平行线的性质与判定典型例题文档格式.docx
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∵∠ABC=∠ADC,
∴∠3=∠2,
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DC∥AB.
5.如图所示,∠B=25°
,∠D=42°
,∠BCD=67°
,试判断AB和ED的位置关系,并说明理由.
AB∥ED,
理由:
如图,过C作CF∥AB,
∵∠B=25°
,
∴∠BCF=∠B=25°
∴∠DCF=∠BCD﹣∠BCF=42°
又∵∠D=42°
∴∠DCF=∠D,
∴CF∥ED,
∴AB∥ED.
6.如图,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,且∠1+∠2=90°
.试判断AD与BC的位置关系,并说明理由.
BC∥AD.理由如下:
∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,
∴∠ADC=2∠1,∠BCD=2∠2,
∵∠1+∠2=90°
∴∠ADC+∠BCD=2(∠1+∠2)=180°
∴AD∥BC.
7.已知:
如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2.求证:
EF∥CD.
∵DG⊥BC,AC⊥BC,
∴∠DGB=∠ACB=90°
(垂直定义),
∴DG∥AC(同位角相等,两直线平行),
∴∠2=∠ACD(两直线平行,内错角相等),
∴∠1=∠DCA,
∴EF∥CD(同位角相等,两直线平行).
8.将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点C按如图方式叠放在一起,友情提示:
∠A=60°
,∠D=30°
,∠E=∠B=45°
.
(1)①若∠DCB=45°
,则∠ACB的度数为 135°
②若∠ACB=140°
,则∠DCE的度数为 40°
.
(2)由
(1)猜想∠ACB与∠DCE的数量关系,并说明理由.
(3)当∠ACE<90°
且点E在直线AC的上方时,当这两块三角尺有一组边互相平行时,请直接写出∠ACE角度所有可能的值(不必说明理由).
(1)①∵∠DCE=45°
,∠ACD=90°
∴∠ACE=45°
∵∠BCE=90°
∴∠ACB=90°
+45°
=135°
故答案为:
135°
;
②∵∠ACB=140°
,∠ECB=90°
∴∠ACE=140°
﹣90°
=50°
∴∠DCE=90°
﹣∠ACE=90°
﹣50°
=40°
40°
(2)猜想:
∠ACB+∠DCE=180°
∵∠ACE=90°
﹣∠DCE
又∵∠ACB=∠ACE+90°
﹣∠DCE+90°
=180°
即∠ACB+∠DCE=180°
(3)30°
、45°
当CB∥AD时,∠ACE=30°
当EB∥AC时,∠ACE=45°
9.已知:
DE⊥AO于E,BO⊥AO,∠CFB=∠EDO,证明:
CF∥DO.
∵DE⊥AO,BO⊥AO,
∴∠AED=∠AOB=90°
∴DE∥BO(同位角相等,两条直线平行),
∴∠EDO=∠BOD(两直线平行,内错角相等),
∵∠EDO=∠CFB,
∴∠BOD=∠CFB,
∴CF∥DO(同位角相等,两条直线平行).
10.如图,已知∠A=∠C,∠E=∠F,试说明:
AD∥BC.
∵∠E=∠F,
∴AE∥CF,
∴∠A=∠ADF,
∵∠A=∠C,
∴∠ADF=∠C,
11.已知:
如图,EG∥FH,∠1=∠2.求证:
∠BEF+∠DFE=180°
∵EG∥HF
∴∠OEG=∠OFH,
∵∠1=∠2
∴∠AEF=∠DFE
∴AB∥CD,
∴∠BEF+∠DFE=180°
12.如图,AB∥CD,∠B=70°
,∠BCE=20°
,∠CEF=130°
,请判断AB与EF的位置关系,并说明理由.
AB∥EF,理由如下:
∵AB∥CD,
∴∠B=∠BCD,(两直线平行,内错角相等)
∵∠B=70°
∴∠BCD=70°
,(等量代换)
∵∠BCE=20°
∴∠ECD=50°
∵CEF=130°
∴∠E+∠DCE=180°
∴EF∥CD,(同旁内角互补,两直线平行)
∴AB∥EF.(平行于同一直线的两条直线互相平行)
13.如图,AD∥BC,∠DAC=120°
,∠ACF=20°
,∠EFC=140°
.求证:
EF∥AD.
∵AD∥BC,
∴∠DAC+∠ACB=180°
∵∠DAC=120°
∴∠ACB=60°
又∵∠ACF=20°
∴∠BCF=∠ACB﹣∠ACF=40°
又∵∠EFC=140°
∴∠BCF+∠EFC=180°
∴EF∥BC,
∴EF∥AD.
