届高三理科数学一轮复习学案 导数与函数的单调性Word格式.docx

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[方法技巧]

导数法证明或讨论函数f（x）在（a，b）内单调性的步骤

（1）求f′（x）；

（2）确定f′（x）在（a，b）内的符号；

（3）得出结论：

当f′（x）>

0时，函数f（x）在（a，b）内单调递增；

当f′（x）<

0时，函数f（x）在（a，b）内单调递减．

[提醒]　讨论含参函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．　

求函数的单调区间

[例2]　已知函数f（x）＝＋－lnx－，其中a∈R，且曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x，求函数f（x）的单调区间．

[解]　对f（x）求导得f′（x）＝－－，

由曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线垂直于直线y＝x，知f′

（1）＝－－a＝－2，解得a＝.

所以f（x）＝＋－lnx－，则f′（x）＝，

令f′（x）＝0，解得x＝－1或x＝5，

因x＝－1不在f（x）的定义域（0，＋∞）内，故舍去．

当x∈（0,5）时，f′（x）<

0，故f（x）在（0,5）内为减函数；

当x∈（5，＋∞）时，f′（x）>

0，故f（x）在（5，＋∞）内为增函数．

所以函数f（x）的单调递增区间为（5，＋∞），单调递减区间为（0,5）．

　　[方法技巧]

用导数求函数单调区间的三种类型及方法

（1）当不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0可解时，确定函数的定义域，解不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0求出单调区间．

（2）当方程f′（x）＝0可解时，确定函数的定义域，解方程f′（x）＝0，求出实数根，把函数f（x）的间断点（即f（x）的无定义点）的横坐标和实根按从大到小的顺序排列起来，把定义域分成若干个小区间，确定f′（x）在各个区间内的符号，从而确定单调区间．

（3）不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0及方程f′（x）＝0均不可解时求导并化简，根据f′（x）的结构特征，选择相应基本初等函数，利用其图象与性质确定f′（x）的符号，得单调区间．

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.函数f（x）＝（x－3）ex的单调递增区间是（　　）

A．（－∞，2）　　　　　　　　B．（0,3）

C．（1,4）D．（2，＋∞）

解析：

选D　依题意得f′（x）＝（x－3）′ex＋（x－3）（ex）′＝（x－2）ex，令f′（x）>

0，解得x>

2，所以f（x）的单调递增区间是（2，＋∞）．故选D.

2.下列函数中，在（0，＋∞）上为增函数的是（　　）

A．f（x）＝sin2xB．f（x）＝xex

C．f（x）＝x3－xD．f（x）＝－x＋lnx

选B　对于A，f（x）＝sin2x的单调递增区间是（k∈Z）；

对于B，f′（x）＝ex（x＋1），当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>

0，∴函数f（x）＝xex在（0，＋∞）上为增函数；

对于C，f′（x）＝3x2－1，令f′（x）>

0，得x>

或x<

－，∴函数f（x）＝x3－x在和上单调递增；

对于D，f′（x）＝－1＋＝－，令f′（x）>

0，得0<

x<

1，∴函数f（x）＝－x＋lnx在区间（0,1）上单调递增．综上所述，应选B.

3.函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（0,1）B．（0，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（0,2）

选A　对于函数y＝x2－lnx，易得其定义域为（0，＋∞），y′＝x－＝，令<

0，又x>

0，所以x2－1<

0，解得0<

1，即函数y＝x2－lnx的单调递减区间为（0,1）．

4.已知函数f（x）＝lnx－ax（a∈R），讨论函数f（x）的单调性．

解：

f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝－a（x>

0），

①当a≤0时，f′（x）＝－a>

0，

即函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增．

②当a>

0时，令f′（x）＝－a＝0，可得x＝，

当0<

时，f′（x）＝>

当x>

时，f′（x）＝<

故函数f（x）在上单调递增，在上单调递减．

由①②知，当a≤0时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增；

当a>

0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．

5.已知函数f（x）＝ax2＋1（a＞0），g（x）＝x3＋bx.

