专题15 从函数的观点看一元二次方程与一元二次不等式原卷版文档格式.docx
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a}
(x-b)<
{x|a<
x<
∅
{x|b<
4.分式不等式与整式不等式
(1)f(x)>
0(<
0)⇔f(x)·
g(x)>
0).
g(x)
(2)f(x)≥0(≤0)⇔f(x)·
g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.g(x)
【微点提醒】
1.绝对值不等式|x|>
a(a>
0)的解集为(-∞,-a)∪(a,+∞);
|x|<
0)的解集为(-a,a).
记忆口诀:
大于号取两边,小于号取中间.
2.解不等式ax2+bx+c>
0)时不要忘记当a=0时的情形.
3.不等式ax2+bx+c>
0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2+bx+c>
0对任意实数x恒成立⇔a=b=0,或a>
0,
c>
0Δ<
0.
(2)不等式ax2+bx+c<
0对任意实数x恒成立⇔a=b=0,或a<
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
c<
Δ<
(1)若不等式ax2+bx+c>
0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()
(2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.()
(3)不等式x2≤a的解集为[-a,a].()
(4)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<
0)的解集为R.()
【教材衍化】
|1x-1≤0
2.(必修5P103A2改编)已知集合A=x2
A.(-2,3)
,B={x|x2-x-6<
0},则A∩B=()
B.(-2,2)
C.(-2,2]D.[-2,2]
3.(必修5P80A2改编)y=log2(3x2-2x-2)的定义域是.
【真题体验】
4.(2018·
烟台月考)
1-x
不等式≥0的解集为()2+x
A.[-2,1]B.(-2,1]
C.(-∞,-2)∪(1,+∞)D.(-∞,-2]∪(1,+∞)
5.(2019·
北京海淀区调研)设一元二次不等式ax2+bx+1>
0的解集为{x|-1<
2},则ab的值为()
A.1B.-1
4
C.4D.-1
2
6.(2018·
汉中调研)已知函数f(x)=ax2+ax-1,若对任意实数x,恒有f(x)≤0,则实数a的取值范围是.
【考点聚焦】
考点一一元二次不等式的解法角度1不含参数的不等式
【例1-1】求不等式-2x2+x+3<
0的解集.
角度2含参数的不等式
命题点1通过判别式分类讨论
【例1-2】解关于x的不等式kx2-2x+k<
0(k∈R).
命题点2通过根的大小分类讨论
【例1-3】解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R).
【规律方法】1.解一元二次不等式的一般方法和步骤
(1)化:
把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.
(2)判:
计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式解集为R或∅).(3)求:
求出对应的一元二次方程的根.
(4)写:
利用“大于零取两边,小于零取中间”写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论:
(1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数进行讨论;
若不易分解因式,则可对判别式进行分类讨论;
(2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式;
(3)其次对相应方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
【训练1】(2018·
豫北豫南名校联考)不等式x2-3|x|+2>
0的解集是.
考点二一元二次方程与一元二次不等式
【例2】已知不等式ax2-bx-1>
0的解集是{x|-1<
-1,则不等式x2-bx-a≥0的解集是.
23
【规律方法】1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【训练2】(2019·
天津和平区一模)关于x的不等式ax-b<
0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x
-3)>
0的解集是()
A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(1,3)
C.(-1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)
考点三一元二次不等式恒成立问题角度1在实数R上恒成立
【例3-1】(2018·
大庆实验中学期中)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<
0恒成立,则实数a
的取值范围是()
A.(-∞,2)B.(-∞,2]
C.(-2,2)D.(-2,2]
角度2在给定区间上恒成立
【例3-2】(一题多解)设函数f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,则m的取值范围是.
角度3给定参数范围的恒成立问题
【例3-3】已知a∈[-1,1]时不等式x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则x的取值范围为()A.(-∞,2)∪(3,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)
C.(-∞,1)∪(3,+∞)D.(1,3)
【规律方法】1.对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方,恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁
就是参数.
【训练3】(2019·
安庆模拟)若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈
0,1
2恒成立,则a的最小值是()
A.0B.-2C.52
D.-3
考点四一元二次不等式的应用
【例4】甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得利润100元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:
甲厂应该选取何种生产速度?
