八年级三角形的奥数题及其答案docxWord格式文档下载.docx
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3
)正方形
ABCD内画一个半等角点
P,且满足α≠β。
(2
4
)四边形
ABCD
中画出一个半等角点
P,保留画图痕迹(不需写出画法)
.
(3
)若四边形
有两个半等角点
P1
、P2(如图(
2))
,证明线段
P1P2上任一点
也是它的半等角点
。
例题8:
已知:
点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC。
(1)如图1,若点O在BC上,求证:
AB=AC;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,求证:
(3)若点O在△ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示。
练习试题:
1.如图,在△ABC中,
ABC和
ACB的平分线相交于点
O,过点
O作EF∥BC交
AB
于E,交
AC于
F
,过点
O作OD
D.下列四个结论:
①
BOC
1
90°
+
A;
2
②以
E为圆心、
BE为半径的圆与以
为圆心、
CF为半径的圆外切;
③设ODm,AEAF
n,则△
mn
;
SAEF
④EF不能成为△ABC的中位线.
其中正确的结论是_____________.(把你认为正确结论的序号都填上)
2.如图1,AB、CD是两条线段,M是AB的中点,SDMC、SDAC和SDBC分别表示△DNC、
△DAC、△DBC的面积。
当
AB∥CD时,有SDMC
=SDACSDBC
(1)
(1)如图2,若图1中AB与CD不平行时,
(1)式是否成立?
请说明理由。
(2)如图3,若图1中AB与CD相交于点O时,SDMC、SDAC和SDBC有何种相等关系?
试证明你的结论。
3.如图,设△ABC和△CDE都是正三角形,且∠
EBD=62o,则∠AEB的度数是【
】
(A)124o
(B)122o
(C)120o
(D)118o
4.如图,△ABC是等边三角形,△BDC是顶角∠BDC=120°
的等腰三角形,M是AB延长线
上一点,N是CA延长线上一点,且∠MDN=60°
.试探究MB、MN、CN之间的数量关系,并给
出证明.
5.如图,在△ABC中,∠ABC=600,点P是△ABC内的一点,使得∠APB=∠BPC=∠CPA,
且PA=8,PC=6,则PB=_____________
6.如图所示,在△ABC中,AB=AC,AD=AE,BAD60,则EDC__________
7.
(1)如图7,点O是线段AD的中点,分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角
形OAB和等边三角形OCD,连结AC和BD,相交于点E,连结BC.求∠AEB的大小;
(2)如图8,OAB固定不动,保持OCD的形状和大小不变,将OCD绕着点O旋转(
OAB和OCD不能重叠),求∠AEB的大小.
8.两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置,图2是由它抽象出的几何图形,
B,C,E在同一条直线上,连结DC.
(1)请找出图2中的全等三角形,并给予证明(说明:
结论中不得含有未标识的字母);
(2)证明:
DCBE.
9.如图,AD是△ABC的边BC上的高,由下列条件中的某一个就能推出△ABC是等腰三角形
的是__________________。
(把所有正确答案的序号都填写在横线上)
①∠BAD=∠ACD②∠BAD=∠CAD,③AB+BD=AC+CD④AB-BD=AC-CD
参考答案
例题1、证明:
△OAE≌△ODF,因为:
二边及夹角(对等角)相等,得:
AE=DF。
同理证得:
△OBE≌△OCF,△OAB≌△OCD,得:
EB=CF,AB=CD。
因为:
AE=DF,EB=CF,AB=CD三边相等。
所以:
例2F于点G延长EP交AB于M,延长FP交AD于N
∵P为正方形ABCD对角线BD上任一点∴PM=PF,PN=PE
又AMPN为矩形.
∴AN=PM=PF
∵∠EPF=∠BAC=90°
∴△PEF≌△ANP
∴∠NAP=∠PFE
又∠NPA=∠FPG(对顶角)
∠NAP+∠NPA=90°
∴∠PFE+∠FPG=90°
∴∠PGF=180°
-(∠PFE+∠FPG)=90°
∴AP⊥EF
例3∵BH=AC,∠BDH=∠ADC=90°
,∠HBD=∠CAD(这个知道的吧)∴△BDH≡△ADC
∴HD=CD,BD=AD
∴△HDC与△ABD是等腰直角三角形
∴∠BCH=∠ABD=45°
例4:
在CB的延长线上取点G,使BG=DQ,连接AG∵正方形ABCD
∴AB=AD,∠BAD=∠ABG=∠D=90
∵BG=DQ
∴△ABG≌△ADQ(SAS)
∴AQ=AG,∠BAG=∠DAQ
∵∠PAQ=45
∴∠BAP+∠DAQ=∠BAD-∠PAQ=45
∴∠PAG=∠BAP+∠BAG=∠BAP+∠DAQ=45
∴∠PAG=∠PAQ
∵AP=AP
∴△APQ≌△APG(SAS)
∴PQ=PG
∵PG=PB+BG=PB+DQ
∴PB+DQ=PQ
例5、
例6
例7
(1)根据题意可知,所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点.因为在图形内部,所以不能是AC的端点,又由于α≠β,所以不是AC的中点.
(2)画点B关于AC的对称点B’,延长DB’交AC于点P,点P为所求.(因为对称的两个图形完全重合)
(3)先连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠
BP1C∴∠AP1B+∠BP1C=180度.∴P1在AC上,同理,P2也在AC上,再利用ASA证明△DP1P2≌△BP1P2而,那么△P1DP2和△P1BP2关于P1P2对称,P是对称轴上的点,所以∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC.即点P是四边形的半等角点.解答:
解:
(1)所画的点P在AC上且不是AC的中点和AC的端点,即给(4分).
