导数及其应用高考题精选含答案知识讲解.docx
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导数及其应用高考题精选含答案知识讲解
导数及其应用高考题精选
1.(2010·海南高考·理科T3)曲线在点处的切线方程为()
(A)(B)(C)(D)
【命题立意】本题主要考查导数的几何意义,以及熟练运用导数的运算法则进行求解.
【思路点拨】先求出导函数,解出斜率,然后根据点斜式求出切线方程.
【规范解答】选A.因为,所以,在点处的切线斜率,所以,切线方程为,即,故选A.
2.(2010·山东高考文科·T8)已知某生产厂家的年利润(单位:
万元)与年产量(单位:
万件)的函数关系式为,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为()
(A)13万件(B)11万件
(C)9万件(D)7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题,考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
【规范解答】选C,,令得或(舍去),当时;当时,故当时函数有极大值,也是最大值,故选C.
3.(2010·山东高考理科·T7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为()
(A)(B)(C)(D)
【命题立意】本题考查定积分的基础知识,由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=,y=的交点坐标,再利用定积分求面积.
【规范解答】选A,由题意得:
曲线y=,y=的交点坐标为(0,0),(1,1),故所求封闭图形的面积为,故选A.
4.(2010·辽宁高考理科·T10)已知点P在曲线y=上,为曲线在点P处的切线的倾斜角,则的取值范围是()
(A)[0,)(B)(D)
【命题立意】本题考查了导数的几何意义,考查了基本等式,函数的值域,直线的倾斜角与斜率。
【思路点拨】先求导数的值域,即tan的范围,再根据正切函数的性质求的范围。
【规范解答】选D.
5.(2010·湖南高考理科·T4)等于()
A、B、C、D、
【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
【思路点拨】记住的原函数.
【规范解答】选D.=(lnx+c)|42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.(2010·江苏高考·T8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak+1,,若a1=16,则a1+a3+a5的值是________
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容。
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率,然后求得切线方程,再由,即可求得切线与x轴交点的横坐标。
【规范解答】由y=x2(x>0)得,,
所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为:
当时,解得,
所以.
【答案】21
7.(2010·江苏高考·T14)将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记,则S的最小值是________。
【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用,以及等价转化思想。
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为,然后用分别表示梯形的周长和面积,从而将S用x表示,利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为,
则:
方法一:
利用导数的方法求最小值。
,
,
当时,递减;当时,递增;
故当时,S的最小值是。
方法二:
利用函数的方法求最小值
令,则:
故当时,S的最小值是。
【答案】
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一,高考不但在填空题中考查,还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。
高中阶段,常见的求函数的最值的常用方法有:
换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法。
8.(2010·陕西高考理科·T13)从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x,y),则点M取自阴影部分的概率为;
【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算,属送分题。
【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可
【规范解答】阴影部分的面积为所以点M取自阴影部分的概率为
答案:
9.(2010·海南高考·理科T13)设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数,且恒有0≤f(x)≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分,先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机数,…,和,…,,由此得到N个点(i=1,2,…,N),在数出其中满足≤((i=1,2,…,N))的点数,那么由随机模拟方法可得积分的近似值为.
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.
【思路点拨】由随机模拟想到几何概型,然后结合定积分的几何意义进行求解.
【规范解答】由题意可知,所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,而满足≤的点落在y=f(x)、以及、围成的区域内,由几何概型的计算公式可知的近似值为.
答案:
10.(2010·北京高考理科·T18)已知函数()=In(1+)-+,(≥0)。
(Ⅰ)当=2时,求曲线=()在点(1,
(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求()的单调区间。
【命题立意】本题考查了导数的应用,考查利用导数求切线方程及单调区间。
解决本题时一个易错点是忽视定义域。
【思路点拨】
(1)求出,再代入点斜式方程即可得到切线方程;
(2)由讨论的正负,从而确定单调区间。
【规范解答】(I)当时,,
由于,,
所以曲线在点处的切线方程为
即
(II),.
当时,.
所以,在区间上,;在区间上,.
故的单调递增区间是,单调递减区间是.
当时,由,得,
所以,在区间和上,;在区间上,
故的单调递增区间是和,单调递减区间是.
当时,
故的单调递增区间是.
当时,,得,.
所以在区间和上,;在区间上,
故得单调递增区间是和,单调递减区间是
【方法技巧】
(1)过的切线方程为。
(2)求单调区间时要在定义域内讨论内的正负。
11.(2010·安徽高考文科·T20)设函数,,求函数的单调区间与极值。
【命题立意】
本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性与极值的方法,考查考生运算能
力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
对函数求导,分析导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值。
【规范解答】
+
-
0
+
极大值
极小值
【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法,
简单易行,具体操作流程如下:
(1)求导数;
(2)求方程的全部实根;
(3)列表,检查在方程的根左、右的值的符号;
(4)判断单调区间和极值。
12.(2010·北京高考文科·T18)设定函数,,且方程的两个根分别为1,4。
(Ⅰ)当a=3且曲线过原点时,求的解析式;
(Ⅱ)若在无极值点,求a的取值范围。
【命题立意】本题考查了导数的求法,函数的极值,二次函数等知识。
【思路点拨】
(1)由的两个根及过原点,列出三个方程可解出;
(2)是开口向上的二次函数,无极值点,则恒成立。
【规范解答】由得
因为的两个根分别为1,4,所以(*)
(Ⅰ)当时,(*)式为
解得
又因为曲线过原点,所以
故
(Ⅱ)由于a>0,所以“在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“在(-∞,+∞)内恒成立”。
由(*)式得。
又
解得
即的取值范围
【方法技巧】
(1)当在的左侧为正,右侧为负时,为极大值点;当在的左侧为负,右侧为正时,为极小值点
(2)二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。
恒大于0,则;恒小于0,则;
13.(2010·安徽高考理科·T17)设为实数,函数。
(1)求的单调区间与极值;
(2)求证:
当且时,。
【命题立意】本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式,考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。
【思路点拨】
(1)先分析的导数的符号情况,从而确定的单调区间和极值;
(2)设,把问题转化为:
求证:
当且时,。
【规范解答】
(1),
令,得,
极小值
在上单调递减,在上单调递增;
当时,取得极小值为
(2)设,
由
(1)问可知,恒成立,
当时,则0恒成立,所以在上单调递增,
所以当时,,
即当且时,。
【方法技巧】
1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,简单易行;
2、证明函数不等式问题,如证,通常令,转化为证明:
。
14.(2010·天津高考文科·T20)已知函数f(x)=,其中a>0.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若在区间上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。
【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。
【规范解答】
(Ⅰ)当a=1时,f(x)=,f
(2)=3;f’(x)=,f’
(2)=6.所以曲线y=f(x)在点(2,f
(2))处的切线方程为y-3=6(x-2),即y=6x-9.
(Ⅱ)f’(x)=.令f’(x)=0,解得x=0或x=.
以下分两种情况讨论:
若,当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表:
X
0
f’(x)
+
0
-
f(x)
极大值
当等价于
解不等式组得-5 若a>2,则.当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表: X 0 f’(x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 当时,f(x)>0等价于即 解不等式组得或.因此2 综合 (1)和
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- 导数 及其 应用 考题 精选 答案 知识 讲解