并求最大利润.
【规律方法】求解不等式应用题的四个步骤
(1)阅读理解,认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系.
(2)引进数学符号,将文字信息转化为符号语言,用不等式表示不等关系,建立相应的数学模型.(3)解不等式,得出数学结论,要注意数学模型中自变量的实际意义.
(4)回归实际问题,将数学结论还原为实际问题的结果.
5x+1-3
x
【训练4】已知产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2,x∈(0,240).
若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()
A.100台B.120台
C.150台D.180台
【反思与感悟】
1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础;
一般可把a<0的情况转化为a>0时的情形.
2.在解决不等式ax2+bx+c>
0(或≥0)对于一切x∈R恒成立问题时,当二次项系数含有字母时,需要对二次项系数a进行讨论,并研究当a=0时是否满足题意.
3.含参数的一元二次不等式在某区间内恒成立问题,常有两种处理方法:
一是利用二次函数在区间上的最值来处理;
二是先分离出参数,再去求函数的最值来处理,一般后者比较简单.
【易错防范】
1.当Δ<
0时,ax2+bx+c>
0(a≠0)的解集为R还是∅,要注意区别.
2.含参数的不等式要注意选好分类标准,避免盲目讨论.
【分层训练】
【基础巩固题组】
(建议用时:
40分钟)一、选择题
1.(2018·
合肥调研)已知集合A={y|y=ex,x∈R},B={x∈R|x2-x-6≤0},则A∩B等于()A.(0,2)B.(0,3]
C.[-2,3]D.[2,3]
2.不等式x+5≥2的解集是()
(x-1)2
-3,1
A.2B.
C.∪(1,3]D.
-1,32
-1,12
∪(1,3]
3.不等式|x|(1-2x)>
0的解集为()
A.(-∞,0)∪1,+∞
C.2
-∞,1
B.2
D.
4.已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数x都有f(1-x)=f(1+x)成立,当x∈[-1,
1]时,f(x)>
0恒成立,则b的取值范围是()A.(-1,0)B.(2,+∞)
C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.不能确定
淄博月考)已知二次函数f(x)=ax2-(a+2)x+1(a∈Z),且函数f(x)在(-2,-1)上恰有一个零点,则不等式f(x)>
1的解集是()
A.(-∞,-1)∪(0,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0)D.(0,1)
二、填空题
6.不等式2x2-x<
4的解集为.
7.已知不等式mx2+nx-1<
0的解集为{x|x<
-1或x>
2},则m-n=.
m2
8.(2019·
河南中原名校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x>
0时,f(x)=x2-2x,则不等式f(x)>
x的解集用区间表示为.
三、解答题
9.某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量
就增加8x成.要求售价不能低于成本价.
5
(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域;
(2)若再要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值范围.
10.解下列不等式:
(1)0<
x2-x-2≤4;
(2)12x2-ax>
a2(a∈R).
【能力提升题组】
20分钟)
x,x≤0,
11.已知函数f(x)=
若f(2-x2)>
f(x),则实数x的取值范围是()ln(x+1),x>
A.(-∞,-1)∪(2,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,+∞)
C.(-1,2)D.(-2,1)
12.(2019·
保定一中调研)已知定义在R上的奇函数f(x)满足:
当x≥0时,f(x)=x3,若不等式f(-4t)>
f(2m+mt2)
对任意实数t恒成立,则实数m的取值范围是()A.(-∞,-2)B.(-2,0)
C.(-∞,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
13.设a<
0,若不等式-cos2x+(a-1)cosx+a2≥0对于任意的x∈R恒成立,则a的取值范围是.
14.(2019·
济南一中质检)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ex.若对任意x∈[a,a+1],恒有f(x+a)≥f(2x)成立,求实数a的取值范围.
【新高考创新预测】
15.(试题创新)若实数a,b,c满足对任意实数x,y有3x+4y-5≤ax+by+c≤3x+4y+5,则()A.a+b-c的最小值为2
B.a-b+c的最小值为-4
C.a+b-c的最大值为4
D.a-b+c的最大值为6
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