(2)画点B关于AC的对称点B’,延长DB’交AC于点P,点P为所求(不写文字说明不扣分)给(3分).
(说明:
画出的点
P大约是四边形ABCD的半等角点,而无对称的画图痕迹,给
分)
(3)连P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B,根据题意,∠AP1D=∠AP1B,∠DP1C=∠BP1C,
∴∠AP1B+∠BP1C=180度.∴P1在AC上,
同理,P2也在AC上.(9分)在△DP1P2和△BP1P2中,
∠DP2P1=∠BP2P1,∠DP1P2=∠BP1P2,P1P2公共,
∴△DP1P2≌△BP1P2.(11分)
所以DP1=BP1,DP2=BP1,DP2=BP2,于是B、D关于AC对称.
设P是P1P2上任一点,连接PD、PB,由对称性,得∠DPA=∠BPA,∠DPC=∠BPC,
所以点P是四边形的半等角点.
例8
证明:
(1)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,E、F分别是垂足,由题意知,OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFC
∴∠B=∠C,从而AB=AC。
(2)过点O分别作OE⊥AB,OF⊥AC,EF分别是垂足,由题意知,OE=OF。
在Rt△OEB和Rt△OFC中,∵OE=OF,OB=OC,
∴Rt△OEB≌Rt△OFE。
∴∠OBE=∠OCF,B=OC知∠OBC=∠OCB,∴∠ABC=∠ACD,∴AB=AC。
(3)解:
不一定成立。
注:
当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC;
否则,AB≠AC,如示例图
练习1
3解:
∵等边△ABC、等边△CDE
∴AC=BC,CE=CD,∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠ECD=60
∵∠ACE=∠ACB-∠BCE,∠BCD=∠ECD-∠BCE
∴∠BCD=∠ACE
∴△ACE≌△BCD(SAS)
∴∠CBD=∠CAE
∵∠EBD=62
∴∠CBD=∠EBD-∠CBD=62-∠CBE
∴∠CAE=62-∠CBE
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60-62+∠CBE=-2+∠CBE∴∠ABE+∠BAE=60-∠CBE-2+∠CBE=58∴∠AEB=180-(∠ABE+∠BAE)=122
CN+BM=MN
延长AC至M1,使CM1=BM,连结DM1
由已知条件知:
∠ABC=∠ACB=60°
,
∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABD=∠ACD=90°
∵BD=CD∴Rt△BDM≌Rt△CDM1
∴∠MDB=∠M1DC,而DM=DM1
∴∠MDM1=(120°
-∠MDB)+∠M1DC=120°
又∵∠MDN=60∴∠M1DN=∠MDN=60°
∴△MDN≌△M1DN∴MN=NM1=NC+CM1=CN+BM
即CN+BM=MN
5
(1)证明:
∵∠APB=∠BPC=∠CPA,三角之和是360o
∴∠APB=∠BPC=120o
∴∠PAB+∠PBA=180o-120o=60o
∠ABC=∠PBC+∠PBA=60o
∴∠PAB=∠PBC
∴⊿PAB∽⊿PBC【∠APB=∠BPC,∠PAB=∠PBC】
(2)解:
∵⊿PAB∽⊿PBC
∴PA/PB=PB/PC
推出PB2=PA·
PC=6×
8=48
PB=√48=4√3
6
设∠EDC=x,∠B=∠C=y
∠AED=∠EDC+∠C=x+y
又因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED=x+y
则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y
又因为∠ADC=∠B+∠BAD
所以2x+y=y+30
解得x=15
所以∠EDC的度数是15度
7
1)如图3,
∵△OCD和△ABO都是等边三角形,且点O是线段AD的中点,
∴OD=OC=OB=OA,∠1=∠2=60°
∴∠4=∠5.
又∵∠4+∠5=∠2=60°
∴∠4=30°
同理∠6=30°
∵∠AEB=∠4+∠6,
∴∠AEB=60°
(2)如图4,
∵△OCD和△ABO都是等边三角形,
∴OD=OC,OB=OA,∠1=∠2=60°
又∵OD=OA,
∴OD=OB,OA=OC,
∴∠4=∠5,∠6=∠7.
∵∠DOB=∠1+∠3,
∠AOC=∠2+∠3,
∴∠DOB=∠AOC.
∵∠4+∠5+∠DOB=180°
,∠6+∠7+∠AOC=180°
∴2∠5=2∠6,
∴∠5=∠6.
又∵∠AEB=∠8-∠5,∠8=∠2+∠6,∴∠AEB=∠2+∠5-∠5=∠2,
8
①可以找出△BAE≌△CAD,条件是AB=AC,DA=EA,∠BAE=∠DAC=90°
+∠CAE.
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45°
,则∠BCD=90°
,所以DC⊥BE.解答:
①∵△ABC,△DAE是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°
∠BAE=∠DAC=90°
+∠CAE,
在△BAE和△DAC中
∴△BAE≌△CAD(SAS).②由①得△BAE≌△CAD.
∴∠DCA=∠B=45°
∵∠BCA=45°
∴∠BCD=∠BCA+∠DCA=90°
∴DC⊥BE.
9
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