创新设计一轮复习 第四章 第5节Word格式文档下载.docx
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3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asinωx,其中x表示时间,y表示纯音振动时音叉的位移,表示纯音振动的频率(对应音高),A表示纯音振动的振幅(对应音强).
4.交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中x表示时间,y表示电流,A表示最大电流,表示频率,φ表示初相位.
基础自测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)将函数y=3sin2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.( )
(2)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( )
(3)函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为T,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.( )
(4)由图象求解析式时,振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )
解析
(1)将函数y=3sin2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y=3cos2x.
(2)“先平移,后伸缩”的平移单位长度为|φ|,而“先伸缩,后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案
(1)×
(2)×
(3)√ (4)√
2.(必修4P56T3改编)y=2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A.2,4π,B.2,,
C.2,,-D.2,4π,-
解析 由题意知A=2,f===,初相为-.
答案 C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现:
该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析 设y=Asin(ωx+φ)+B(A>
0,ω>
0),
由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=,所以ω=,
所以y=sin+6.
因为当x=2时,y=7,所以sin(π+φ)+6=7,即sinφ=-1,则φ=-+2kπ(k∈Z),可取φ=-.
所以y=sin+6=6-cosx.
答案 y=6-cosx
4.(2019·
北京通州区模拟)函数y=2cos的部分图象是( )
解析 由y=2cos可知,函数的最大值为2,故排除D;
又因为函数图象过点,故排除B;
又因为函数图象过点,故排除C.
答案 A
5.(2016·
全国Ⅰ卷)若将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( )
A.y=2sinB.y=2sin
C.y=2sinD.y=2sin
解析 函数y=2sin的周期为π,将函数y=2sin的图象向右平移个周期即个单位,所得函数为y=2sin=2sin,故选D.
答案 D
6.(2018·
济南模拟改编)y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为.
答案
考点一 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
【例1】某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:
Asin(ωx+φ)
-5
(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>
0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解
(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如下表:
且函数解析式为f(x)=5sin.
(2)由
(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为函数y=sinx图象的对称中心为(kπ,0)(k∈Z).
令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ(k∈Z).
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,所以令+-θ=(k∈Z),解得θ=-(k∈Z).
由θ>
0可知,当k=1时,θ取得最小值.
规律方法 作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象常用如下两种方法:
(1)五点法作图,用“五点法”作y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过变量代换,设z=ωx+φ,由z取0,,π,π,2π来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象;
(2)图象的变换法,由函数y=sinx的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】
(1)(2017·
全国Ⅰ卷)已知曲线C1:
y=cosx,C2:
y=sin,则下面结论正确的是( )
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移个单位长度,得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移个单位长度,得到曲线C2
(2)(2018·
青岛调研)若把函数y=sin的图象向左平移个单位长度,所得到的图象与函数y=cosωx的图象重合,则ω的一个可能取值是( )
A.2B.C.D.
解析
(1)易知C1:
y=cosx=sin,把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把所得函数的图象向左平移个单位长度,可得函数y=sin=sin的图象,即曲线C2,因此D项正确.
(2)y=sin和函数y=cosωx的图象重合,可得π-=+2kπ,k∈Z,则ω=6k+2,k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案
(1)D
(2)A
考点二 求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例2】
(1)(一题多解)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则函数f(x)的解析式为________.
(2)(2019·
长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,已知A,B,则f(x)图象的对称中心为( )
A.(k∈Z)B.(k∈Z)
C.(k∈Z)D.(k∈Z)
解析
(1)由题图可知A=,
法一 =-=,
所以T=π,故ω=2,
因此f(x)=sin(2x+φ),
又对应五点法作图中的第三个点,
因此2×
+φ=π+2kπ(k∈Z),所以φ=+2kπ(k∈Z).
又|φ|<
,所以φ=.故f(x)=sin.
法二 以为第二个“零点”,为最小值点,
列方程组解得
故f(x)=sin.
(2)T=2=π=,∴ω=2,
因此f(x)=sin(2x+φ).
由五点作图法知A是第二点,得2×
+φ=,
2×
+φ=+2kπ(k∈Z),所以φ=-+2kπ(k∈Z),又|φ|<
,所以φ=-,∴f(x)=sin.
由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).
∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).
答案
(1)f(x)=sin
(2)C
规律方法 1.已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,利用周期性求ω,难点是“φ”的确定.
2.y=Asin(ωx+φ)中φ的确定方法
(1)代入法:
把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
(2)五点法:
确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.
【训练2】
(1)(2019·
衡水中学一模)已知函数f(x)=-2cosωx(ω>
0)的图象向左平移φ个单位,所得的部分函数图象如图所示,则φ的值为( )
A.B.C.D.
山东省重点中学质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象的一部分如图所示,则f(x)图象的对称轴方程是________.
解析
(1)由题图知,T=2=π,
∴ω==2,∴f(x)=-2cos2x,
∴f(x+φ)=-2cos(2x+2φ),
则由图象知,f=-2cos=2.
∴+2φ=2kπ+π(k∈Z),则φ=+kπ(k∈Z).
