七年级数学幂的乘方与积的乘方3Word格式.docx

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310×

510=（3×

5）10=1510

3.球的体积与半径的倍数关系

（1）如果一个球的半径扩大n倍，则它的体积扩大n3倍.

（2）如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.

第五课时

●课题

§

1.4.1幂的乘方与积的乘方

（一）

●教学目标

（一）教学知识点

1.经历探索幂的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

2.了解幂的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

（二）能力训练要求

1.在探索幂的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.

2.学习幂的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.

（三）情感与价值观要求

在发展推理能力和有条理的表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

●教学重点

幂的乘方的运算性质及其应用.

●教学难点

幂的运算性质的灵活运用.

●教学方法

引导——探究相结合

教师由实际情景引导学生探究幂的乘方的运算性质，并能灵活运用.

●教具准备

投影片三张

第一张：

做一做，记作（§

1.4.1A）

第二张：

例题，记作（§

1.4.1B）

第三张：

练习，记作（§

1.4.1C）

●教学过程

Ⅰ.提出问题，引入新课

［师］我们先来看一个问题：

一个正方体的边长是102毫米，你能计算出它的体积吗？

如果将这个正方体的边长扩大为原来的10倍，则这个正方体的体积是原来的多少倍？

［生］正方体的体积等于边长的立方.所以边长为102毫米的正方体的体积V=（102）3立方毫米；

如果边长扩大为原来的10倍，即边长变为102×

10毫米即103毫米，此时正方体的体积变为V1=（103）3立方毫米.

［师］（102）3，（103）3很显然不是最简，你能利用幂的意义，得出最后的结果吗？

大家可以独立思考.

［生］可以.根据幂的意义可知（102）3表示三个102相乘，于是就有（102）3=102×

102×

102=102+2+2=106；

同样根据幂的意义可知（103）3=103×

103×

103=103+3+3=109.于是我们就求出了V=106立方毫米，V1=109立方毫米.

我们还可以计算出当这个正方形边长扩大为原来的10倍时，体积就变为原来的1000倍即103倍.

［生］也就是说体积扩大的倍数，远大于边长扩大的倍数.

［师］是的！

我们再来看（102）3，（103）3这样的运算.102，103是幂的形式，因此我们把这样的运算叫做幂的乘方.这节课我们就来研究幂的第二个运算性质——幂的乘方.

Ⅱ.探索幂的乘方的运算性质

出示投影片（§

做一做：

计算下列各式并说明理由.

（1）（62）4；

（2）（a2）3;

（3）（am）2;

（4）（am）n.

［师］我们观察不难发现，上面的4个小题都是幂的乘方的运算，下面就请同学们利用幂的意义和我们学习过的内容解答它们.

［生］

（1）（62）4

62·

62

62+2+2+2=68.

［师］第①步和第②步推出的理由是什么呢？

［生］第①步的理由是利用了幂的意义.（62）4表示4个62相乘；

第②步的理由是利用了我们刚学过的同底数幂的乘法：

底数不变，指数相加.

［师］观察上面的运算过程，底数和指数发生了怎样的变化？

［生］结果的指数8=2×

4，刚好是原式子中两个指数的积，而运算前后的底数没变，还是6.

［师］接下来的

（2）、（3）、（4）小题是不是可以同样地利用幂的意义和同底数幂的乘法的性质来推出结果呢？

［生］可以！

［师］下面我们就请三位同学到黑板上推出，其余的同学观察他们做的有无错误.

［生］

（2）（a2）3=a2·

a2·

a2=a2+2+2=a6=a2×

3;

（3）（am）2=am·

am=am+m=a2m;

（4）（am）n=

=

=amn.

［师生共析］由上面的“做一做”我们就推出了幂的乘方的运算性质，即

（am）n=amn（m,n都是正整数）

用语言表述即为：

在幂的乘方的运算中，指数的运算也降了一级.

Ⅲ.例题

［例1］计算：

（1）（102）3；

（2）（b5）5;

（3）（an）3;

（4）－（x2）m;

（5）（y2）3·

y;

（6）2（a2）6－（a3）4.

［例2］如果甲球的半径是乙球的n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.

地球、木星、太阳可以近似地看做是球体.木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的多少倍？

图1－14

［师］我们首先看例1的

（1）、

（2）、（3）题，可以发现它们都是幂的乘方的运算.我们开始练习幂的乘方的运算性质，不要着急直接套入公式（am）n=amn中，而应进一步体会乘方的意义和幂的意义.我们只要明白了算理，熟悉后就可直接代入，下面就请几个同学回答.

［生］

（1）（102）3=102·

102·

102=102+2+2=102×

3=106；

（2）（b5）5=b5·

b5·

b5=b5+5+5+5+5=b5×

5=b25;

（3）（an）3=an·

an=an+n+n=a3n.

