北师大版七年级上数学第三章字母表示数学习笔记Word文档格式.docx
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(1)搭10个这样的正方形需要31根火柴棒.
(2)搭100个这样的正方形需要301根火柴棒,方法为:
3×
100+1=301(根).
(3)搭x个这样的正方形需要(3x+1)根火柴棒.
点拨 用字母表示数,简洁明了地表示了正方形个数与火柴棒根数之间的关系.
剖析难点 探索过程中,找不到规律或不能用字母把找到的规律正确表达出来.
【例2】 如图3-1-5①是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点得到图②;
再分别连结图②中间小三角形三边的中点,得到图③.
(1)图①、图②、图③中分别有多少个三角形?
(2)按上面的方法继续下去,第n个图形中有多少个三角形?
因此第n个图形中三角形个数为1+4×
(n-1),即4n-3.
解
(1)1,5,9;
(2)4n-3.
点击易错点 不能把找到的规律用字母表示出来.
【例3】 图中的各个图形是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个端点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数是S,按此规律推断S与n的关系式是________.
错解 S=3n.
错解分析 由于每条边上都有n盆花,共有3条边,便直接用3和n相乘,而忽略了端点处3盆花各重复了一次,应再减3.
正解 S=3n-3.
[想一想] 观察下列各式:
想一想,什么样的两数之积等于这两数之和?
设n表示正整数,用关于n的等式表示这个规律为________×
________=________+________.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 用字母表示数是代数的基础,它常和以前学过的公式综合出题,它容身于代数、几何的各个角落.
【例4】 如图3-1-7,把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形(2c<b<a=,然后作成一个长方体盒子,用字母表示它的容积.
解析 根据长方体的容积(体积)公式V=Sh.欲求长方体的容积需知长方体的底面积S和长方体的高,又可根据S=ab,欲求底面积需知底面的长和宽,用图中虚线部分作成长方形盒子的底面,它的长为(a-2c),宽为(b-2c)由作法可知,盒子高为c,故盒子容积为(a-2c)(b-2c)·
c.
解 根据长方体的容积公式可知:
此盒子的容积为:
(a-2c)(b-2c)·
c
创新能力升级 对于方案设计及判断不同方案的优劣,用字母表示数从不同角度解决问题,培养学生创新意识.
【例5】 用a米的竹篱笆在空地上围成一个养鸡场,有两种方案:
一种围成正方形,另一种围成圆形,试比较两种方案的面积大小,并说明理由.
应用能力升级 把学到的知识用到生活中,求某些图形的周长或面积.
【例6】 学校决定修建一块长方形草坪,长为a米,宽为b米,并在草坪上修建如图3-1-8所示的两条小路,已知两条小路的宽都是x米,求
(1)修建的两条小路的面积是多少平方米?
(2)草坪的面积是多少平方米?
解析 两条小路分别为长方形和平行四边形,长方形面积为长×
宽=a×
x,平行四边形的面积为x×
b,求两条小路的面积时不要忽略重合部分,草坪的面积就为大长方形面积减去两条小路面积.
2 代数式
明白代数式的特征:
只含有加、减、乘、除、乘方等运算符号及括号,而不含“等号”、“大于号”、“小于号”.注意单独一个数或字母也是代数式,思考代数式的优点,如代数式10x+5y可表示什么,加深体会字母可以表示任何数,列代数式时,要正确判断各数量关系中的运算顺序,并抓住关键词语.
解析重点 在具体情境中列出代数式.
【例1】 一家商店某种服装成本价为a元,按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,用代数式表示这种服装的实际售价.
解析 列代数式时抓住关键词:
提高、理顺运算顺序,先说先算,分层处理,先找出标价,最后打八折.
解 实际售价为:
a(1+40%)×
80%.
点拨 正确书写代数式,数字与字母或字母与字母相乘时乘号写作“·
”或省略不写,数字与数字相乘仍用“×
”.
剖析难点 用代数式表示实际问题中的数量关系,理解代数式表示的实际意义.