（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a，b的值；

（2）当a2＝4b时，求函数f（x）＋g（x）的单调区间．

（1）f′（x）＝2ax，g′（x）＝3x2＋b，

由已知可得解得a＝b＝3.

（2）令F（x）＝f（x）＋g（x）＝x3＋ax2＋x＋1，F′（x）＝3x2＋2ax＋，

令F′（x）＝0，得x1＝－，x2＝－，

∵a>

0，∴x1<

x2，

由F′（x）>

0得，x<

－或x>

－；

由F′（x）<

0得，－<

－.

∴函数f（x）＋g（x）的单调递增区间是，；

单调递减区间为.

突破点

（二）　利用导数解决函数单调性的应用问题

利用导数解决函数单调性的应用问题主要有：

（1）已知函数的单调性求参数范围问题：

此类问题是近几年高考的热点，一般为解答题的第二问，难度中档．有时也以选择题、填空题的形式出现，难度中高档．解决此类问题的关键是转化为恒成立问题，再参变分离，转化为最值问题求解．

（2）比较大小或解不等式问题：

利用导数方法解决此类问题的主要技巧就是灵活地构造函数，通过函数的性质求解．

考点贯通抓高考命题的“形”与“神”

已知函数的单调性求参数的取值范围

由函数的单调性求参数取值范围的方法

（1）可导函数在区间（a，b）上单调，实际上就是在该区间上f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围；

（2）可导函数在区间（a，b）上存在单调区间，实际上就是f′（x）>

0（或f′（x）<

0）在该区间上存在解集，即f′（x）max>

0（或f′（x）min<

0）在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围；

（3）若已知f（x）在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f（x）的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．

[例1]　已知函数f（x）＝x3－ax－1.

（1）若f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，求a的取值范围；

（2）若f（x）在区间（－1,1）上为减函数，求a的取值范围；

（3）若f（x）的单调递减区间为（－1,1），求a的值．

[解]　

（1）因为f′（x）＝3x2－a，且f（x）在区间（1，＋∞）上为增函数，所以f′（x）≥0在（1，＋∞）上恒成立，即3x2－a≥0在（1，＋∞）上恒成立，所以a≤3x2在（1，＋∞）上恒成立，所以a≤3，即a的取值范围为（－∞，3]．

（2）因为f（x）在区间（－1,1）上为减函数，所以f′（x）＝3x2－a≤0在（－1,1）上恒成立，即a≥3x2在（－1,1）上恒成立．因为－1＜x＜1，所以3x2＜3，所以a≥3.即a的取值范围为[3，＋∞）．

（3）因为f（x）＝x3－ax－1，

所以f′（x）＝3x2－a.由f′（x）＝0，得x＝±

（a≥0）．

因为f（x）的单调递减区间为（－1,1），

所以＝1，即a＝3.

应用结论“函数f（x）在（a，b）上单调递增⇔f′（x）≥0恒成立；

函数f（x）在（a，b）上单调递减⇔f′（x）≤0恒成立”时，切记检验等号成立时导数是否在（a，b）上恒为0.　　[易错提醒]

比较大小或解不等式

[例2]　

（1）若0<

x1<

x2<

1，则（　　）

A．ex2－ex1>

lnx2－lnx1

B．ex2－ex1<

C．x2ex1>

x1ex2

D．x2ex1<

（2）已知函数f（x）（x∈R）满足f

（1）＝1，且f（x）的导数f′（x）<

，则不等式f（x2）<

＋的解集为________．

[解析]　

（1）构造函数f（x）＝ex－lnx，则f′（x）＝ex－＝.令f′（x）＝0，得xex－1＝0.根据函数y＝ex与y＝的图象可知两函数图象交点x0∈（0,1），因此f（x）＝ex－lnx在（0,1）上不是单调函数，无法判断f（x1）与f（x2）的大小，故A，B错；

构造函数g（x）＝，则g′（x）＝＝，故函数g（x）＝在（0,1）上单调递减，故g（x1）>

g（x2），即>

，则x2ex1>

x1ex2，故选C.