又0<
φ<
,所以φ=.
(2)由图象知A=2,
又1=2sin(ω×
0+φ),即sinφ=,
,∴φ=.
又×
ω+=2π,∴ω=2,
∴f(x)=2sin,
令2x+=+kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z).
∴f(x)=2sin的对称轴方程为x=+(k∈Z).
答案
(1)C
(2)x=+(k∈Z)
考点三 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用
多维探究
角度1 三角函数模型的应用
【例3-1】如图,某大风车的半径为2米,每12秒旋转一周,它的最低点O离地面1米,点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始,逆时针方向旋转40秒后到达P点,则点P到地面的距离是________米.
解析 以圆心O1为原点,以水平方向为x轴方向,以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系,则根据大风车的半径为2米,圆上最低点O离地面1米,12秒转动一周,设∠OO1P=θ,运动t(秒)后与地面的距离为f(t),
又周期T=12,所以θ=t,
则f(t)=3+2sin=3-2cost(t≥0),
当t=40s时,f(t)=3-2cos=4.
答案 4
角度2 三角函数性质与图象的综合应用
【例3-2】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx-(ω>
0)的最小正周期为π.
(1)求函数f(x)的单调递增区间;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在[0,b](b>
0)上至少含有10个零点,求b的最小值.
解
(1)f(x)=2sinωxcosωx+(2sin2ωx-1)
=sin2ωx-cos2ωx=2sin.
由最小正周期为π,得ω=1,
所以f(x)=2sin,
由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
整理得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到y=2sin2x+1的图象;
所以g(x)=2sin2x+1.
令g(x)=0,得x=kπ+或x=kπ+(k∈Z),
所以在[0,π]上恰好有两个零点,若y=g(x)在[0,b]上有10个零点,则b不小于第10个零点的横坐标即可.
所以b的最小值为4π+=.
规律方法 1.三角函数模型的应用体现在两方面:
一是已知函数模型求解数学问题,二是把实际问题抽象转化成数学问题,建立数学模型,再利用三角函数的有关知识解决问题.
2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.
3.研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.
【训练3】
(1)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y=a+Acos(x=1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28℃,12月份的月平均气温最低为18℃,则10月份的平均气温为________℃.
解析 因为当x=6时,y=a+A=28;
当x=12时,y=a-A=18,所以a=23,A=5,
所以y=f(x)=23+5cos,
所以当x=10时,f(10)=23+5cos
=23-5×
=20.5.
答案 20.5
(2)已知函数f(x)=5sinxcosx-5cos2x+(其中x∈R),求:
①函数f(x)的最小正周期;
②函数f(x)的单调区间;
③函数f(x)图象的对称轴和对称中心.
解 ①因为f(x)=sin2x-(1+cos2x)+
=5(sin2x-cos2x)=5sin,
所以函数的最小正周期T==π.
②由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的递增区间为
(k∈Z).
由2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),
得kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),
所以函数f(x)的递减区间为
③由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称轴方程为x=+(k∈Z).
由2x-=kπ(k∈Z),得x=+(k∈Z),
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z).
[思维升华]
1.五点法作图及图象变换问题
(1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向;
(2)图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化.
2.由图象确定函数解析式
解决由函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定A,ω,φ的问题时,常常以“五点法”中的五个点作为突破口,要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.
[易错防范]
1.由函数y=sinx的图象经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象,如先伸缩再平移时,要把x前面的系数提取出来.
2.复合形式的三角函数的单调区间的求法.函数y=Asin(ωx+φ)(A>
0)的单调区间的确定,基本思想是把ωx+φ看作一个整体.若ω<
0,要先根据诱导公式进行转化.
3.求函数y=Asin(ωx+φ)在x∈[m,n]上的最值,可先求t=ωx+φ的范围,再结合图象得出y=Asint的值域.
逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解
数学运算是解决数学问题的基本手段,通过运算可促进学生思维的发展;
而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终,可交替使用,相辅相成.
类型1 三角函数的周期T与ω的关系
【例1】为了使函数y=sinωx(ω>
0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值,则ω的最小值为( )
A.98πB.πC.πD.100π
解析 由题意,至少出现50次最大值即至少需用49个周期,所以T=·
≤1,所以ω≥π.
答案 B
评析 解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=与所给区间的关系,从而建立不等关系.
类型2 三角函数的单调性与ω的关系
【例2】若函数f(x)=sinωx(ω>
0)在区间上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.0≤ω≤B.0≤ω≤
C.≤ω≤3D.≤ω≤3
解析 令+2kπ≤ωx≤π+2kπ(k∈Z),得+≤x≤+,因为f(x)在上单调递减,
所以得6k+≤ω≤4k+3.
又ω>
0,所以k≥0,
又6k+<
4k+3,得0≤k<
,所以k=0.
故≤ω≤3.
评析 根据正弦函数的单调递减区间,确定函数f(x)的单调递减区间,根据函数f(x)=sinωx(ω>
0)在区间上单调递减,建立不等式,即可求ω的取值范围.
