人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定文档格式.docx
- 文档编号:21860564
- 上传时间:2023-02-01
- 格式:DOCX
- 页数:18
- 大小:189.89KB
人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定文档格式.docx
《人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定文档格式.docx(18页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
图形语言
符号语言
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
两个平面垂直,则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗?
[提示] 不一定,只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
1.如图所示的二面角可记为( )
A.αβlB.MlN C.lMN D.lβα
B [根据二面角的记法规则可知B正确.]
2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面( )
A.有一个B.有两个
C.有无数个D.不存在
C [经过l的任一平面都和α垂直.]
3.如图所示,三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°
,则二面角BPAC的大小等于________.
90°
[∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AB,PA⊥AC,∴∠BAC为二面角BPAC的平面角,又∠BAC=90°
.所以所求二面角的大小为90°
.]
二面角的计算问题
【例1】 如图,已知三棱锥ABCD的各棱长均为2,求二面角ACDB的余弦值.
[解] 如图,取CD的中点M,连接AM,BM,则AM⊥CD,BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角.
设点H是△BCD的重心,
则AH⊥平面BCD,且点H在BM上.
在Rt△AMH中,AM=
×
2=
,
HM=
2×
=
,则cos∠AMB=
即二面角的余弦值为
.
1.求二面角的大小关键是作出平面角:
求二面角大小的步骤是:
(1)找出这个平面角;
(2)证明这个角是二面角的平面角;
(3)作出这个角所在的三角形,解这个三角形,求出角的大小.
2.确定二面角的平面角的方法:
(1)定义法:
在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:
过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
1.如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=
AD,求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小.
[证明] 因为AC⊥平面BCD,BD⊂平面BCD,
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,
所以BD⊥平面ACD.
因为AD⊂平面ACD,所以AD⊥BD,
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=
AD,所以∠ADC=30°
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示,在四面体ABCS中,已知∠BSC=90°
,∠BSA=∠CSA=60°
,又SA=SB=SC.
求证:
平面ABC⊥平面SBC.
[证明]
(1)法一:
(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°
,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,
连接AD,SD,则AD⊥BC,SD⊥BC,
所以∠ADS为二面角ABCS的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
所以SD=
a,BD=
a.
在Rt△ABD中,AD=
a,
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,
所以∠ADS=90°
,即二面角ABCS为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
法二:
(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°
所以SA=AB=AC,
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点,
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法:
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为线面垂直;
(3)性质法:
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
2.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:
平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC,设AC∩BD=O,连接OE.
因为O为AC中点,E为PA的中点,
所以EO是△PAC的中位线,
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCD.
线线、线面垂直的综合
[探究问题]
1.如图所示,如何作出二面角PABQ的平面角?
[提示] 过点P作平面ABQ的垂线,垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O,连OP,则∠POH即为二面角PABQ的平面角.
2.线面、面面垂直关系是如何转化的?
[提示] 欲证面面垂直,可转化为证明线面垂直,再转化为证明线线垂直即可.
【例3】 如图所示,已知正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.
(1)求证:
A1E⊥BD;
(2)当E恰为棱CC1的中点时,求证:
平面A1BD⊥平面EBD.
思路探究:
(1)欲证A1E⊥BD,只需证明BD垂直A1E所在平面即可;
(2)要证平面A1BD⊥平面EBD,只需求出二面角为直二面角即可,或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面.
[证明] 连接AC,设AC∩DB=O,
连接A1O,OE,
(1)因为AA1⊥底面ABCD,
所以BD⊥A1A,又BD⊥AC,A1A∩AC=A,
所以BD⊥平面ACEA1,
因为A1E⊂平面ACEA1,所以A1E⊥BD.
(2)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O,
因为BD⊥平面ACEA1,OE⊂平面ACEA1,
所以BD⊥OE,所以∠A1OE为二面角A1BDE的平面角.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,设棱长为2a,因为E为棱CC1的中点,由平面几何知识,得EO=
a,A1O=
a,A1E=3a,满足A1E2=A1O2+EO2,所以∠A1OE=90°
,即平面A1BD⊥平面EBD.
本例中,条件不变,试求二面角EBDC的正切值.
[解] 连接AC交BD于O,连接OE(图略).
由例题中
(2)知,BD⊥OE,BD⊥OC.
∴∠EOC为二面角EBDC的平面角.
设正方体棱长为a,则CE=
,OC=
在Rt△OCE中,tan∠EOC=
所以二面角EBDC的正切值为
线面、面面垂直的综合问题的解题策略:
(1)重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化,即证面面垂直转化为证线面垂直;
证线面垂直转化为证线线垂直.
(2)充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时,通常要先证出一个关键的线面垂直关系,由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系,因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用.
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”.
2.平面与平面垂直的判定定理的应用思路
(1)本质:
通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直,即线面垂直⇒面面垂直.
(2)证题思路:
处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题,进一步转化为处理线线垂直问题来解决.
1.直线l⊥平面α,l⊂平面β,则α与β的位置关系是( )
A.平行B.可能重合
C.相交且垂直D.相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理,得α与β垂直,故选C.]
2.从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是( )
A.互为余角B.相等
C.其和为周角D.互为补角
D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线,则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角,所以选D.]
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,二面角ABCA1的平面角等于________.
