常微分方程的实际应用Word格式.docx
- 文档编号:21868366
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:17
- 大小:71.46KB
常微分方程的实际应用Word格式.docx
《常微分方程的实际应用Word格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《常微分方程的实际应用Word格式.docx(17页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
O为坐标
线,M(x,y)为该曲线上任意一点,点C为M在x轴上的投影
原点,若梯形OCMA的面积与曲边三角形
CBM的面积之和为
f(x)的表达式。
解:
根据题意有:
f(0)-1,f
(1)=0
且+f(x)】+f
2x
f(t)dt二
将上式两边对x求导数,
2
得21f(x)丨2f(X)一f(x)二x
当0:
:
x汨时,可化为一阶线性微分方程:
11
f(x)-f(x)=x-
xx
方程两边同除x,
即得他=1-2
\xJx
积分可得他=X1c
于是,方程通解为f(x)=x2Vcx
把f
(1)=0代入通解,可确定常数c=-2
故所求函数f(x)的表达式为:
f(x)=X21—2x=(x—1)2,0ex<
例2:
'
、在上半平面求一条向上凹的曲线,其任一点p(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数,(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处切线与x轴平行。
见图,所求曲线为y二f(x),于是其在p(x,y)点处的曲率为:
(1y2)2(1y2)2
(•••曲线为凹的,y0)
曲线y=f(x)在p(x,y)点处的法线方
程:
Y-y—Sx-x)(y■■=0)
W
它与x轴的交点Q的坐标
Q(xyy,0),
由题设k=
PQ
(1y2)2
y(1y2)2
于是PQ|=J(yy)2+y2=y(1十y2)2,
对=1y2这是不显含x的方程
初始条件为,y|x「1,y|x.0
令y=P,y~,于是方程变为
ypdp二1p2冬dp二史
dy1py
12
=2^(1PrInyG,
代入yIxj=0,得g=0
二p2=y2—1二p=「y2_1,
积分得In(y.y2-1)=(x-1)c2
代入y|x討=1,得C2=0
故所求曲线为:
yy2十e(x」),即y=;
(ex」•宀
例3⑶、已知曲线过(1,1)点,如果把曲线上任一点P处的切线与y轴
的交点记作Q,则以PQ为直径所做的圆都经过点
F(1,0),求此曲线方程。
见图
所求曲线设为y二f(x)
于是切线方程为丫-y=y(X-x)切线PQ与y轴的交点Q的坐标为
Q(0,y-xy)
设M点为切线段PQ的中点,坐标为
<
22丿
T圆经过点F(1,0)
MQ=MF
于是得方程“
1
yyy
令y2二z,则方程①
=-(y2^-y2-1--z=一z—2-
2xxxx
Qpl_Q
(1)z=—z二一=一dx二Inz=21nxIncxzx
z=cx2
⑵令Z二c(x)x2为②的解,
代入并整理,得
c(x)x2=-22c(x)
故②的通解为:
即方程的通解为
y2=2x-1~x2,
代入初值ylx刍=1,得~=0
故所求曲线为y2=2x-1
例4:
1\在制造探照灯的反射镜面时,总是要求将点光源射出的光线
平行地反射出去,以保证探照灯有良好的方向性,试求反射镜面的几何
形状。
过曲线y=f(x)上任一点M(x,y)作切线NT
则由反射定律:
入射角等于反射角,容易推知:
=:
■2
从而OM=ON
注意到
¥
"
dx
MP
NP
及OP=x,丽二y,OMfix2y2
就得到函数y=f(x)所满足的微分方程式
这是齐次方程。
设[=—,将它化为变量分离方程求解
得y2二c(c-2x)c为任意常数
故反射镜面的形状为旋转抛物面y2z2=c(c■2x)
二、常微分方程在机械振动中的应用
常微分方程与物理联系甚为广泛,下面我们就一起来看一下常微分方程在机械振动中的应用,常微分方程解决力学问题需要:
建立坐标系,对所研究物体进行受力分析;
根据牛顿第二定律F二ma,列方程;
解方程。
下面,让我们从实例中体会常微分方程在力学中的作用。
例1?
:
一个质量为m的船以速度v0行驶,在t=0时,动力关闭,假设水的阻力正比于vn,其中n为一常数,v为瞬时速度,求速度与滑行距离的函数关系。
船所受的净力二向前推力-水的阻力=0-kvn,
加速度二速度对时间的导数,即
dv
a二,
dt
于是,由题设有
dvn
m——=-kv
v|t」=V°
现在要求的不是速度与时间的关系,
而是速度与距离的关系,设距
把v|才Vo,x|t£
=0代入上式,得
离为x,于是,上述方程可化为:
故宀一^卫x
m
2-n
V。
・n
-kv
(^)
,得
mv.
kxc
2-n
c
当n=2时,两边积分
mvo
二mJ』dv_-kdx
dvdvdx
mmmv
dtdxdt
当n=2时,(探)=mv'
dv=「kdx,
Jkx
积分得v二cem,
将初值代入,得c=v0
k
故V二v°
em
例2:
2\两个质量相同的重物挂于弹簧下端,其中一个坠落,求另一个重物的运动规律,已知弹簧挂一个重物伸长为a。
如图所示,建立坐标系设弹簧
自由状态时长度为I,取Ia处(即挂
I
重物时弹簧的长度)为坐标原点,取x
TaQxxss/_f
轴铅直向下,设在t时刻,重物在x处,
由虎克定律知,此时弹性恢复力为
-kx,k为弹性系数,负号“一”是因为
X-I.
