新人教A版高中数学必修一 第二章一元二次函数方程和不等式 拔高检测题 17.docx
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新人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式拔高检测题17
新人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式拔高检测题(17)
一、单选题
1.已知一元二次不等式的解集为或,则的解集为
A.或B.
C.D.
2.设、、都是正实数,且、满足,则使恒成立的的范围是()
A.(0,8]B.(0,10]
C.(0,12]D.(0,16]
3.设为坐标原点,直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点,若的面积为8,则的焦距的最小值为()
A.4B.8C.16D.32
4.已知,则有
A.最大值B.最小值C.最大值1D.最小值1
5.将一根铁丝切割成三段,做一个面积为,形状为直角三角形的框架,在下列4种长度的铁丝中,选用最合理共用且浪费最少的是()
A.6.5mB.6.8mC.7mD.7.2m
6.若方程只有正根,则m的取值范围是()
A.或B.
C.D.
7.某工厂生产某种产品,第一年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x(a,b,x均大于零),则()
A.B.C.D.
8.已知a,b,c∈R,则下列命题正确的是()
A.a>b⇒ac2>bc2B.C.D.
9.已知,那么的大小关系是()
A.B.
C.D.
10.下列各式中,对任何实数都成立的一个式子是()
A.B.C.D.
11.若,则下列不等式一定成立的是()
A.B.
C.D.
12.若,则下列代数式中值最大的是
A.B.C.D.
二、填空题
13.若关于的不等式的解集,则的值为______.
14.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).
15.设,则的最大值为________.
16.已知函数,则,的最小值是.
17.已知实数,,且,则的最小值为______.
18.已知,则的最小值为______.
三、解答题
19.画出函数f(x)=-x2+2x+3的图象,并根据图象回答下列问题.
(1)比较f(0),f
(1),f(3)的大小;
(2)若x1 (3)求函数f(x)的值域; (4)若关于x的方程f(x)=k在[-1,2]内仅有一个实根,求k的取值范围. 20.已知一元二次不等式的解集为,求不等式的解集. 21.对任意,函数的值恒大于零,求的取值范围. 22.解不等式. 23.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)若该方程的两根分别为,且满足,求k的值. 24.比较下列各组中两个代数式的大小: (1)与; (2)当,且时,与. 25.已知a,b,c为任意实数,求证: . 26.已知、、都是正数,求证: 参考答案 1.D 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式与对应方程的关系,利用根与系数的关系,即可求出的解析式;再利用解析式把不等式转化,求出它的解集即可. 【详解】 解: 一元二次不等式的解集为或, 和是方程的两个实数根, , , ; 不等式可化为 , 解得, 即, , 即的解集为. 故选: . 【点睛】 本题考查了一元二次不等式与对应方程的应用问题,也考查了转化思想的应用问题,考查了指数与对数的应用问题,属于中档题. 2.D 【解析】 【分析】 由题意可得,再利用基本不等式求出的最小值,由此求得的取值范围. 【详解】 ∵、为正实数,, ∴, 当且仅当,即时等号成立, ∴,要使恒成立, ∵为正实数, ∴. 故选: D. 【点睛】 本题主要考查基本不等式的应用,注意基本不等式的使用条件,并注意检验等号成立的条件,以及函数的恒成立问题,属于基础题. 3.B 【解析】 【分析】 因为,可得双曲线的渐近线方程是,与直线联立方程求得,两点坐标,即可求得,根据的面积为,可得值,根据,结合均值不等式,即可求得答案. 【详解】 双曲线的渐近线方程是 直线与双曲线的两条渐近线分别交于,两点 不妨设为在第一象限,在第四象限 联立,解得 故 联立,解得 故 面积为: 双曲线 其焦距为 当且仅当取等号 的焦距的最小值: 故选: B. 【点睛】 本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题,解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法,在使用均值不等式求最值时,要检验等号是否成立,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 4.D 【解析】 【分析】 先对函数进行化简变形,然后利用均值不等式求出最值,注意条件: “一正二定三相等”. 【详解】 解: 当且仅当即时取等号, 故选: . 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求函数的值域,要注意到条件: “一正二定三相等”,同时要灵活运用不等式,属于基础题. 5.C 【解析】 【分析】 先设直角三角形的框架的两条直角边为x,y(x>0,y>0)则xy=2,此时三角形框架的周长为x+y+,则根据基本不等式,可以求出周长的最小值. 【详解】 解: 设直角三角形的框架的两条直角边为x,y(x>0,y>0) 则xy=4, 此时三角形框架的周长C为: x+y+=x+y+ ∵x+y≥2=4 ∴C=x+y+≥4+2≈6.83 故用7米的铁丝最合适. 故选C. 【点睛】 本题考查基本不等式的应用,考查由实际问题建立数学模型,考查了学生的转化能力和数学建模能力,属于中档题. 