14.完成下列推理过程:
已知:
如图,∠1+∠2=180°
,∠3=∠B
求证:
∠EDG+∠DGC=180°
∵∠1+∠2=180°
(已知)
∠1+∠DFE=180°
( 邻补角定义 )
∴∠2= ∠DFE ( 同角的补角相等 )
∴EF∥AB( 内错角相等,两直线平行 )
∴∠3= ∠ADE ( 两直线平行,内错角相等 )
又∵∠3=∠B(已知)
∴∠B=∠ADE( 等量代换 )
∴DE∥BC( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠EDG+∠DGC=180°
( 两直线平行,同旁内角互补 )
15.已知:
如图,BE∥GF,∠1=∠3,∠DBC=70°
,求∠EDB的大小.
阅读下面的解答过程,并填空(理由或数学式)
∵BE∥GF(已知)
∴∠2=∠3( 两直线平行同位角相等 )
∵∠1=∠3( 已知 )
∴∠1=( ∠2 )( 等量代换 )
∴DE∥( BC )( 内错角相等两直线平行 )
∴∠EDB+∠DBC=180°
( 两直线平行同旁内角互补 )
∴∠EDB=180°
﹣∠DBC(等式性质)
∵∠DBC=( 70°
)(已知)
﹣70°
=110°
16.如图,已知:
E、F分别是AB和CD上的点,DE、AF分别交BC于点G、H,AB∥CD,∠A=∠D,试说明:
(1)AF∥ED;
(2)∠BED=∠A;
(3)∠1=∠2
(1)证明:
∴∠A=∠AFC,
∵∠A=∠D,
∴∠AFC=∠D,
∴AF∥ED;
(2)证明:
∵AF∥ED,
∴∠BED=∠A;
(3)证明:
∴∠1=∠CGD,
又∵∠2=∠CGD,
∴∠1=∠2.
17.阅读理解,补全证明过程及推理依据.
如图,点E在直线DF上,点B在直线AC上,∠1=∠2,∠3=∠4.
求证∠A=∠F
∵∠1=∠2(已知)
∠2=∠DGF( 对顶角相等 )
∴∠1=∠DGF(等量代换)
∴ BD ∥ CE ( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠3+∠ C =180°
又∵∠3=∠4(已知)
∴∠4+∠C=180°
(等量代换)
∴ AC ∥ DF ( 同旁内角互补,两直线平行 )
∴∠A=∠F( 两直线平行,内错角相等 )
18.如图,∠α和∠β的度数满足方程组
,且CD∥EF,AC⊥AE.
(1)求∠α和∠β的度数.
(2)求∠C的度数.
(1)解方程组
得
(2)∵∠α+∠β=55°
+125°
∴∠C+∠CAB=180°
∵AC⊥AE,
∴∠CAE=90°
∴∠C=180°
﹣55°
=35°
19.如图,直线a∥b,∠1=45°
,∠2=30°
,求∠P的度数.
过P作PM∥直线a,
∵直线a∥b,
∴直线a∥b∥PM,
∵∠1=45°
∴∠EPM=∠2=30°
,∠FPM=∠1=45°
∴∠EPF=∠EPM+∠FPM=30°
=75°
20.如图,AB∥CD,∠A=60°
,∠C=∠E,求∠E.
∵AB∥CD,∠A=60°
∴∠DOE=∠A=60°
又∵∠C=∠E,∠DOE=∠C+∠E,
∴∠E=
∠DOE=30°
21.如图,已知∠1+∠2=180°
,∠B=∠3,∠BAC与∠DCA相等吗为什么
∠BAC=∠DCA,
∵∠CFE=∠2,∠2+∠1=180°
∴∠CFE+∠1=180°
∴DE∥BC,
∴∠AED=∠B,
∵∠B=∠3,
∴∠3=∠AEF,
∴∠BAC=∠DCA.
22.如图,已知EF⊥BC,∠1=∠C,∠2+∠3=180°
.试说明直线AD与BC垂直.(请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由).
∵∠1=∠C,(已知)
∴ GD ∥ AC ,( 同位角相等,两直线平行 )
∴∠2= ∠DAC .( 两直线平行,内错角相等 )
又∵∠2+∠3=180°
,(已知)
∴∠3+ ∠DAC =180°
.(等量代换)
∴ AD ∥ EF ,( 同旁内角互补,两直线平行 )
∴∠ADC=∠EFC.( 两直线平行,同位角相等 )
∵EF⊥BC,(已知)
∴∠EFC=90°
,∴∠ADC=90°
∴ AD ⊥ BC .
