A.3B.10C.20D.16
【答案】D
【解析】
对应的点在以为圆心,3为半径的圆上,
.
故答案为:
D
4.方程在复数集内不同的根的个数为().
A.2或4个B.至多4个
C.至多6个D.可能为8个
【答案】C
【解析】
由题设知x为实数或纯虚数,方程至多有4个实数根、2个纯虚数根,故至多6个根.当时,共6个根.
故答案为C
5.设复数z满足,i是虚数单位,则的值不可能是().
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
注意
我们有.
也就是说,它表示点z到3-4i的距离的倍.
由于z在单位圆上,易知上式的取值范围是.
故答案为:
D
6.已知复数z满足.其中为实常数且满足.则().
A.B.C.1D.
【答案】C
【解析】
由己知有.令.
当时,有,即.
但,故,矛盾.
当时,同理可得出矛盾.
从而,.
故答案为:
C
7.已知集合,,若,则以、、为三边().
A.一定构成锐角三角形B.一定构成直角三角形
C.一定构成钝角三角形D.可能不构成三角形
【答案】D
【解析】
设,由
,
得.
展开整理得.
若,由,得.
那么,等价于在平面直角坐标系中,直线与圆相离.故直线到坐标原点的距离大于1,即.
整理得.显然,满足条件,但此时a、b、c不能构成三角形.
故、、可能不构成三角形.
故答案为:
D
8.已知复数的模等于,则动点所在的轨迹为()
A.圆B.椭圆
C.双曲线D.抛物线
【答案】D
【解析】
由已知有.这表明,动点到定点与到定直线的距离相等,根据定义,动点的轨迹为抛物线。
9.已知复数z满足,则z的模().
A.大于1B.等于1C.小于1D.不能确定
【答案】B
【解析】
原方程可化为
设
则①
若,则式①左边,而右边<1,故式①不成立;
若,则式①左边,而右边>1,故式①也不成立.
于是,只有,即.选B.
10.在复平面内,由复数、、所对应的点构成的三角形的最大内角等于().
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
由,知它们所对应的点、、如图,的最大内角是.
由
.
则.选A.
11.设是方程的一个复数根,这里.则下列各数一定是方程的根的是().
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
由于是已知方程的一个根,于是,.也就是说是方程的根.由于实系数方程的复根成对出现,故也是①的根.
相应地,是原方程的根.选B.
12.对于虚数,作集合,易知,中任两个元素相乘的积,仍在中.现规定中关于乘法的单位元:
对任意的,都有.则为( ).
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
由知,对,2,3,4均有.
按定义为单位元.选D.
13.设,其中,为复数,为虚数单位.则等于().
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
令,得.选C.
14.已知关于实数的方程(其中,)的解恰有一个.则与应满足().
A.,B.,或2
C.,D.,,
【答案】D
【解析】
令,.由
,知.
令,.
则.
由于在内仅有一个解,且,则,.
故答案为:
D
15.设.则的展开式是().
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
,
是1的10个10次方根.
.①
又是1的5个5次方根,
.②
①②得,
,
③式两边同除以,得
.选C.
16.已知展开式中的实部是关于的多项式.则此多项式的系数和为().
A.B.0C.D.
【答案】B
【解析】
设展开式的实部为,虚部为,则、分别为实部多项式、虚部多项式的系数和.
为纯虚数,有.选B.
17.复数,的关系为().
A.B.C.D.不能比较大小
【答案】B
【解析】
设,则.
有..因此.选B.
18.复数满足且.则这样的复数有()个.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
设,
因为,所以
所以
满足的复数对应的点在轴(不含原点)上或在单位圆上.
满足的点在以为圆心,为半径的圆上.
后者与前者明显地交于4个点(同单位圆交于两点,与轴交于两点).
故答案为:
D
19.设均为非零复数,且,则的值为().(其中)
A.1.B..C.1,,.D.1,,.
【答案】C
【解析】
因为,所以,
因此,选C.
20.若是一个复数,且,则能取到()个不同的值.
A.2B.
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