（2）设F（x）＝f（x）－x，∴F′（x）＝f′（x）－，∵f′（x）<

，∴F′（x）＝f′（x）－<

0，即函数F（x）在R上单调递减．∵f（x2）<

＋，∴f（x2）－<

f

（1）－，

∴F（x2）<

F

（1），而函数F（x）在R上单调递减，

∴x2>

1，即x∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）．

[答案]　

（1）C　

（2）（－∞，－1）∪（1，＋∞）

利用导数比较大小或解不等式的常用技巧

利用题目条件，构造辅助函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为先利用导数研究函数的单调性问题，再由单调性比较大小或解不等式．　

能力练通抓应用体验的“得”与“失”

1.已知函数f（x）＝x2＋4x＋alnx，若函数f（x）在（1,2）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－6，＋∞）

B．（－∞，－16）

C．（－∞，－16]∪[－6，＋∞）

D．（－∞，－16）∪（－6，＋∞）

选C　∵f（x）的定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x＋4＋＝，f（x）在（1,2）上是单调函数，∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在（1,2）上恒成立，即2x2＋4x＋a≥0或2x2＋4x＋a≤0在（1,2）上恒成立，即a≥－（2x2＋4x）或a≤－（2x2＋4x）在（1,2）上恒成立．记g（x）＝－（2x2＋4x），1<

2，则－16<

g（x）<

－6，∴a≥－6或a≤－16，故选C.

2.（2016·

南昌三模）已知函数f（x）＝x3－3x，若在△ABC中，角C是钝角，则（　　）

A．f（sinA）>

f（cosB）

B．f（sinA）<

C．f（sinA）>

f（sinB）

D．f（sinA）<

选A　∵f（x）＝x3－3x，∴f′（x）＝3x2－3＝3（x＋1）（x－1），故函数f（x）在区间（－1,1）上是减函数，又A、B都是锐角，且A＋B<

，∴0<

A<

－B<

，∴sinA<

sin＝cosB，故f（sinA）>

f（cosB），故选A.

3.若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．

因为f′（x）＝3x2－12，由f′（x）>

0，得函数的增区间是（－∞，－2）及（2，＋∞），由f′（x）<

0，得函数的减区间是（－2,2），由于函数在（k－1，k＋1）上不是单调函数，所以k－1<

－2<

k＋1或k－1<

2<

k＋1，解得－3<

k<

－1或1<

3.

答案：

（－3，－1）∪（1,3）

4.已知函数f（x）＝－（4m－1）x2＋（15m2－2m－7）x＋2在R上为单调递增函数，则实数m的取值范围是________．

f′（x）＝x2－2（4m－1）x＋15m2－2m－7，由题意可得f′（x）≥0在x∈R上恒成立，所以Δ＝4（4m－1）2－4（15m2－2m－7）＝4（m2－6m＋8）≤0，解得2≤m≤4.

[2,4]

5.已知定义域为R的函数f（x）满足f（4）＝－3，且对任意的x∈R总有f′（x）<

3，则不等式f（x）<

3x－15的解集为________．

令g（x）＝f（x）－3x＋15，则f（x）<

3x－15的解集即为g（x）<

0的解集．又g′（x）＝f′（x）－3<

0，所以g（x）在R上是减函数．又g（4）＝f（4）－3×

4＋15＝0，所以g（x）<

g（4），故x>

4.所以f（x）<

3x－15的解集为（4，＋∞）．

（4，＋∞）

[全国卷5年真题集中演练——明规律]

1.（2016·

全国乙卷）若函数f（x）＝x－sin2x＋asinx在（－∞，＋∞）单调递增，则a的取值范围是（　　）

A．[－1,1]B.

C.D.

选C　取a＝－1，则f（x）＝x－sin2x－sinx，f′（x）＝1－cos2x－cosx，但f′（0）＝1－－1＝－＜0，不具备在（－∞，＋∞）单调递增的条件，故排除A、B、D.故选C.