【例2】 甲、乙两地相距x千米,某人计划用a小时从甲地到乙地,如果必须提前2个小时到达,那么他每小时需多走____.
点击易错点 本节常见易错点有:
(1)对代数式的意义叙述不准确;
(2)列代数式时审题不仔细,弄错运算顺序.
【例3】 说出下列代数式的意义.
正解
(1)x的平方的3倍与5的差;
(2)a与b的差的立方的5倍.
Ⅲ 能力升级平台
综合能力升级 代数式与数字问题的综合、代数式与简单方程的综合.
【例4】 一个十位数字为0的三位数,它恰好等于各位数字和的m倍,交换它的百位数字与个位数字的位置,得到新的三位数是其各位数字之和的n倍,则n的值是 ( )
A.99-m B.101-m
C.100-m D.101+m
解析 设原三位数为100a+b,则交换百位数字与个位数字后的三位数为100b+a,则由题意可得:
100a+b=m(a+b),100b+a=n(a+b),两式左右两边相加,得101a+101b=(m+n)(a+b)即101(a+b)=(m+n)(a+b),∴ m+n=101,即n=101-m.
解 B
应用能力升级 列代数式解决实际问题,如水费,电费、稿费、出租车收费固定电话收费等分段收费问题.
解析 此题中关系复杂,关键在于用水量是否超标,由于结算方法不同,所列代数式也不同.
解 分两种情况:
(1)当x≤12时未超标,此时应交纳水费1.4x元;
(2)当x>12时,用水量超标,此时应交纳水费[1.4×
12+(x-12)×
2.6]元.
创新能力升级 用字母表示学过的公式并灵活运用,把求平均数的方法用到求平均速度中.
【例6】 某人以每小时a千米的速度上山,然后又沿原路以每小时b千米的速度下山,如果上山的路程s千米,那么此人上山、下山的平均速度是多少?
解析 首先将行程问题的基本数量路程、速度、时间三者之间的关系列述出来,然后再回到题目中来:
上下山的平均速度=(上山路程+下山路程)÷
(上山时间+下山时间),最后用代数式将上山时间、下山时间表述出来,
3 代数式的求值
代数式求值就是用给定的数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算顺序,计算出结果,有些代数式的求值,在未明确给定或不能求出单个字母的取值时,要用整体代入法.(如例5)
解析重点 求代数式的值的方法是先代入,后按代数式指明的运算顺序进行计算.
剖析难点 利用代数式求值推断代数式所反映的规律.
【例2】 当a=4,b=2,c=-1时,求a-bc的值
错解1 当a=4,b=2,c=-1时,a-bc=4-2×
(-1)=2×
(-1)=-2.
错解2 当a=4,b=2,c=-1时,a-bc=4-2×
-1=-2.
错解分析 错解1的原因是计算时弄错了运算顺序;
错解2的原因是没有把“-1”用括号括上.
正解 a=4,b=2,c=-1时,a-bc=4-2×
(-1)=4+2=6.
解析 把n=40代入,看所求的数是质数吗?
如果是,再验证;
如果不是,则得出结论.
综合能力升级 互为倒数的定义与整体代入法综合去求较为复杂的代数式值.
应用能力升级 用代数式求值解决实际问题,求立方体的体积等.
【例4】 挖一条长为l的水渠,渠道的横断面是等腰梯形(如图3-3-1),梯形的底分别为a、b,水渠深为h,若l=200米,a=6米,b=4米,h=1.5米,求挖这条小渠的土方量.
解析 求水渠的土方量,即求棱柱的体积,棱柱的体积=底面积×
高,这里即等腰梯形的面积×
水渠的长度.为了方便,设水渠的土方量为V.
_4 合并同类项
弄清几个基本概念,特别是同类项的概念,另外代数式中的项由系数(包括前面的符号)和字母(π除外)两部分组成,分清哪些项是同类项,是合并同类项的关键,合并同类项的根据是乘法分配律,根据法则进行合并,对于求代数式的值这类题要会书写格式.
解析重点 同类项的概念,合并同类项.
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项叫同类项.