X
2a^
弹性恢复力与位移反向,由牛顿第二定律有:
d2x
m—2
dt2
x(0)=ax(0)=0
T挂两重物时,弹簧伸长2a,由虎克定律有:
2mg二k2a=k=
a
dxg
••方程2x,
dt2a
其特征方程:
&
2=_gnK=±
a
于是方程通解为―込耆“耆
x」C1書叫十叭2
把初始条件x(0)=a,x(0)=0代入以上两式
•••所求重物的运动规律为x二acos
gt
例3:
1:
数学摆是系于一根长度为I的线上而质量为m的质点M在重
力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周动运。
如图所示,试确定摆的运动方程。
点M向着平衡位置A的方向运动,即当角「为正时,向减小的方向运动,
当角「为负时,向增大「的方向运动,所以MP的数值等于-mgsi,因此,摆的运动方程是m色--mgsin,即=--sin「。
dtdt2I
(1)如果只研究摆的微小振动,即当比较小时的情况,我们可以取
sin:
的近似值「代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:
d2;
(2)如果我们假设摆是在一个粘性的介质中摆动,那么,沿摆的运动
方向就存在一个与速度v成比例的阻力,若阻力系数为J,则摆动方程为d2"
dg
壬d9=0。
dt2mdtI
(3)如果沿摆的运动方向恒有一个外力F(t)作用于它,这时摆的运动
称为强迫微小振动,其方程为:
---二丄F(t)。
dt2mdtlml
当要确定摆的某一个特定运动时,我们应给出摆的初始状态:
当t=o时,「「°
,—=Wo。
这里;
0代表摆的初始位置,w0代表初始角速度。
例4[3]:
生产实践中很多机械问题都归结为弹性振动问题,下面便是
受力情况。
(1)弹簧弹性力fo,依虎克定律fo=-c(6+x),其中6为弹簧在物体重力作用下的伸长量。
(2)物体所受重力p=mg
(3)介质阻力R与物体运动速度成正比,与运动方向相反,
R--JV--'
dX
其中)为常数,称为阻尼系数。
(4)重力干扰力f=fi(t)
因此,这时物体所受合外力
F=fopRf=-o心亠xmgf1(t)
再由牛二定律,得方程:
d2xdx
m一2cG亠xmgfi(t)
dtdt
由于系统的平衡位置处,弹性力fo=-c:
与重力p二mg平衡,故有
_cmg二0
于是上述方程写成
dx,dx
m—2cx=f1(t)
dt2dt
若记2n,—=k2
mm
fi(t)
f(t)
则①可写成
dx小dx,2「
22nk2x=f(t)
这就是该物体在外力f(t)作用下运动规律。
x二x(t)所满足的微分方程
若物体振动过程中,未受外力干扰,即f(t)=O,则微分方程
d2xdt2
2n鱼k2x=0dt
三、常微分方程在电磁振荡中的应用
建立起实际问题的数学模型一般是比较困难的,因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解,如前面所求的力学问题就要对牛二定律有清楚的认识,同时也需要有一定的数学知识,为了要建立起实际问题的数学模型,一定要学习有关的自然科学和工程技术的专业知识,微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型,我们在建立微分方程的时候,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其它一些次要因素忽略掉,如果的确考虑到了那些最主要的因素,那么,我们所得到的微分方程,它的解和所考虑的物理现象就是比较接近的,这时,我们得到的数学模型是有用的,否则,我们还应考虑其它一些因素,以便建立起更为合理的数学模型,为了解决热电学问题,需要了解其中的一些基本规律,如下面将用到牛顿冷却定律,其内容为热量总是从物体中温度高的向温度低的物体传导;
在一定温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度差值成比例,等等,我们将在实例中一一解答。
常微分方程解决电磁振荡问题通常建立起电热学问题的数学模型,
也就是反映这个实际问题的微分方程。
求解这个微分方程。
用所得的数学结果解释实际问题,从而预测到某些物理过程的特定性质,以便达到能动地改造世界,解决实际问题的目的。
接下来,就让我们从实例中体会常微分方程在电热方面的应用。
例1:
1:
.R-L电路,如图,它包含电感L,电阻R和电源E,设t=0时,电路中没有电流,我们要求建立:
当开关k闭合后,电流I应该满足的微分方程,假设R,L,E都是常数。
为了建立电路的微分方程,我
