排队论及其应用Word下载.docx
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K=∞时为等待制系统,此时一般∞省略不写。
K为有限整数时,表示为混合制系统。
⑤——表示顾客源限额,分有限与无限两种,∞表示顾客源无限,一般∞也可省略不写。
⑥——表示服务规则,常用下列符号
FCFS:
表示先到先服务的排队规则;
LCFS:
表示后到先服务的排队规则;
PR:
表示优先权服务的排队规则。
二、排队系统的主要数量指标
描述一个排队系统运行状况的主要数量指标有:
1.队长和排队长(队列长)
队长是指系统中的顾客数(排队等待的顾客数与正在接受服务的顾客数之和);
排队长是指系统中正在排队等待服务的顾客数。
队长和排队长一般都是随机变量。
2.等待时间和逗留时间
从顾客到达时刻起到他开始接受服务止这段时间称为等待时间。
等待时间是个随机变量。
从顾客到达时刻起到他接受服务完成止这段时间称为逗留时间,也是随机变量。
3.忙期和闲期
忙期是指从顾客到达空闲着的服务机构起,到服务机构再次成为空闲止的这段时间,即服务机构连续忙的时间。
这是个随机变量,是服务员最为关心的指标,因为它关系到服务员的服务强度。
与忙期相对的是闲期,即服务机构连续保持空闲的时间。
在排队系统中,忙期和闲期总是交替出现的。
4.数量指标的常用记号
(1)主要数量指标
L——平均队长,即稳态系统任一时刻的所有顾客数的期望值;
Lq——平均等待队长,即稳态系统任一时刻等待服务的顾客数的期望值;
W——平均逗留时间,即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客逗留时间的期望值;
Wq——平均等待时间,即(在任意时刻)进入稳态系统的顾客等待时间的期望值。
(2)其他常用数量指标
s——系统中并联服务台的数目;
λ——平均到达率;
1/λ——平均到达间隔;
μ——平均服务率;
1/μ——平均服务时间;
N――稳态系统任一时刻的状态(即系统中所有顾客数);
U――任一顾客在稳态系统中的逗留时间;
Q――任一顾客在稳态系统中的等待时间;
ρ——服务强度,即每个服务台单位时间内的平均服务时间,—般有ρ=λ/(sμ),这是衡量排队系统繁忙程度的重要尺度,当ρ趋近于0时,表明对期望服务的数量来说,服务能力相对地说是很大的。
这时,等待时间一定很短,服务台有大量的空闲时间;
如服务强度ρ趋近于1,那么服务台空闲时间较少而顾客等待时间较多。
我们一般都假定平均服务率μ大于平均到达率λ,即λ/μ<
1,否则排队的人数会越来越多,以后总是保持这个假设而不再声明。
李特尔公式
在系统达到稳态时,假定平均到达率为常数λ,平均服务时间为常数1/μ,则有下面的李特尔公式:
L=λW
Lq=λWq
W=Wq+1/μ
L=Lq+λ/μ
排队系统运行情况的分析
排队系统运行情况的分析,就是在给定输入与服务条件下,通过求解系统状态为n(有n个顾客)的概率Pn,再进行计算其主要的运行指标:
①系统中顾客数(队长)的期望值L;
②排队等待的顾客数(排队长)的期望值Lq;
③顾客在系统中全部时间(逗留时间)的期望值W;
④顾客排队等待时间的期望值Wq。
第三节M/M/1模型
模型的条件是:
1、输入过程――顾客源是无限的,顾客到达完全是随机的,单个到来,到达过程服从普阿松分布,且是平稳的;
2、排队规则――单队,且队长没有限制,先到先服务;
3、服务机构――单服务台,服务时间的长短是随机的,服从相同的指数分布。
第四节
M/M/S模型
●此模型与M/M/1模型不同之处在于有S个服务台,各服务台的工作相互独立,服务率相等,如果顾客到达时,S个服务台都忙着,则排成一队等待,先到先服务的单队模型。
●整个系统的平均服务率为sμ,ρ*=λ/sμ,(ρ*<
1)为该系统的服务强度。
几个连续型分布—定长
●定长分布(记为D)
若顾客到达间隔时间(或服务时间)为一常量a,此时称输入(服务)分布为定长分布,用T表示此时间,则
P(T=a)=1
用分布函数表示有
F(t)=P(T£
t)=0t<
a
1t³
●概率特征:
方差为0
●主要应用:
周期性到达事件
定长服务系统(例如ATM网络)
几个连续型分布—负指数
●无记忆性
P(T>
t+x|T>
t)=P(T>
x)
●定理1.1
负指数分布具有无记忆性.即设T是随机变量,服从负指数分布,参数为l>
0,设t,x>
0,则
t+x|T>
x)=e-x
●定理1.2
设随机变量T是非负的连续型变量,它的分布具有无记忆性,则T服从负指数分布
●连续型随机变量分布中,只有负指数分布具有无记忆特性
几个连续型分布—爱尔兰
●定理1.3
爱尔兰分布和负指数分布的关系
设T1,T2,…,Tk,是独立同负指数分布的随机变量,参数为l,则T=T1+T2+…+Tk,服从k阶爱尔兰分布
●主要应用
描述多级服务系统
描述平滑(规则)随机事件流
几个离散型分布
●离散时间的排队理论在计算机通讯中有着广泛的应用。
因为机械动作是间断的,用离散理论可以得到更精确的结果。