类型3 三角函数对称性、最值与ω的关系
【例3】
(1)(2019·
枣庄模拟)已知f(x)=sinωx-cosωx,若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π,2π),则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)
(2)已知函数f(x)=2sinωx在区间上的最小值为-2,则ω的取值范围是________.
解析
(1)f(x)=sinωx-cosωx=sin,
令ωx-=+kπ(k∈Z),解得x=+(k∈Z).
当k=0时,≤π,即≤ω,
当k=1时,+≥2π,即ω≤.
综上,≤ω≤.
(2)显然ω≠0,分两种情况:
若ω>
0,当x∈时,-ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)=2sinωx在区间上的最小值为-2,所以-ω≤-,解得ω≥.
若ω<
0,当x∈时,ω≤ωx≤-ω,
因函数f(x)=2sinωx在区间上的最小值为-2,所以ω≤-,解得ω≤-2.
综上所述,符合条件的实数ω≤-2或ω≥.
答案
(1)
(2)
评析 这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外,还必须知晓一个周期里函数最值的变化,以及何时取到最值,函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则( )
A.y=2sin
B.y=2sin
C.y=2sin
D.y=2sin
解析 由题图可知,A=2,T=2=π,
所以ω=2,由五点作图法知2×
+φ=+2kπ(k∈Z),
所以φ=-,所以函数的解析式为y=2sin.
2.(2019·
杭州期中)将函数y=sin·
cos的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的取值不可能是( )
A.-B.-C.D.
解析 将y=sincos=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后得到的图象对应的函数为y=sin,由题意得+φ=kπ+(k∈Z),∴φ=kπ+(k∈Z),当k=-1,0,1时,φ的值分别为-,,,φ的取值不可能是-.
3.(2019·
咸阳模拟)已知点P(,-)是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>
0)图象上的一个最低点,M,N是与点P相邻的两个最高点,若∠MPN=60°
,则该函数的最小正周期是( )
A.3B.4C.5D.6
解析 由P是函数y=Asin(ωx+φ)(ω>
0)图象上的一个最低点,M,N是与P相邻的两个最高点,知|MP|=|NP|,
又∠MPN=60°
,所以△MPN为等边三角形.
由P(,-),得|MN|=×
2=6.
∴该函数的最小正周期T=6.
4.(2018·
天津卷)将函数y=sin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数( )
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析 y=sin=sin2,将其图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin2x的图象.由2kπ-≤2x≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.令k=0,可知函数y=sin2x在区间上单调递增.
5.(2019·
张家界模拟)将函数f(x)=sin2x-cos2x的图象向左平移t(t>
0)个单位后,得到函数g(x)的图象,若g(x)=g,则实数t的最小值为( )
A.B.C.D.
解析 由题意得,f(x)=2sin,
则g(x)=2sin,
从而2sin=2sin=-2sin(2x-2t)=2sin(2x-2t+π),又t>
0,
所以当2t-=-2t+π+2kπ(k∈Z)时,即t=+(k∈Z),实数tmin=π.
二、填空题
6.将函数y=sinx的图象上所有的点向右平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是________________.
y=sin.
答案 y=sin
7.(2018·
沈阳质检)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>
0,0<
π)的部分图象如图所示,则f=________.
解析 由图象可知A=2,T=-=,∴T=π,∴ω=2.
∵当x=时,函数f(x)取得最大值,
∴2×
+φ=+2kπ(k∈Z),∴φ=+2kπ(k∈Z),
∵0<
π,∴φ=,∴f(x)=2sin,
则f=2sin=2cos=.
8.已知f(x)=sin(ω>
0),f=f,且f(x)在区间上有最小值,无最大值,则ω=____________________________________.
解析 依题意,x==时,y有最小值,
∴sin=-1,∴ω+=2kπ+(k∈Z).
∴ω=8k+(k∈Z),
因为f(x)在区间上有最小值,无最大值,
所以-≤,即ω≤12,
令k=0,得ω=.
三、解答题
9.某实验室一天的温度(单位:
℃)随时间t(单位:
h)的变化近似满足函数关系:
f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).
(1)求实验室这一天上午8时的温度;
(2)求实验室这一天的最大温差.
解
(1)f(8)=10-cos-sin
=10-cos-sin=10-×
-=10.
故实验室上午8时的温度为10℃.
(2)因为f(t)=10-2(cost+sint)
=10-2sin,
又0≤t<
24,所以≤t+<
,-1≤sin≤1.
当t=2时,sin=1;
当t=14时,sin=-1.
于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,取得最小值8.
故实验室这一天的最高温度为12℃,最低温度为8℃,最大温差为4℃.
10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=g(x)的图象,求g(x)的单调递减区间.
解
(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π,
所以f(x)的最小正周期T=π,从而ω==2.
又f(x)的图象关于直线x=对称,
所以2×
+φ=kπ+(k∈Z),
因为-≤φ<,所以k=0,
所以φ
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- 创新设计一轮复习 第四章 第5节 创新 设计 一轮 复习 第四