6.B 【解析】 【分析】 方程只有正根,先检验时的情况,然后再分析的情况,得到两根之和为正,两根之积为正,从而得出答案. 【详解】 方程只有正根,则 当,即时, 当时,方程为时,,符合题意; 当时,方程为时,不符合题意. 故成立; 当,解得或, 则,解得. 综上得. 故选B. 【点睛】 本题考查二次方程根的分布情况,注意根据对应二次函数的图象与轴的交点的范围分析条件,属于中档题. 7.B 【解析】 【分析】 先利用条件找到方程,然后利用基本不等式求解可得答案. 【详解】 解: 由题意得,,则, 因为, 所以, 所以,当且仅当时取等号, 故选: B 【点睛】 此题考查了基本不等式在求解最值中的应用,属于基础题. 8.C 【解析】 【分析】 由不等式的性质可得,当c=0时,A不成立;当c<0时,B不成立;由可判断选项C,D,从而得出答案. 【详解】 当c=0时,A不成立; 当c<0时,B不成立; 当时,,即,所以C成立. 当时,,即,所以D不成立. 故选: C 【点睛】 本题考查不等式的基本性质和作差法比较大小的应用,属于基础题. 9.C 【解析】 试题分析: 由,则,所以,所以,故选C. 考点: 不等式的性质. 10.C 【解析】 【分析】 根据特殊值法,可判断ABD都错,再由不等式的性质,可判断C正确. 【详解】 对于A,当时,,即A不成立; 对于B,当时,,故B不成立; 对于C,因为,所以,即C成立; 对于D,若,则无意义,所以D不成立; 故选: C. 【点睛】 本题主要考查判断所给不等式是否成立,熟记不等式的性质,灵活运用特殊值法即可求解,属于基础题型. 11.C 【解析】 【分析】 根据不等式的性质,以及基本不等式,即可判断出结果. 【详解】 因为,所以, 又由基本不等式可得: ,所以, 又,所以, 因此. 故选: C. 【点睛】 本题主要考查由不等式的性质,以及基本不等式比较大小,属于基础题型. 12.A 【解析】 【分析】 【详解】 因为 ,综上可得最大,故选A. 13.-3 【解析】 试题分析: 显然t<0,且是方程的两根,由韦达定理得,解得. 考点: 不等式的解法. 14.20 【解析】 试题分析: 设矩形高为,由三角形相似得且, 所以,仅当时,矩形的面积取最大值,所以其边长为. 考点: 基本不等式的应用. 15. 【解析】 【分析】 【详解】 由两边同时加上 得两边同时开方即得: (且当且仅当时取“=”), 从而有(当且仅当,即时,“=”成立) 故填: . 考点: 基本不等式. 【名师点睛】 本题考查应用基本不等式求最值,先将基本不等式转化为(a>0,b>0且当且仅当a=b时取“=”)再利用此不等式来求解.本题属于中档题,注意等号成立的条件. 16.,. 【解析】 【分析】 【详解】 , 若: ,当且仅当时,等号成立; 若: ,当且仅当时,等号成立,故可知. 考点: 1.分段函数;2.函数最值. 17.4 【解析】 【分析】 首先由整理得出,进一步求得,从而得到结果. 【详解】 由可得: , 整理得: (当且仅当,时取等号), 故答案为: 4. 【点睛】 该题考查的是有关不等式的问题,涉及到的知识点有利用基本不等式求最值,注意等号成立的条件,属于基础题目. 18.. 【解析】 【分析】 用“1”的代换法配凑出定值,然后用基本不等式得最小值. 【详解】 ,当且仅当,解得,又因为,所以时等号成立. 故答案为: . 【点睛】 本题考查用基本不等式求最值,解题关键是要配凑出定值,“1”的代换是常用方法.用基本不等式求最值时一定要注意等号成立的条件是否能满足. 19. (1); (2);(3);(4)或. 【解析】 【分析】 (1)由题意结合二次函数的图象与性质画出函数图象,数形结合即可得解; (2)由函数图象可得函数在时的单调性,即可得解; (3)由函数图象数形结合即可得解; (4)转化条件为直线与函数在上的图象仅有一个交点,数形结合即可得解. 【详解】 由题意, 可画出函数的图象如图: (1)由图象可知,,,, 所以; (2)根据图象可知,当时,函数单调递增, 因为,所以; (3)由图象可知,函数的最大值为, 所以函数的值域为; (4)若关于x的方程f(x)=k在[-1,2]内仅有一个实根, 则直线与函数在上的图象仅有一个交点,且, 数形结合可知或. 【点睛】 本题考查了二次函数图象的绘制及应用,考查了函数与方程的关系及数形结合思想、转化化归思想,属于基础题. 20.. 【解析】 【分析】 由一元二次不等式的解集与对应方程根的关系,求得的值,再结合一元二次不等式的解法,即可求解. 【详解】 由题意,不等式的解集为, 所以与是方程的两个实数根, 由根与系数的关系得解得 所以不等式,即为, 整理得,解得 即不等式的解集为. 【点睛】 本题主要考查一元二次不等式的解集与对应方程的根的关系,以及一元二次不等式的求解,其中解答中熟记三个二次式的关系,以及一元二次不等式的解法是解答的关键,着重考查推理与运算能力. 21.不存在这样的实数,使函数的值恒大于零. 【解析】 【分析】 ①当时,函数的值不恒大于零,舍去;②当时,根据一元二次函数的图象与性质,列出不等式组,即可求解. 【详解】 ①当时,函数的值不恒大于零,不符合题意,舍去; ②当时,要使得对任意,函数的值恒大于零, 则满足,即, 此不等式组无解,故. 综上知,不存在这样的实数,使函数的值恒大于零. 【点睛】 本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用,以及一元二次不等式的求解,着重考查分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题. 22.原不等式的解集是 【解析】 【分析】 由一元二次方程根的判别式和二次函数的图象可得解集. 【详解】 解不等式可化为. 因为,方程无实数解, 而的图象开口向上,所以原不等式的解集是. 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解法
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