三E
们引用关于电路的基尔霍夫第二定律:
厂|
在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和等于零。
注意到经过电阻R的电压降是RI,而经过电感L的电压降是LdI
由基尔霍夫第二定律得到e_l^ri=0
dlRE
即I二一
dtLL
求出的I=l(t)应满足条件:
当t=0时,丨=0,如果假定在t=t0时,I=Io,电源E突然短路,因而E变为零,此后亦保持为零,那么电流I满足方程。
dIRI=0,及条件t二t0时,I=10
dtL0
R-L-C电路,如图所示,它包括电感L,电阻R和电容C,
设R,L,C均为常数,电源e(t)是时间t的已知函数,我们要求建立:
当开
关k闭合后,电流I应满足的微分方程。
注意到经过电感L,电阻R和
电容C的电压降分别为L9,RI和Q,
dtC
其中Q为电量,因此由基尔霍夫第二定
律得到e(t)二L9•riQ
TI二竽,微分上式得到
d2IRd£
丄_1de(t)
dt2LdtLCLdt
这就是电流I应满足的微分方程,如果e(t)=常数,得到
d2IRdlI
dt2rdtLc=0
如果又有R=0,则得到
d2I1
20
dt2LC
1〔电容器的充电和放电,如图所示R-C电路,开始时电容C上
没有电荷,电容两端电压为零,我们把开关k闭合“1”后,电池E就对
电容C充电,电容C两端电压Uc逐渐升高,经过相当时间后,电容充电完毕,我们再把开关k合上“2”,这时电容就开始放电过程,现在要求找
出充、放电过程中,电容C两端的电压uc随时间t的变化规律。
对于充电过程,由闭合回路的
基尔霍夫第二定律有
Uclb
C
〕R
UCRI二E
对电容c充电时,电容上的电量逐渐增多,根据Q=CUc得到:
1唱计CUAC貯②
将②代入①,得Uc满足的微分方程:
RC业UC二Edt
这里R,C,E都是常数,方程③属于变量分离方程,将③变量分离得到
dUc_dt
Uc-ERC
两边积分,得到
InUc—E=
RC
Ci
即Uc-E
二C?
e
这里C2heCi为任意常数。
将初始条件:
t=0时,uc=0代入得到C2=-E
这就是R-C电路充电过程电容C两端的电压变化规律,由④知道,电压Uc从零开始逐渐增大,且当t—:
时,U厂E,在电工学中,通常称•二RC为时间常数,当t=3时,Uc=0.95E,就是说,经过3的时间后,电容C上的电压已达到外加电压的95%,实际上,通常认为这时电
容C的充电过程已基本结束,易见充电结果uc=E,对于放电过程,可以类似地进行。
例4"
.将某物体放置于空气中,在时刻t=0时,测量它的温度为u0=150C,10分钟后测量得温度为w=100C,我们要求决定此物体的温度u和时间t的关系,并计算20分钟后物体的温度,这里假定空气的温度保持为u^24C。
设物体在时刻t的温度为u=u(t),则温度的变化速度以du来表
示,根据牛顿冷却定律知,热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导,二U0Ua,所以温差口-%为正,又•物体将随时间而逐渐冷却,故温度变化速度屯恒为负,因此由牛顿冷却定律得到况=-k(U-Ua)①
这里k0是比例常数①式就是物体冷却过程数学模型,为了决定物
体的温度u和时间t的关系,我们从方程①中“解出”u,注意到Ua是常
数,且U-Ua0,将①改写成:
d(U—Ua)—kdt,两边积分,得
u-Ua
In(u-Ua)二-kt~,~为“任意常数”
根据对数定义,得到u-Ua=e"
c
令ec=c,即得u=Ua•ceAt②
根据“初始条件”:
当t=0时,u=u0
容易确定c的数值,为此,将t=0,u二Uo代入②式,得
C二Uo-Ua
二U二Ua(Uo-虫怜③
若k的数值确定了,③就完全决定了温度u与时间t的关系,根据条
件t二10,u=5,得到5=ua•(u0-ua)e'
0k
由此,k二丄In叱也
10比—ua
由给定u0=150,5=100,ua=24代入,得
1150-241
kInIn1.660.051
10100-2410
二^24126e^051t④
这样,利用④式就可以算出任何时刻t的温度u的数值。
参考文献:
1、王高雄,周之铭,朱思铭、王寿松编《常微分方程》
2、陈文灯,黄先开,曹显兵编《聚集考研——数学》
3、李永乐,李正元编《数学历年试题解析》
引言3
一、常微分方程在几何学的应用4
二、常微分方程在机械振动中的应用9
三、常微分方程在电磁振荡中的应用14
20
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 微分方程 实际 应用