［师］很好！

下面我们再来试做例1中（4）、（5）、（6）题.

［生］（4）－（x2）m表示（x2）m的相反数，所以－（x2）m=－

=－

=－x2m;

y中既含有乘方运算，也含有乘法运算，按运算顺序，应先乘方，再做乘法，所以，（y2）3·

y=（y2·

y2·

y2）·

y=y2×

3·

y=y6·

y=y6+1=y7;

（6）2（a2）6－（a3）4按运算顺序应先算乘方，最后再化简.所以

2（a2）6－（a3）4=2a2×

6－a3×

4=2a12－a12=a12.

［师］接下来，我们再来看幂的乘方在实际中的应用——例2.

［生］根据例2中的前提条件，可得

木星的体积是地球体积的103倍；

太阳的体积是地球体积的（102）3倍即106倍.

我们观察例2图中的木星、太阳、地球的体积不难发现这个图直观地表现了体积扩大的倍数与半径扩大的倍数之间的关系.比较木星、太阳、地球三个球体的大小，可知体积扩大的倍数比半径扩大的倍数大得多.

Ⅳ.练一练

1.计算：

（1）（103）3；

（2）－（a2）5;

（3）（x3）4·

x2;

（4）［（－x）2］3;

（5）（－a）2（a2）2;

（6）x·

x4－x2·

x3.

2.判断下面计算是否正确？

如有错误请改正：

（1）（x3）3=x6;

（2）a6·

a4=a24.

［师］我们首先来回顾一下（am）n=amn（m、n都是正整数）是怎样推出来的.

［生］（am）n表示n个am相乘，根据乘方的意义（am）n=

，再根据同底数幂的乘法的运算性质，可由

［师］我们能够很好地体会和理解了幂的意义和同底数幂乘法的运算性质，接下来我们就来完成“练一练”.

［生］1.解：

（1）（103）3=103×

3=109；

（2）－（a2）5=－a2×

5=－a10;

x2=x3×

4·

x2=x12·

x2=x12+2=x14;

（4）［（－x）2］3=（－x）2×

3=（－x）6=x6;

（5）（－a）2·

（a2）2=a2·

a2×

2=a2·

a4=a2+4=a6;

x3=x1+4－x2+3=x5－x5=0.

［师］2.

（1）（x3）3=x6不正确，因为（x3）3表示三个x3相乘即x3·

x3·

x3=x3+3+3=x3×

3=x9.或直接根据幂的乘方的运算性质：

底数不变，指数相乘，得（x3）3=x3×

3=x9.

a4=a24不正确.因为a6·

a4=（a·

a·

a）（a·

a）=

=a10或根据同底数幂乘法的运算性质：

底数不变，指数相加，得a6·

a4=a6+4=a10.

［师］我们学习了幂的乘方的运算性质很容易与同底数幂的乘法的运算性质混淆.通过练习的第2题，同学们可反思一下做题的过程，注意幂的意义和乘方的意义，真正地去理解这两个幂的运算性质，而不是去单纯的记忆.

Ⅴ.课时小结

我们这节课通过乘方的意义和幂的意义推出了幂的乘方的运算性质，并通过实际问题体会到了学习这个性质的必要性，从而提高了我们的推理能力，有条理的语言表达能力和解决实际问题的能力.

Ⅵ.课后作业

1.课本P16，习题1.5的第1、2、3题.

2.反思做题过程，自己对出现的错误加以改正，并写入成长记录中.

Ⅶ.活动与探究

观察下列等式：

1×

2=

×

2×

3，

2+2×

3=

3×

4，

3+3×

4=

4×

5，

4+4×

5=

5×

6，

……

根据以上规律，请你猜测：

5+…+n（n+1）=（n为自然数）.

［过程］解这一类题目，要用到归纳推理，它是一种很重要的数学思想方法.数学史上许多重要的发现，如哥德巴赫猜想，四色猜想等，就是由数学家的探索、总结、猜想而得.猜想的结论是否正确，必须经过严格的证明，才能辨明是非，通过观察比较，本题的规律较为明显.

结论：

4+…+n（n+1）=

n（n+1）（n+2）

关于它的证明在以后学习了数学归纳法后一目了然.

●板书设计

一、提出问题：

（102）3，（103）3如何计算？

二、根据乘方的意义和幂的意义，推出幂的乘方的运算性质

（102）3=102·

（103）3=103·

103·

103=103+3+3=103×

（62）4=62·

62=62+2+2+2=62×

4=68；

（am）n=

=amn

得出：

三、例题

四、练习

●备课资料

一、参考练习

1.填空题

（1）化简：

［（－x）2］3=.

（2）化简：

（x2）4·

x=.

（3）x10=x·

（）3=（）2.