●排队论中常用的最重要的离散分布是几何分布和负二项分布,实际上可以把它们看作是负指数分布、爱尔兰分布离散化而得到的分布,因此它们也应具有负指数分布、爱尔兰分布的类似性质。
几个离散型分布—几何
●几何分布可以用来描述某一顾客的到达间隔或服务持续时间
每单位时间执行一次贝努力试验,“失败”则继续,成功则完成
首次“成功”之前需要持续的时间就可以看成是相应的到达间隔或服务持续时间
●定理1.4
几何分布具有无记忆性,即
n+m|T>
n)=P(T>
m)
或P(T=n+m|T>
n)=P(T=m)
●定理1.5
在离散型分布中,几何分布是唯一具有无记忆性的分布
几个离散型分布—负二项
负二项分布与几何分布的关系
设T1,T2,…,Tk是独立同几何分布的离散型随机变量,则T=T1+T2…+…Tk服从负二项分布(参数为k)
二项分布
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。
在每次试验中只有两种可能的结果,而且两种结果发生与否互相对立,并且相互独立,与其它各次试验结果无关,事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变,则这一系列试验总称为n重伯努利实验,当试验次数为1时,二项分布就是伯努利分布。
2概念
二项分布(BinomialDistribution),即重复n次的伯努利试验(BernoulliExperiment),用ξ表示随机试验的结果。
二项分布公式
如果事件发生的概率是P,则不发生的概率q=1-p,N次独立重复试验中发生K次的概率是
应用条件
1.各观察单位只能具有相互对立的一种结果,如阳性或阴性,生存或死亡等,属于两分类资料。
2.已知发生某一结果(阳性)的概率为π,其对立结果的概率为1-π,实际工作中要求π是从大量观察中获得比较稳定的数值。
3.n次试验在相同条件下进行,且各个观察单位的观察结果相互独立,即每个观察单位的观察结果不会影响到其他观察单位的结果。
如要求疾病无传染性、无家族性等。
泊松分布
1命名原因
泊松分布实例
泊松分布(Poissondistribution),台译卜瓦松分布,是一种统计与概率学里常见到的离散机率分布(discreteprobabilitydistribution)。
泊松分布是以18~19世纪的法国数学家西莫恩·
德尼·
泊松(Simé
on-DenisPoisson)命名的,他在1838年时发表。
但是这个分布却在更早些时候由贝努里家族的一个人描述过。
就像当代科学史专家斯蒂芬·
施蒂格勒(StephenStigler)所说的误称定律(theLawofMisonomy),数学中根本没有以其发明者命名的东西。
2分布特点
泊松分布的概率函数为:
泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。
泊松分布的期望和方差均为
特征函数为
3关系
泊松分布与二项分布
当二项分布的n很大而p很小时,泊松分布可作为二项分布的近似,其中λ为np。
通常当n≧10,p≦0.1时,就可以用泊松公式近似得计算。
事实上,泊松分布正是由二项分布推导而来的,具体推导过程参见本词条相关部分。
4应用场景
在实际事例中,当一个随机事件,例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等,以固定的平均瞬时速率λ(或称密度)随机且独立地出现时,那么这个事件在单位时间(面积或体积)内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布P(λ)。
因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。
5应用示例
泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。
如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。
[1]
观察事物平均发生m次的条件下,实际发生x次的概率P(x)可用下式表示:
称为泊松分布。
例如采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组(~4×
106核苷酸对)平均产生3个嘧啶二体。
实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式:
……
是未产生二体的菌的存在概率,实际上其值的5%与采用0.05J/㎡照射时的大肠杆菌uvrA-株,recA-株(除去既不能修复又不能重组修复的二重突变)的生存率是一致的。
由于该菌株每个基因组有一个二体就是致死量,因此
就意味着全部死亡的概率。
[2]
指数分布的分布函数为:
数学期望E(X)=1/λ,方差为D(X)=1/λ2。
指数分布的分布函数图象如下图所示:
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- 排队 论及 应用