23.如图1,BC⊥AF于点C,∠A+∠1=90°
(1)求证:
AB∥DE;
(2)如图2,点P从点A出发,沿线段AF运动到点F停止,连接PB,PE.则∠ABP,∠DEP,∠BPE三个角之间具有怎样的数量关系(不考虑点P与点A,D,C重合的情况)并说明理由.
(1)如图1,∵BC⊥AF于点C,
∴∠A+∠B=90°
又∵∠A+∠1=90°
∴∠B=∠1,
∴AB∥DE.
(2)如图2,当点P在A,D之间时,过P作PG∥AB,
∵AB∥DE,
∴PG∥DE,
∴∠ABP=∠GPB,∠DEP=∠GPE,
∴∠BPE=∠BPG+∠EPG=∠ABP+∠DEP;
如图所示,当点P在C,D之间时,过P作PG∥AB,
∴∠BPE=∠BPG﹣∠EPG=∠ABP﹣∠DEP;
如图所示,当点P在C,F之间时,过P作PG∥AB,
∴∠BPE=∠EPG﹣∠BPG=∠DEP﹣∠ABP.
24.已知:
如图,FE∥OC,AC和BD相交于点O,E是CD上一点,F是OD上一点,且∠1=∠A.
AB∥DC;
(2)若∠B=30°
,∠1=65°
,求∠OFE的度数.
∵FE∥OC,
∴∠1=∠C,
∵∠1=∠A,
∴∠A=∠C,
∴AB∥DC;
(2)解:
∵AB∥DC,
∴∠D=∠B,
∵∠B=30°
∴∠D=30°
∵∠OFE是△DEF的外角,
∴∠OFE=∠D+∠1,
∵∠1=65°
∴∠OFE=30°
+65°
=95°
25.(2018秋•牡丹区期末)如图,AB∥DG,∠1+∠2=180°
AD∥EF;
(2)若DG是∠ADC的平分线,∠2=150°
,求∠B的度数.
(1)∵AB∥DG,
∴∠BAD=∠1,
∴∠2+∠BAD=180°
∴AD∥EF;
(2)∵∠1+∠2=180°
,∠2=150°
∴∠1=30°
∵DG是∠ADC的平分线,
∴∠GDC=∠1=30°
∵AB∥DG,
∴∠B=∠GDC=30°
26.如图,AD⊥BC于点D,EG⊥BC于点G,∠E=∠3.请问:
AD平分∠BAC吗若平分,请说明理由.
平分.
∵AD⊥BC于D,EG⊥BC于G,(已知)
∴∠ADC=∠EGC=90°
,(垂直的定义)
∴AD∥EG,(同位角相等,两直线平行)
∴∠2=∠3,(两直线平行,内错角相等)
∠E=∠1,(两直线平行,同位角相等)
又∵∠E=∠3(已知)
∴∠1=∠2(等量代换)
∴AD平分∠BAC(角平分线的定义).
27.如图,EF∥AB,∠DCB=70°
,∠CBF=20°
,∠EFB=130°
(1)问直线CD与AB有怎样的位置关系并说明理由;
(2)若∠CEF=70°
,求∠ACB的度数.
(1)CD和AB的关系为平行关系.理由如下:
∵EF∥AB,∠EFB=130°
∴∠ABF=180°
﹣130°
又∵∠CBF=20°
∴∠ABC=70°
∵∠DCB=70°
∴∠DCB=∠ABC,
∴CD∥AB;
(2)∵EF∥AB,CD∥AB,
∴EF∥CD,
∵∠CEF=70°
∴∠ECD=110°
∴∠ACB=∠ECD﹣∠DCB,
∴∠ACB=40°
28.如图,BD是∠ABC的平分线,ED∥BC,∠4=∠5,则EF也是∠AED的平分线.完成下列推理过程:
∵BD是∠ABC的平分线(已知)
∴∠1=∠2(角平分线定义)
∵ED∥BC(已知)
∴∠5=∠2( 两直线平行,内错角相等 )
∴∠1=∠5(等量代换)
∵∠4=∠5(已知)
∴EF∥ BD ( 内错角相等,两直线平行 )
∴∠3=∠1( 两直线平行,同位角相等 )
∴∠3=∠4(等量代换)
∴EF是∠AED的平分线(角平分线定义)
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