数学建模中的回归分析法毕业论文Word文档格式.docx

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线性回归模型；

非线性回归模型

Abstract

Inreallife,thecomplexityoftheinternallawofthingsandawarenessofthelimits,peoplecollectedalargeamountofdataandbasedonthestatisticalanalysisofdatatosetupmechanismmodel,andthenthroughthecalculatedmodelresultstoexplainthepracticalproblems.Regressionanalysisiscommonlyusedinmathematicalmodelistheeffectivemethodtosolvetheproblem.Itisthestudyofonevariableonothervariablesdependonthespecificcalculationmethod.Themaincontentfromasetofsampledata,determinethemathematicalrelationshipbetweenthevariablesoftherelationbetweenthecredibledegreeofvariousstatisticaltests,andfromtheinfluenceofaparticularvariablevariablestofindouttheinfluenceofwhichvariablessignificantly,whichwasnotsignificant.Theuseofpetitions,accordingtothevalueofoneorseveralvariablestopredictorcontroltheotherofaparticularvariablevalues,andgivetheaccuratepredictorcontrol.Thispaperintroducestheconceptofthelinearregressionmodelandnonlinearregressionmodel,basicprincipleandapplicationsteps,andfinallythroughtheinstanceanalysisisintroducedfromdatasetup,testingprocedureandmodeloftheregressionmodelresultsinthepracticalsignificanceofthespecificeachsymbol.Theresultsshowthattheregressionanalysisisagoodwaytoforecastanalysis.

Keyword:

RegressionAnalysis;

LinearRegressionModel;

NonlinearRegressionModel

中文摘要I

英文摘要n

目录m

1■引言•

2.回归模型的建立2

2.1回归分析模型一般形式3

2.2多元线形回归的模型3

2.2.1多元线形回归的模型3

2.2.2多元线形回归的假设3

2.2.3多元线形回归的求解3

2.2.4多元线形回归的检验4

2.3曲线回归模型5

2.3.1可化成线形回归的曲线回归5

2.3.2不可转化的非线性回归模型6

3.回归分析模型的实际应用6

致谢•I

参考文献彳2

1.引言

当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研

究、了解对象信息、做出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符

号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验⑴

1983年，数学建模作为一门独立的课程进入我国高等学校,20多年来,数学建模工作发展的非常快，许多高校相继开设了数学建模课程，我国1992年国家教委高教司提出在全国普通高等学校开展数学建模竞赛，旨在I培养学生解决实际问题的能力和创新精神，全面提高学生的综合素质II.近年来，数学模型和数学建模这两个术语使用的频率越来越高，而数学模型和数学建模也被广泛地应用于其他学科和社会的各个领域.

在数学建模中常用的方法有很多种，本文主要介绍最常用的有效方法一一回归分析法•回归分析方法是统计分析的重要组成部分，回归分析的主要内容，一是从一组数据出发，确定这些变量间的回归模型；

二是对模型的可信度进行统计检验；

三是从有关的许多变量中，判断变量的显著性（即哪些是显著的，哪些不是，显著的保留，不显著的忽略）;

四是应用结果是对实际问题作出的判断•根据回归模型中回归的特征，常见的回归模型有：

一元线性回归模型、多元线性回归模型、非线性回归模型•

近年来国内外学者应用回归分析法解决了实际中一系列问题•周新宇，孙凡

雷在《因素回归分析法在不良债权价值分析中的应用》中对小金额债权采用相关

因素回归分析法进行价值分析可以较好地解决金额小且户数众多的资产价值分析.马瑞民，姚立飞在《回归分析在数学建模中的应用--基于上海世博会参观人数的预测分析模型》中对参加世博会参观人数进行预测，与实际相差很小•澳大利亚学者SalinaHishama,CheRozidMamat等人在《马来西亚华人脚部身高测量人体形态学的回归分析》中给出利用人脚的尺寸预测身高的回归模型⑵.

