六年级数学工程问题附例题答案之欧阳道创编Word格式.docx
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(3+2)=6(天)
实际上我们把
这个算式,先用30乘了一下,都变成整数计算,就方便些.
10天与15天,体现了甲、乙两人工作效率之间比例关系
.或者说“工作量固定,工作效率与时间成反比例”.甲、乙工作效率的比是15∶10=3∶2.当知道了两者工作效率之比,从比例角度考虑问题,也是非常实用的.根据
,两人合作时,甲应完成全部工作的
,所需时间是
(天).
因此,在下面例题的讲述中,我们可以采用“把工作量设为整体1”的做法,也可以“整数化”或“从比例角度出发”、“列方程”等,这样会使我们的解题思路更灵活一些.
二、典型例题
例1.一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?
解析:
甲的工效:
1÷
9=1/9乙的工效:
6=1/6甲三天做了的:
1/9×
3=1/3
余下的工作:
1-1/3=2/3乙需做的天数:
2/3÷
1/6=4(天)
例2.有一工程,甲队单独做24天完成,乙队单独做30天完成,甲、乙两队合做8天后,余下的由丙队做,又做了6天才完成。
这个工程由丙队单独做需几天完成?
1-(1/24+1/30)×
8=2/56÷
2/5=15天
例3.某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天即可完成,若由甲乙两人合作,需48天完成,现在甲先单独做42天,然后由乙来单独完成,那么还需要多少天?
某工程先由甲单独做63天,再由乙单独做28天可以完成,可看成甲乙合作28天,甲再另外做了35天所以甲的工效为(1-28/48)/35=1/84,乙的工效为1/48-1/84=1/112甲先单独做42天,然后由乙接着做,还需(1-42*1/84)/(1/112)=56天
另一个方法:
令甲每天做工程的百分比为x,乙每天做工程的百分比为y则63x+28y=148(x+y)=1求得x=1/84y=1/112若甲独做42天,则完成工程的42/84,即1/2,剩下1/2由乙完成,需要1/2÷
1/112=56天
例4.一项工程,甲乙两人合作4天后,再由乙单独做5天完成,已知甲比乙每天多完成这项工程的
,甲乙单独做这项工程各需要多少天?
甲单独做需X天,乙单独做需y天4*(1/X+1/Y)+5/Y=11/x-1/y=1/30X=10Y=15甲单独做需10天,乙单独做需15天
设甲单独做需X天,那么甲平均每天完成工程的1/X;
因为甲比乙每天多完成这项工程的30分之一,就是说,乙平均每天完成1/X-1/30;
按照已知条件,甲乙合作4天,4/X+4*(1/x-1/30),随后,乙单独做了5天,5*(1/x-1/30),加在一起,完成了这项工程,即,4/X+4*(1/x-1/30)+5*(1/x-1/30)=1x=10乙每天完成1/10-1/30=1/15,即,乙单独做需15天
例5.一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做,其间甲队休息了3天,乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天?
16天中甲实际休息了16-3=13天甲完成了13/20乙完成了1-13/20=7/20需要时间:
7/20÷
1/30=10.5天所以乙休息了16-10.5=5.5天
例6.有甲、乙两项工作,张单独完成甲工作要10天,单独完成乙工作要15天;
李单独完成甲工作要8天,单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作,那么这两项工作都完成最少需要多少天?
解析1:
先让张某单独完成乙,李某单独完成甲。
乙还剩1-8/15=7/15
两人合作时间为:
7/15/(1/15+1/20)=4所以至少要工作:
8+4=12(天)
解析2:
小李做甲工效高
小李先做甲,小张先做乙,小李完成甲以后再和小张一起做乙
至少需要:
(1-8/15)÷
(1/15+1/20)+8=12天
例7.甲、乙合做一件工作要15天才能完成,现在甲、乙合做10天后,再由乙独做6天,还剩下这件工作的1/10,甲单独完成这件工作要多少天?
甲乙合作10天,完成了:
10×
1/15=2/3乙独做6天完成了:
1-2/3-1/10=7/30乙每天完成:
7/30÷
6=7/180甲独做需要:
(1/15-7/180)=36(天)
例8.一项工程甲队单独做15天可以完成,乙队独坐10天可以完成。
现在开始两队合作,但中间乙队因另有任务调走,从开始到完成任务,甲队工作了9天,乙队比甲队少工作了多少天?
甲独做一天的工效为1/15,乙独做一天的工效为1/10。
合做分想:
这项工程甲做了9天,剩下的都是由乙队完成的。
可以用工作总量减去甲队9天的工作量,求出乙队工作量,再根据乙队的工作量和工效求出乙队的工作时间:
(1-1/15×
9)÷
1/10=4(天)。
所以乙队比甲队少工作天数为:
9-4=5
例9.甲、乙合做一件工作,合作8天后,乙又独做5天,还剩下这件工作的1/6。
已知乙单独完成这件工作要30天,那么甲单独完成这件工作要多少天?
1-1/30×
(8+5)-1/6=12/30=2/52/5÷
8=1/20所以需要20天
例10.甲、乙合做一件工作,每天能完成全部工作的1/12,甲单独做6天,乙又单独做10天后,还剩下全部工作的11/30没有完成,甲单独完成全部工作要多少天?
6*1/12=1/21-11/30-1/2=2/15(2/15)/(10-6)=1/301/(1/12-1/30)=20
例11..一项工程,甲单独完成需12天,乙单独完成需9天。
若甲先做若干天后乙接着做,共用10天完成,问甲做了几天?