2．（2015·

新课标全国卷Ⅱ）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>

0时，xf′（x）－f（x）<

0，则使得f（x）>

0成立的x的取值范围是（　　）

A．（－∞，－1）∪（0,1）B．（－1,0）∪（1，＋∞）

C．（－∞，－1）∪（－1,0）D．（0,1）∪（1，＋∞）

选A　设y＝g（x）＝（x≠0），则g′（x）＝，当x>

0，∴g′（x）<

0，∴g（x）在（0，＋∞）上为减函数，且g

（1）＝f

（1）＝－f（－1）＝0.∵f（x）为奇函数，∴g（x）为偶函数，∴g（x）的图象的示意图如图所示．当x>

0时，由f（x）>

0，得g（x）>

0，由图知0<

1，当x<

0，得g（x）<

0，由图知x<

－1，∴使得f（x）>

0成立的x的取值范围是（－∞，－1）∪（0,1），故选A.

3．（2014·

新课标全国卷Ⅱ）若函数f（x）＝kx－lnx在区间（1，＋∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B．（－∞，－1]

C．[2，＋∞）D．[1，＋∞）

选D　因为f（x）＝kx－lnx，所以f′（x）＝k－.

因为f（x）在区间（1，＋∞）上单调递增，

所以当x>

1时，f′（x）＝k－≥0恒成立，

即k≥在区间（1，＋∞）上恒成立．

因为x>

1，所以0<

<

1，所以k≥1.故选D.

[课时达标检测]重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考

[练基础小题——强化运算能力]

1．函数f（x）＝ex－ex，x∈R的单调递增区间是（　　）

A．（0，＋∞）　　　　　　　　　B．（－∞，0）

C．（－∞，1）D．（1，＋∞）

选D　由题意知，f′（x）＝ex－e，令f′（x）>

1，故选D.

2．已知函数f（x）＝x3＋ax＋4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

选A　f′（x）＝x2＋a，当a>

0时，f′（x）>

0，即a>

0时，f（x）在R上单调递增，由f（x）在R上单调递增，可得a≥0.故“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件．

3.已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）

选D　当x<

0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c<

0，知相应的函数f（x）在该区间内单调递减；

0时，由导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间（0，x1）内的值是大于0的，则在此区间内函数f（x）单调递增．只有D选项符合题意．

4．若函数f（x）＝sinx＋ax为R上的减函数，则实数a的取值范围是________．

∵f′（x）＝cosx＋a，由题意可知，f′（x）≤0对任意的x∈R都成立，∴a≤－1，故实数a的取值范围是（－∞，－1]．

（－∞，－1]

5．已知函数f（x）的导函数为f′（x）＝5＋cosx，x∈（－1,1），且f（0）＝0，如果f（1－x）＋f（1－x2）<

0，则实数x的取值范围为________．

∵导函数f′（x）是偶函数，且f（0）＝0，∴原函数f（x）是奇函数，∴所求不等式变形为f（1－x）<

f（x2－1），∵导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，又f（x）的定义域为（－1,1），∴－1<

1－x<

x2－1<

1，解得1<

，∴实数x的取值范围是（1，）．

（1，）

[练常考题点——检验高考能力]

一、选择题

1．已知函数f（x）＝x2－5x＋2lnx，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）

A.和（1，＋∞）B．（0,1）和（2，＋∞）

C.和（2，＋∞）D．（1,2）

选C　函数f（x）＝x2－5x＋2lnx的定义域是（0，＋∞），令f′（x）＝2x－5＋＝＝>

或x>

2，故函数f（x）的单调递增区间是，（2，＋∞）．

2．若函数f（x）＝x3－tx2＋3x在区间上单调递减，则实数t的取值范围是（　　）

A.B.

选C　f′（x）＝3x2－2tx＋3，由于f（x）在区间上单调递减，则有f′（x）≤0在上恒成立，

即3x2－2tx＋3≤0在[1,4]上恒成立，则t≥在上恒成立，因为y＝在上单调递增，所以t≥＝，故选C.