45°
[根据长方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面
角的平面角定义可知,∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°
.]
4.如图,棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形,B1C⊥A1B.
证明:
平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明] 因为BCC1B1是菱形,
所以B1C⊥BC1,又B1C⊥A1B,且BC1∩A1B=B,
所以B1C⊥平面A1BC1,
又B1C⊂平面AB1C,
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.
MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形,
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1,
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD=D,
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法:
(1)利用线线平行定义:
证共面且无公共点;
(2)利用三线平行公理:
证两线同时平行于第三条直线;
(3)利用线面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证线面平行;
(4)利用线面垂直的性质定理:
把证线线平行转化为证线面垂直;
(5)利用面面平行的性质定理:
把证线线平行转化为证面面平行.
1.如图,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足为A,EB⊥β,直线a⊂β,a⊥AB.求证:
a∥l.
[证明] 因为EA⊥α,α∩β=l,即l⊂α,所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB=E,所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β,a⊂β,所以EB⊥a,
又a⊥AB,EB∩AB=B,
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理,得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图,在三棱锥PABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.
BC⊥AB.
[证明] 如图,在平面PAB内,作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC,
且平面PAB∩平面PBC=PB,AD⊂平面PAB,
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC,∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC,
又∵PA∩AD=A,∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB,∴BC⊥AB.
1.证明或判定线面垂直的常用方法:
(1)线面垂直的判定定理;
(2)面面垂直的性质定理;
(3)若a∥b,a⊥α,则b⊥α(a、b为直线,α为平面);
(4)若a⊥α,α∥β,则a⊥β(a为直线,α,β为平面);
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直,方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
2.如图,四棱锥VABCD的底面是矩形,侧面VAB⊥底面ABCD,又VB⊥平面VAD.
平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵面VAB⊥面ABCD,且BC⊥AB,面VAB∩面ABCD=AB,BC⊂平面ABCD.
∴BC⊥面VAB,
又VA⊂平面VAB,∴BC⊥VA,
又VB⊥面VAD,∴VB⊥VA,
又VB∩BC=B,∴VA⊥面VBC,
∵VA⊂面VAC,∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系.
[提示] 垂直问题转化关系如下所示:
【例3】 如图所示,△ABC为正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点,求证:
(1)DE=DA;
(2)平面BDM⊥平面ECA;
(3)平面DEA⊥平面ECA.
(1)设出BD,分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE,即证DM为AE的中垂线即可.
(2)(3)只需证明DM⊥平面ECA即可.
[证明]
(1)设BD=a,如图,作DF∥BC交CE于F,
则CF=DB=a.因为CE⊥平面ABC,
所以BC⊥CF,DF⊥EC,
所以DE=
又因为DB⊥平面ABC,
所以DA=
所以DE=DA.
(2)取CA的中点N,连接MN,BN,则MN
CE
DB.
所以四边形MNBD为平行四边形,所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC,所以EC⊥BN,EC⊥MD.
又DE=DA,M为EA的中点,所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC,所以平面BDM⊥平面ECA.
(3)由
(2)知DM⊥平面AEC,而DM⊂平面DEA,
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变,试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小.
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N,连接AN,设BD=a,由例题知,CE=AC=BC=AB=2a,
在△CEN中,由
知B为CN中点,
∴CB=BN=2a.
∴△ABN中,∠ABN=120°
,∠BAN=∠BNA=30°
∴∠CAN=90°
,即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC,∴EC⊥NA,又CA∩CE=C,
∴NA⊥平面ACE,∴NA⊥AE,NA⊥AC,
且AN为平面ADE与平面ABC的交线.
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角,
在Rt△ACE中,AC=CE,∴∠CAE=45°
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°
垂直关系的互化及解题策略:
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题.
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系,提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系,体现了数学中的化归转化思想,其转化关系如下:
1.直线a与直线b垂直,直线b⊥平面α,则直线a与平面α的位置关系是( )
A.a⊥αB.a∥α
C.a⊂αD.a⊂α或a∥α
D [a⊥b,b⊥α,则a∥α或a⊂α.选D.]
2.已知l⊥平面α,直线m⊂平面β.有下面四个命题:
①α∥β⇒l⊥m;
②α⊥β⇒l∥m;
③l∥m⇒α⊥β;
④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是( )
A.①②B.③④
C.②④D.①③
D [∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β,∵m⊂β,∴l⊥m,故①正确;
∵l∥m,l⊥α,∴m⊥α,又∵m⊂β,∴α⊥β,故③正确.]
3.如图所示,三棱锥PABC中,平面ABC⊥平面PAB,PA=PB,AD=DB,则( )
A.PD⊂平面ABC
B.PD⊥平面ABC
C.PD与平面ABC相交但不垂直
D.PD∥平面ABC
B [∵PA=PB,AD=DB,∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB,平面ABC∩平面PAB=AB,∴PD⊥平面ABC.]
4.如图所示,在四棱锥SABCD中,底面ABCD是矩形,侧面SDC⊥底面ABCD,求证:
平面SCD⊥平面SBC.
[证明] 因为底面ABCD是矩形,所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD,
平面SDC∩平面ABCD=CD,BC⊂平面ABCD,
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC⊂平面SBC.
所以平面SCD⊥平面SBC.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定 人教 数学 必修 平面 垂直 判定