当做鸡兔同笼问题处理,如果10天都是乙做,能完成:
1/9×
10=10/9,
超出了:
10/9-1=1/9,每天,甲比乙少做:
1/9-1/12=1/36,甲做了:
1/9÷
1/36=4天
设甲做了X天X×
1/12+(10-X)×
1/9=1,得出X=4
甲做了4天
例12.一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作.问总共用了多少天?
设甲做了x天,则乙做了3x天,丙做了6x天,所以x/12+3x/18+6x/24=1,x/2=1
x=2,所以总共用了2+3*2+6*2=20天
例13.一份稿件,甲、乙、丙三人单独打字需要的时间分别是20小时、24小时、30小时,现在三人合打,但甲因中途另有任务提前撤出,结果用12小时完成,甲只打了多少小时?
甲、乙、丙每小时单独打出稿件的1/20,1/24,1/30,打了12小时,则乙和丙分别打了全部稿件的12/24,12/30,12/24+12/30=9/10,则甲打了稿件的十分之一,(1/10)除以(1/20)=2
甲打了2小时
方程法:
设甲打x小时。
则:
x/20+12*(1/24+1/30)=1,可解出X=2
例14.一项工程甲单独完成要30天,乙单独完成要45天,丙单独完成要90天。
现在由甲、乙、丙合作完成此工程,在工作过程中甲休息了2天,乙休息了3天,丙没有休息,最后把工程完成了,问完成这项工程前后一共用了多少天?
方程法设是第x天完成的,(x-2)/30+(x-3)/45+x/90=1整理,得x=17
(1+2/30+3/45)/(1/30+1/45+1/90)=17(天)
解释:
假若甲、乙没休息,那么应该完成总工程的1+2/30+3/45
例15.一项工程,甲、乙两人合做4天后,再由甲单独做6天才完成全部任务。
已知甲比乙每天多完成这项工程的1/80,则甲、乙单独完成各需多少天?
思路同第四题,设乙每天完成的工作占整个工作的x,4(x+x+1/80)+6(x+1/80)=1
x=1/16,x+1/80=3/40,所以甲40/3天完成,乙16天完成
甲比乙多完成全部任务的:
1/80*(4+6)=1/8(4+6表示甲一共做了10天)1-1/8=7/8(相当于两人均以乙的工效完成的工作量)4+4+6=14(天)乙每天完成:
7/8÷
14=1/16,甲每天完成:
1/16+1/80=3/40,单独完成甲要:
3/40=13又1/3(天)
例16.一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成?
甲乙合作的效率=1÷
36=1/36,乙丙合作的效率=1÷
45=1/45,甲丙合作的效率=1÷
60=1/60,甲乙丙三人合作的效率=(1/36+1/45+1/60)÷
2=1/30
甲工作的效率=1/30-1/45=1/90
三、练习题
1.某工程甲单独干10天完成,乙单独干15天完成,他们合干多少天才可完成工程的一半?
解:
天
2.某工程甲队单独做需48天,乙队单独做需36天。
甲队先干了6天后转交给乙队干,后来甲队重新回来与乙队一起干了10天,将工程做完。
求乙队在中间单独工作的天数。
3.一条水渠,甲、乙两队合挖需30天完工。
现在合挖12天后,剩下的乙队单独又挖了24天挖完。
这条水渠由甲队单独挖需多少天?
4.单独干某项工程,甲队需100天完成,乙队需150天完成。
甲、乙两队合干50天后,剩下的工程乙队干还需多少天?
分析与解:
以全部工程量为单位1。
甲队单独干需100天,甲的工作效
5.某项工程,甲单独做需36天完成,乙单独做需45天完成。
如果开工时甲、乙两队合做,中途甲队退出转做新的工程,那么乙队又做了18天才完成任务。
问:
甲队干了多少天?
分析:
将题目的条件倒过来想,变为“乙队先干18天,后面的工作甲、乙两队合干需多少天?
”这样一来,问题就简单多了。
答:
甲队干了12天。
6.制作一批零件,甲车间要10天完成,如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做,需要8天才能完成.现在三个车间一起做,完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件?
解一:
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答:
丙车间制作了4200个零件.
解二:
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份,甲、乙一起每天完成5份,由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起,8天完成.乙完成8×
2=16(份),丙完成30-16=14(份),就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合一起,甲、乙、丙三人工作效率之比是
12∶8∶7.
当三个车间一起做时,丙制作的零件个数是
2400÷
(12-8)×
7=4200(个).
7.搬运一个仓库的货物,甲需要10小时,乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B,甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间?
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2,所需时间是
丙帮助甲搬运3小时,帮助乙搬运5小时.
解本题的关键,是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化,设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6,乙每小时搬运5,丙每小时搬运4.
三人共同搬完,需要
60×
2÷
(6+5+4)=8(小时).
甲需丙帮助搬运
(60-6×
8)÷
4=3(小时).
乙需丙帮助搬运
(60-5×
4=5(小时).
8.一件工作,甲独做12天完成,乙独做18天完成,丙独做24天完成。
这件工作先由甲做了若干天,然后乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作,求这件工作做完共用了多少天?
【解析】:
解法一:
列方程解答。
设甲先做了X天,则乙接着做了3X天,丙做了(2×
3)X天,由题意可得:
X×
1/12+3X×
1/18+(2×
3)X×
1/24=1
解得:
X=2
所以这件工作做完共用时间:
2×
(1+3+2×
3)=20(天)。
解法二:
把甲的工效(一天的工作量)、乙工效的3倍、丙工效的6倍合起来的工作量看作一份,总工作量里有这样的几份,甲就工作了几天,可以求出甲工作的天数为:
(1/12+3×
1/18+2×
3×
1/24)=2(天)
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