（4）若an=3,则a3n=.

（5）在255,344,433,522这四个幂中，数值最大的一个是.

2.选择题

（1）等式－an=（－a）n（a≠0）成立的条件是（）

A.n是奇数B.n是偶数

C.n是正整数D.n是整数

（2）下列计算中，正确的有（）

①x3·

x3=2x3;

②x3+x3=x3+3=x6;

③（x3）3=x3+3=x6;

④［（－x）3］2=（－x）32=（－x）9.

A.0个B.1个C.2个D.4个

（3）若644×

83=2n,则n的值是（）

A.11B.18C.30D.33

3.计算

（1）（－1）5·

［（－3）2］2

（2）－（－a）2·

（a2）3·

（－a）

（3）［（x2）3·

（－x）3］2

（4）（x2）3+［（－x）3］2

4.解答

若2a=3,2b=6,2c=12,求证：

2b=a+c.

答案：

1.

（1）x6

（2）x9（3）x3,x5

（4）27（5）344

2.

（1）A

（2）A（3）D

3.

（1）－34（或－81）

（2）a9（3）x18

（4）2x6

4.（略）

第六课时

1.4.2幂的乘方与积的乘方

（二）

1.经历探索积的乘方的运算性质的过程，进一步体会幂的意义.

2.了解积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.

1.在探索积的乘方的运算性质的过程中，发展推理能力和有条理的表达能力.

2.学习积的乘方的运算性质，提高解决问题的能力.

在发展推理能力和有条理的语言和符号表达能力的同时，进一步体会学习数学的兴趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美.

积的乘方运算性质及其应用.

幂的运算性质的灵活应用.

探索——交流法

教师引导学生通过特例探索积的乘方的运算，在学生各自说明理由的过程中充分交流做法，从而掌握积的乘方的运算性质.

投影片四张

议一议，记作（§

1.4.2A）

1.4.2B）

讲一讲，记作（§

1.4.2C）

第四张：

练一练，记作（§

1.4.2D）

［师］我们先来看几个数学问题

1.4.2A）——议一议

1.

（1）23×

53等于什么？

与同伴交流你的想法和做法.

（2）28×

58，212×

512，213×

（

）13分别等于什么？

（3）从上面的计算中，你发现了什么规律？

再换一个例子试一试.

2.一个正方体的棱长是2×

102毫米.

（1）它的表面积是多少平方毫米？

（2）它的体积是多少立方毫米？

同学们可试着自己探索解题过程，然后互相讨论，在各自说明理由的基础上充分交流做法.

［生］1.

（1）23×

53

=（2×

2）×

（5×

5）——幂的意义

=8×

125——按运算顺序先算括号里的式子

=1000

5）×

（2×

5）——乘法交换律、结合律

=10×

10×

10——按运算顺序先算括号里的式子

=103=1000——乘方的意义

［生］1.

（2）28×

58

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

=108——乘方的意义

212×

512

——乘法结合律、交换律

=1012——乘方的意义

213×

）13

=113=1

［师］同学们幂的意义、乘方的意义及乘法交换律和结合律运用的非常精巧.在上面的计算中你有没有发现规律呢？

你能用一个式子表示吗？

［生］可以.从上面的计算中可发现一个规律，用符号表示为an·

bn=（ab）n.

［师］能用幂的意义和乘法的有关运算律验证吗？

［生］an·

bn

·

=（a·

b）n——乘方的意义

［师］我们从特例和一般情况都验证了结论an·

bn=（a·

b）n.我们再来看第2个问题.

［生］2.

（1）正方体的表面积S=6×

102）2平方毫米；

（2）正方体的体积V=（2×

102）3（立方毫米）.

［生］S和V的值不是最简，还需进一步化简.

的确如此.我们可以注意到，要化简S和V的值，就需求出（2×

102）2和（2×

102）3的值.在（2×

102）3，2×

102是底数，它是两个因数2与102的积的形式，因此（2×

102）3是积的乘方的形式，这一节课我们就来学习幂的第三个运算性质——积的乘方.

Ⅱ.做一做——探索积的乘方的运算性质

出示投影片——做一做（§

（1）（3×

5）7=3（）·

5（）;

（2）（3×

5）m=3（）·

（3）（ab）n=a（）·

b（）.

你能说出得出结论的理由吗？

你能运用自己的语言描述你发现的规律吗？

［生］

（1）（3×

5）7——积的乘方

——幂的意义

——乘法交换律、结合律

=37×

57——乘方的意义

5）m

=3m·

5m——乘方的意义

（3）（ab）n

——乘法运算律

=anbn——乘方的意义

由

（1）、

（2）、（3）我们化简，得出

5）7=37×

57；

5）m=3m×

5m;

（3）（ab）m=ambm.