3.已知函数f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则函数y＝log2x2＋bx＋的单调递减区间为（　　）

A.B．[3，＋∞）

C．[－2,3]D．（－∞，－2）

选D　因为f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d，所以f′（x）＝3x2＋2bx＋c，由图可知f′（－2）＝f′（3）＝0，所以解得令g（x）＝x2＋bx＋，则g（x）＝x2－x－6，g′（x）＝2x－1，由g（x）＝x2－x－6>

0，解得x<

－2或x>

3.当x<

时，g′（x）<

0，所以g（x）＝x2－x－6在（－∞，－2）上为减函数，所以函数y＝log2的单调递减区间为（－∞，－2）．

4．（2017·

甘肃诊断考试）函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）＝f（2－x），且当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<

0，设a＝f（0），b＝f，c＝f（3），则（　　）

A．a<

b<

cB．c<

a

C．c<

bD．b<

c<

选C　因为当x∈（－∞，1）时，（x－1）f′（x）<

0，所以f′（x）>

0，所以函数f（x）在（－∞，1）上是单调递增函数，所以a＝f（0）<

f＝b，又f（x）＝f（2－x），所以c＝f（3）＝f（－1），所以c＝f（－1）<

f（0）＝a，所以c<

b，故选C.

5．若函数f（x）＝x＋（b∈R）的导函数在区间（1,2）上有零点，则f（x）在下列区间上单调递增的是（　　）

A．（－2,0）B．（0,1）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－2）

选D　由题意知，f′（x）＝1－，∵函数f（x）＝x＋（b∈R）的导函数在区间（1,2）上有零点，∴当1－＝0时，b＝x2，又x∈（1,2），∴b∈（1,4）．令f′（x）＞0，解得x＜－或x＞，即f（x）的单调递增区间为（－∞，－），（，＋∞），∵b∈（1,4），∴（－∞，－2）符合题意，故选D.

6．已知y＝f（x）为（0，＋∞）上的可导函数，且有f′（x）＋>

0，则对于任意的a，b∈（0，＋∞），当a>

b时，有（　　）

A．af（a）<

bf（b）B．af（a）>

bf（b）

C．af（b）>

bf（a）D．af（b）<

bf（a）

选B　由f′（x）＋>

0得>

0，即>

0，即[xf（x）]′x>

0.∵x>

0，∴[xf（x）]′>

0，即函数y＝xf（x）为增函数，由a，b∈（0，＋∞）且a>

b，得af（a）>

bf（b），故选B.

二、填空题

7．若幂函数f（x）的图象过点，则函数g（x）＝exf（x）的单调递减区间为________．

设幂函数为f（x）＝xα，因为图象过点，所以＝α，α＝2，所以f（x）＝x2，故g（x）＝exx2，令g′（x）＝exx2＋2exx＝ex（x2＋2x）<

0，得－2<

0，故函数g（x）的单调递减区间为（－2,0）．

（－2,0）

8．已知函数f（x）＝x2＋2ax－lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围为________．

f′（x）＝x＋2a－≥0在上恒成立，即2a≥－x＋在上恒成立，∵max＝，∴2a≥，即a≥.

9．已知R上可导函数f（x）的图象如图所示，则不等式（x2－2x－3）·

f′（x）>

0的解集为________．

由题图可知，

不等式（x2－2x－3）f′（x）>

0等价于或解得x∈（－∞，－1）∪（3，＋∞）∪（－1,1）．

（－∞，－1）∪（3，＋∞）∪（－1,1）

10．若函数f（x）＝－x3＋x2＋2ax在上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．

对f（x）求导，得f′（x）＝－x2＋x＋2a＝－2＋＋2a.当x∈时，f′（x）的最大值为f′＝＋2a.令＋2a＞0，解得a＞－.所以a的取值范围是.

三、解答题

11．已知函数f（x）＝x－＋1－alnx，a>

0.讨论f（x）的单调性．

由题意知，f（x）的定义域是（0，＋∞），导函数f′（x）＝1＋－＝.

设g（x）＝x2－ax＋2，二次方程g（x）＝0的判别式Δ＝a2－8.

①当Δ<

0，即0<

2时，对一切x>

0都有f′（x）>

0.

此时f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数．

②当Δ＝0，即a＝2时，仅对x＝有f′（x）＝0，对其余的x>

0.此时f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数．

③当Δ>

2时，方程g（x）＝0有两个不同的实根x1＝，x2＝，0<

x2.

所以f（x），f′（x）随x的变化情况如下表：

x