完整版《平面向量》测试题及答案Word文档格式.docx
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1
)
9.设四边形ABCD中,有DC=
AB,且|AD|=|BC|,则这个四边形是()
A.平行四边形B.矩形C.等腰梯形D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为()
A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-10
11.将函数y=x
2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后,得到y=x2的图像,则a等于()
A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是()
A.(2a,b)B.(a-b,a+b)C.(a+b,b-a)D.(a-b,b-a)
二、填空题
13.设向量a=(2,-1),向量b与a共线且b与a同向,b的模为25,则b=。
14.已知:
|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°
,要使λb-a垂直,则λ=。
15.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a·
b=。
16.在菱形ABCD中,(AB+AD)·
(AB-AD)=。
三、解答题
17.如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,
已知AB=a,AD=b,试用a、b分别表示DC、BC、MN。
18.设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
(1)求证a与b不共线,并求a与b的夹角的余弦值;
(2)求c在a方向上的投影;
(3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.
19.设e1与e2是两个单位向量,其夹角为60°
,试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°
,求点B的坐标和AB。
rr
已知|a|2|b|3
rurrur
⑴c∥d⑵cd
rrrrr
o
a与b的夹角为60,c5a3b
urrr
d3akb
当当实数k为何值时,
21.已知△ABC顶点A(0,0),B(4,8),C(6,-4),点M内分AB所成的比为3,N是AC边上的一点,
且△AMN的面积等于△ABC面积的一半,求N点的坐标。
文科数学[平面向量]单元练习题
1.(全国Ⅰ)设非零向量a、b、c、满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=()
A.150B.120°
C.60°
D.30°
2.(四川高考)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于()
A.(7,3)B.(7,7)C.(1,7)D.(1,3)
→→→→→→
3.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD等于()
A.a+
bB.
131
a+bC.a+
444
bD.
a+
b
4.(浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=()
9
B.-,-
77
,
39
5.(启东)已知向量p=(2,x-1),q=(x,-3),且p⊥q,若由x的值构成的集合A满足A?
{x|ax=2},
则实数a构成的集合是()
A.{0}B.{
}C.?
D.{0,
}
6.在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,如果2b=a+c,B=30°
,△ABC的面积为
于()
,则b等
1+3
B.1+3C.
2+3
D.2+3
7.(银川模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°
灯塔B在观察站C的南偏东40°
,则灯塔A与B的距离为()
A.2akmB.akmC.3akmD.2akm
→2→→→→→→
8.在△ABC中,若BC=AB·
BC+CB·
CA+BC·
BA,则△ABC是()
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形
9.已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是()
B.3C.
15
8
D.
→→→
10.已知D为△ABC的边BC的中点,在△ABC所在平面内有一点P,满足PA+BP+CP
λ的值为()
=0,设
→
|PA|
|PD|
=λ,则
A.1B.
C.2D.
11.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ________.
12.(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°
,若向量c=a+b,且c⊥a,则
|a|
|b|
=________.
13.已知向量a=(tanα,1),b=(3,1),α∈(0,π),且a∥b,则α的值为________.
14.(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°
,两船的航行
速度分别为25nmile/h、15nmile/h,则下午2时两船之间的距离是________nmile.
15.(江苏高考)满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是________.
16.设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
(2)求c在a方向上的投影;
17.如图,已知A(2,3),B(0,1),C(3,0),点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,且DE平分△ABC的面积,
求点D的坐标.
18.(厦门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈
π
π.
→→
(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;
2sin→→
(2)若AC·
BC=-1,求
1+tanα
的值.
19.(南充模拟)在△ABC中,已知内角A=
,边BC=23,设内角B=x,周长为y.
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状.
20.(福建高考)已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,-1),m·
n=1,且A为锐角.
(1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
21.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且(a
2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC.
(1)若a=3,b=4,求|CA+CB|的值;
(2)若C=
,△ABC的面积是3,求AB·
BC+BC·
CA+CA·
AB
参考答案
1.B2.A3.C4.C5.A6.D7.D8.A9.C10.B11.A12.C
13.(4,-2)14.215.±
1516.0
17.[解]连结AC
DC=
AB=
a,⋯⋯AC=AD+DC=b+
a,⋯⋯
BC=AC-AB=b+
a-a=b-
NM=ND+DM=NA+AD+DM=b-
MN=-NM=a-b。
⋯⋯
18.【解析】
(1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1×
3≠1×
4,∴a与b不共线.
又a·
b=-1×
4+1×
3=-1,|a|=2,|b|=5,
∴cos〈a,b〉=
a·
|a||b|
=
-1
=-
52
.
10
(2)∵a·
c=-1×
5+1×
(-2)=-7∴c在a方向上的投影为
(3)∵c=λ1a+λ2b,
c
-7
2.
∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3)=(4λ2-λ1,λ1+3λ2),
∴
4λ2-λ1=5
λ1+3λ2=-2
,解得
λ=-
1
λ2=
23
19.[解]∵a=2e1+e2,∴|a|1+e2)2=a2=(2e
2=a2=(2e
2=4e2+4e2=7,∴|a|=7。
12=4e2+4e2=7,∴|a|=7。
1·
e2+e2
22
同理得|b|=7。
b==(2e
1+e2)·
(-3e1+2e2,)=-6e1+e1·
e2+2e2=-
∴cosθ=
|
a|·
|b
=
|7
=-
∴θ=120°
.
20.[解]如图8,设B(x,y),
5
则OB=(x,y),AB=(x-4,y-2)。
∵∠B=90°
,∴OB⊥AB,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x
2+y2=4x+2y。
①
设OA的中点为C,则C(2,1),OC=(2,1),CB=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形,∴OC⊥CB,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y=5。
②
解得①、②得
x
y
或
∴B(1,3)或B(3,-1),从而AB=(-3,1)或AB=(-1,-3)
21.⑴若c∥d得
k⑵若cd得
k
29
14
22.[解]如图10,
S
△=
AMN
△ABC
AM
||
·
AN
|sin
AC|·
sin
BAC
AC
。
∵M分AB的比为3,∴
,则由题设条件得
,∴
=2。
由定比分点公式得
N
026
12
(
4,
4)
∴N(4,-)。
文科数学[平面向量]单元练习题
答案
1.B【解析】∵(a+b)2=c2,∴a·
b=-
2=c2,∴a·
6
cos〈a,b〉=
,〈a,b〉=120°
.故选B.
2.A【解析】a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
3→→→→
3.B【解析】AD=AB+BD=a+BC
=a+
(AC-AB)=a+
313
(b-a)=a+b.
4.D【解析】设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1).
∵(c+a)∥b,c⊥(a+b),
∴2(y+2)=-3(x+1),3x-y=0.
∴x=-
,y=-
,故选D.
5.D【解析】∵p⊥q,∴2x-3(x-1)=0,
即x=3,∴A={3}.又{x|ax=2}?
A,
∴{x|ax=2}=?
或{x|ax=2}={3},
∴a=0或a=
∴实数a构成的集合为{0,
}.
6.B【解析】由acsin30°
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB
2=a2+c2-2accosB
=(a+c)
即b
2-2ac-2accos30°
2=4+23,
得ac=6,
∴b=3+1.
7.C【解析】如图,△ABC中,
AC=BC=a,∠ACB=120°
由余弦定理,
222
得AB=AC+BC-2AC·
BCcos120°
=a2+a2-2a2×
(-
2+a2-2a2×
)=3a2,
2,
∴AB=3a.
8.B【解析】∵AB·
BA
→→→→→→→
=BC·
(AB+BA)+CB·
CA=CB·
CA
→2→→→→→→→
∴BC-CB·
CA=BC·
(BC+CA)=BC·
BA=0,
∴∠B=
,∴△ABC为直角三角形.
9.D【解析】设底边长为a,则腰长为2a,
4a72+4a2-a
2+4a2-a
∴cosA=?
sinA=
2×
2a×
2a8
∴tanA=
15
10.C【解析】∵PA+BP+CP=0,
→→→→→
即PA-PB+CP=0,即BA+CP=0,
故四边形PCAB是平行四边形,∴
=2.
11.【解析】∵a=(1,2),b=(2,3),
∴λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3).
∵向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,
∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,∴λ=2.
【答案】2
12.【解析】由题意知a·
b=|a||b|cos120°
|a||b|.
又∵c⊥a,∴(a+b)·
a=0,
∴a
2+a·
b=0,
即|a|
2=-a·
b=
|a||b|,∴
【答案】
13.【解析】∵a∥b,∴tanα-3=0,即tanα=3,
又α∈(0,π),∴α=
14.【解析】如图,由题意可得OA=50,OB=30.
而AB
2=OA2+OB2-2OA·
OBcos120°
=502+302-2×
50×
30×
(-
2+302-2×
=2500+900+1500=4900,∴AB=70.
【答案】70
15.【解析】设BC=x,则AC=2x,
根据面积公式得S△ABC=
△ABC=
AB·
BCsinB
×
2x1-cos
2B,
根据余弦定理得cosB=
AB2+BC2-AC2
2+BC2-AC2
2AB·
BC
4+x-(2x)
4x
4-x
代入上式得
S△ABC=x1-(
2=
128-(x2-12)
2-12)
16
2x+x>
2由三角形三边关系有,
x+2>
2x
解得22-2<
x<
22+2.
故当x=23时,S△ABC取得最大值22.
【答案】22
16.【解析】
(1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1×
4,∴a与b不共线.
3=-1,|a|=2,|b|=5,
∴cos〈a,b〉=
(-2)=-7,
∴c在a方向上的投影为
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