由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质：

积的乘方等于把每一个因式分别乘方的积.

［师］在“议一议”中的第2个问题，你能试着解决吗？

［生］正方体的表面积S=6×

102）2=6×

［22×

（102）2］=6×

［4×

104］=24×

104=2.4×

105（平方毫米）

正方体的体积V=（2×

102）3=（2×

102）×

102）=（2×

（102×

102）=23×

（102）3=8×

106（立方毫米）

［师］同学们能用幂的意义和我们刚学过的幂的运算性质有条有理地将新的问题解决.很了不起！

我们再来一起回顾一下积的乘方这一运算性质得来过程.

［生］（ab）n表示积的乘方，a,b是因式或因数，它可以是数，也可以是字母，或单项式，或多项式，根据幂的意义和乘法运算律，就可得出

（ab）n=

=an·

用语言描述就为积的乘方等于每个因式分别乘方的积.

Ⅲ.讲一讲，熟悉积的乘方的运算性质

（1）（3x）3;

（2）（－2b）5;

（3）（－2xy）4;

（4）（3a2）n.

［例2］地球可以近似地看作球体，如果用V、r分别代表球的体积和半径，那么V=

πr3.地球的半径约为6×

103千米，它的体积大约是多少立方千米？

你能计算出太阳的体积大约是多少立方千米吗？

分析：

应用积的乘方的运算性质进行计算、化简，得首先看积中含有哪些因数或因式.同时要明白算理，开始练习积的运算，可以不直接套用，多写几步，等熟悉后可直接套用.

1.解：

（1）（3x）3=（3x）（3x）（3x）=（3×

3）（x·

x·

x）=27x3或（3x）3=33·

x3=27x3;

（2）（－2b）5=（－2b）（－2b）（－2b）·

（－2b）（－2b）

=（－2）（－2）（－2）（－2）（－2）（b·

b·

b）=（－2）5·

b5=－32b5

或（－2b）5=（－2）5b5=－32b5;

（3）（－2xy）4=（－2xy）（－2xy）·

（－2xy）·

（－2xy）

=（－2）（－2）（－2）（－2）（x·

x）（y·

y·

y）

=（－2）4x4y4

=16x4y4

或（－2xy）4=（－2x）4·

y4

=（－2）4x4y4=16x4y4;

（4）（3a2）n=3n（a2）n=3na2n.

2.解：

（1）V=

πr3

π×

（6×

103）3

63×

（103）3

≈9.05×

1011（千米3）

所以地球的体积约为9.05×

1011千米3.

（2）已知太阳的体积约为地球体积的（102）3=106倍，由

（1）可求出太阳的体积为

（9.05×

1011）×

106=9.05×

1011×

1017（千米3）

所以太阳的体积约为9.05×

1017千米3.

［师］由例1我们可以猜想可以把（ab）n=anbn推广呢？

即（abc）n=anbncn吗？

大家可以亲自推理一下.

［生］（abc）n=

=anbncn

［生］（abc）n=（ab）ncn=anbncn

［师］大家再来看例1中（3）小题.我们将（ab）n=anbn推广后，得到了（abc）n=anbncn.所以（3）小题也可为：

（－2xy）4=（－2）4x4y4=16x4y4.

Ⅳ.练一练——灵活运用积的乘方的运算性质

（1）（－3n）3;

（2）（5xy）3;

（3）－a3+（－4a）2a.

2.判断题

（1）（ab）4=ab4（）

（2）（3ab2）2=3a2b4（）

（3）（－x2yz）2=－x4y2z2（）

（4）（

xy2）2=

x2y4（）

（5）（－

a2bc3）2=

a4b2c6（）

（6）（－

）5（

）5=（－

）5=－1（）

3.不用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？

22×

52，24×

32×

（由学生板演或口答）

（1）（－3n）3=（－3）3·

n3=－27n3;

（2）（5xy）3=53x3y3=125x3y3;

（3）－a3+（－4a）2a

=－a3+（－4）2a2a

=－a3+16a3=15a3.

2.

（1）×

积的乘方的运算性质是每个因式分别乘方的积，即（ab）4=a4b4;

（2）×

应为（3ab2）2=32a2（b2）2=9a2b4;

（3）×

应为（－x2yz）2=（－1）2（x2）2y2z2=x4y2z2;

（4）×

应为（

xy2）2=（

）2x2（y2）2=

x2y4;

（5）√（6）√

3.解：

52

=（22×

52）×

3——乘法交换律、结合律

5）2×

3——积的乘方运算性质逆用

=3×

102=300；

24×

=（23×

53——同底数幂乘法逆用

53）×

32）——乘法运算律

5）3×

9——积的乘方运算性质逆用

=18000.

［师］下面我们对这一节课的内容谈一下新的体会和收获.