为了更好的指导回归分析在实际中的应用，本文主要讨论回归分析法的分

类和各种建模及其应用

2.回归模型的建立

2.1回归分析问题的一般形式

设有p个自变量Xi,X2,…,Xp和1个因变量y,它们之间有下列关系

y=F（Xi,X2,,Xp；

c,a2,,ap）；

.

其中F是函数形式已知的p元函数,a1,a2^,ap是常数,是函数F中的未知参数，；

是表示误差的随机变量，一般可认为；

〜N（0,；

「2）,匚・0.

对Xi,X2，…，Xp,y进行n次观测，得到观测值

（Xi1,Xi2,,XiP,yi）,i=人2,,

对每一次观测来说，同样有下列关系

yi=F（Xii,Xi2,,Xim；

ai,a2,,ap）'

；

i,

其中和（i=1,2，…，n）是第i次观测时的随机误差.

回归分析目标是从观测数据出发，求出印心2,…，ap的估计玄逐,…，^,

使得下列平方和Q达到最小.

n

2

Q八[Yi—F（Xi1,Xi2,,Xim；

a1,a2,,ap）]

i=1

由于估计的目标是使一个平方和达到最小，而平方又称为-二乘II，所以，这

种估计称为最小二乘估计（LSE）,求这种估计的方法称为最小二乘法⑻.

把召1,召2,…，召卩代入Q表达式，就得到q的最小值

Q的最小值称为残差平方和，残差平方和越小，说明回归方程表达变量之间统计相关关系的精确程度越高，也就是回归分析的效果越好.

【】2.2线形回归模型的建立

2.2.1多元线形回归的一般形式

设随机变量y与一般变量x「X2…Xp的线性回归模型为

y=■：

1捲■JX2：

：

；

…苗？

pXp•；

其中，0—,…—是P1个未知参数，飞称为回归常数，飞宀宀,……称为回归系数•参数；

称为随机误差；

y称为被解释变量（因变量）,xi,X2Xp

是p个可以精确测量并控制的一般变量，称为解释变量（自变量）•P"

时，该回

归模型为一元线性回归模型；

当P_2时，就称该式为多元线性回归模型

2.2.2多元线性回归模型的基本假设

（1）解释变量Xi,X2，…，Xp是确定性变量，不是随机变量，且要求ran（kX）=p•1：

n,并要求样本量的个数应大于解释变量的个数.

⑵随机误差项；

具有零均值和等方差，即E（；

J=0,i=1,2，…,n

（3）对于自变量X1,X2/,Xp的所有值，；

的方差二2都相同

⑷误差项；

是一个服从正态分布的随机变量，即；

~N（0,二2）且相互独立.

2.2.3多元线性回归参数的求解

对X1,X2,,Xp,y进行n次观测,得到一组观测值

（Xi1,Xi2,,Xip,yi）,i=1,2,,n.

即有

yr[Xi「仁p；

i,；

i〜N（0^2）,i=1,2,,n.

线性回归的目标是：

从自变量和因变量的观测数据出发，求未知参数

岛，E,…，％的估计值凫，弭，…，仅p,使得平方和Q达到最小

Q=為[yi—Co「必1「pmXip）]2.

i4

Q是p,“…」p的函数，所以这是一个多元函数求最小值的问题，我们可

以通过求偏导数、解下列方程组的方法，来确定Q的最小值点

的最小二乘估计•（有时，线性回归问题中可能会不出现常数项。

也可以类似地求解）•

当自变量个数n比较多时,线性回归的具体计算是很烦琐复杂的，且人工计

算工作量很大.我们在解决实际问题时，可以利用这些现成软件如SPSS软件,

十分方便迅速地完成线性回归的计算

2.2.4线性回归方程显著性检验⑷

（1）提出假设

Ho：

：

1=：

2=...=:

p=0线性关系不显著.

H1:

、，：

2,.,：

p至少有一个不等于0.

（2）计算检验统计量F

n2

'

yp

心

n『

无（yi-？

2/（n-p-1）

i#

⑶确定显著性水平:

.:

和分子自由度k、分母自由度n-k-1,找出临界值F.

⑷做出决策•若F•F：

.,拒绝Ho

2.3非线性回归

在许多实际问题中变量之间的关系并不都是线性的•通常我们遇到某些现象的因变量和自变量之间曲线关系，就不能再搬抄线性回归的建模方法•对于可以通过数学方法把非线性回归化成线性回归的，就按照回归方法建模；

对于不能转化的，讨论其模型的参数估计方法和建模过程.

2.3.1可转化线性回归的曲线回归

实际中，许多回归模型的因变量和自变量之间都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，

并作回归诊断，如下列模型

y=°

（1）

y-oiX-2X2…：

pXp；

（2）

y=aebxe；

（3）

对于

（1）只须令x〉ebX即可化为y对x是线性的形式

y=oix；

对于

（2）,只须令£

=x,X2=x2,…,Xp二xp,于是得到y关于Xi,X2,.,Xp的线性表达式

y=「1花「2X2^...「pXp；

对于（3）,等式两边同时取自然对数得

Iny=Inadx

令y二y,：

0=lna,：

1=bi得到

y二o；

•

现在对于曲线回归模型求解一般使用软件，如SPSS19.C中的常见可线性化

的曲线回归方程就有很多，如二次曲线、逻辑函数、增长曲线、指数函数等

2.3.2非线性模型

非线性回归模型一般可记为

yi二f（x"

）」，i二1,2,...,n.

其中：

yi是因变量,非随机向量x^（xi1,^2,...,xik）■是自变量，二-（v0Ci,...jp），是未知参数向量，■:

i是随机误差项并且满足独立同分布假定.

对非线性回归模型,我们仍使用最小二乘法估计参数,即求使得

Q（B）工為（yi-f（Xi,B））2达到最小的韋，称为二的非线性最小二乘估计.

i=1

在假定f函数对参数二连续可微时，可以利用微分法，建立正规方程组，求解使

Q（B）达最小的（?

.将f函数对参数日j求导，并令其为0,得p+1个方程

称为非线性最小二乘估计的正规方程组也可以直接极小化残差平方和Q（旳，求出未知参数二的非线性最小二乘估计（?

3.回归分析的实际应用

使用回归模型实际问题中，应注意其优缺点，回归分析有以下优点：

1.在分析多因素模型时，更加简单和方便；

2.运用回归模型，只要采用的模型和数据相同，通过标准的统计方法可以计算出唯一的结果，但在图和表的形式中，数据之间关系的解释往往因人而异，不同分析者画出的拟合曲线很可能也是不一样的；

3.回归分析可以准确地计量各个因素之间的相关程度与回归拟合程度的高低，提高预测方程式的效果.

缺点：

1.现实中实际一个变量仅受单个因素的影响的情况极少，要注意模式

的适合范围，所以一元回归分析法适用确实存在一个对因变量影响作用明显高于其他因素的变量是使用•多元回归分析法比较适用于实际经济问题，受多因素综

合影响时使用•2.有时候在回归分析中，选用何种因子和该因子采用何种表达式只是一种推测，这影响了用电因子的多样性和某些因子的不可测性，使得回归

分析在某些情况下受到限制.

致谢

本人在做论文期间，得到了王艺霏老师的很大帮助.至此论文完成之际，我深深地感谢王老师所给予的培养、关怀和帮助.

谨向我的指导老师王老师致以最真挚的谢意！

王老师为人谦虚，和善，知识渊博，治学严谨，在论文期间为我提供了大量参考资料，给予我莫大的帮助，对我要求严格.在论文完成的过程中，从理论到实践，从研究方案的制定到论文的撰写，都与王老师细心的指导分不开，在此我深表谢意！

参考文献

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学报：

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