判断时,同时具备2个条件:
一是所含字母相同,二是相同字母的指数也相同,缺一不可,引申为同类项与系数无关、与字母排列顺序无关;
概念具有双重性.
合并同类项法则:
在合并同类项时,把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变,即“一变二不变”.
【例2】 说出下列各题的两个项是不是同类项?
为什么?
解析 观察所含字母是否相同,相同字母的指数是否相同.
解
(2)、(4)不是同类项,因为
(2)中相同字母的指数不同,(4)所含字母不同,
(1)、(3)、(5)是同类项,因为
(1)、(5)中都是常数,(3)中所含字母相同,相同字母的指数也相同.
点击易错点 本节的易错点:
①判定同类项容易出错,
②合并同类项时容易出错,
③确定代数式项的系数有误.
【例3】 下列各题合并同类项的结果对不对?
不对的,指出错在哪里.
错解 认为都对.
错解分析
(1)3a与2b不是同类项,不能合并;
(2)合并同类项只是系数的运算,字母不变,字母不参与运算;
(3)(4)都不是同类项,不能合并;
(5)保留了字母和字母的指数不变,又忘记了互为相反数的两个系数的和为0.结果应为0.
正解
(1)不对,因为3a与2b不是同类项,不能合并;
(2)不对,丢掉了字母及字母指数;
(3)(4)不对,分别不是同类项,所以不能合并;
(5)不对,因为-3+3=0,0与xy相乘为0,而不是xy.
综合能力升级 合并同类项与数字问题、数的整除性的综合.
【例4】 随便写出一个十位数字与个位数字不相等的两位数,把它的十位数字与个位数字(不为0)对调后,得到一个新的两位数,并把两个两位数相加,所得的和一定能被11整除吗?
解析 一个数能否被11整除也就是看这个数能否写成11的倍数形式.用代数式把原、新两个十位数表示出来,并求和.
解 设原两位数的十位数字为x,个位数字为y,根据题意得
(10x+y)+(10y+x)
=10x+y+10y+x
=(10x+x)+(y+10y)
=11x+11y
=11(x+y).
因此,所得的和一定能被11整除.
应用能力升级 用合并同类项知识解决日常生活中的问题,如用字母表示付费、图形周长等.
【例5】 以物易物在农村是普遍存在的一种现象.一天,王大妈用玉米换苹果,交易条件是1公斤玉米换0.8公斤苹果,当称完带口袋的玉米后,小贩要称皮(口袋)时,王大妈说话了:
“不用称皮了!
称玉米带皮,称苹果时也带皮,这样既省事又互不吃亏.”想一想:
王大妈讲的有道理吗?
用学过的有关代数式的知识解答.
解析 本题的关键是列代数式求值比较吃亏还是不吃亏的过程.
解 王大妈讲的没有道理,王大妈自己吃亏.
设玉米重x公斤,口袋重y公斤,则应换苹果(0.8x)公斤,若不称皮,则实换苹果为0.8(x+y)-y=0.8x+0.8y-y=0.8x-0.2y,也就是说,这样王大妈要少得苹果0.2y公斤,口袋越重吃亏越大.
___5 去括号
Ⅰ 学法导引
我们第二章学过有理数减法,如7-(-5)=7+5=12,这就是有理数减法中遇到的去括号,根据它来学习去括号法则的第二条,需要注意本节在去括号时,若括号内多于一项时,在去括号后,括号内各项要么全变号,要么全不变号,同时还应正确运用乘法分配律,这节内容今后经常用到,一定要打好基础.
思维整合 解析重点去括号法则,正确去括号.
【例1】 先去括号,再合并同类项:
(1)8a+2b+5(a-b);
(2)6a-2(a-c).
解析 这两个题都需要先利用分配律计算5与(a-b),2与(a-c)的积,再去括号,最后合并同类项.
解
(1)8a+2b+5(a-b)
=8a+2b+(5a-5b)
=8a+2b+5a-5b
=(8a+5a)+(2b-5b)
=13a-3b;
(2)6a-2(a-c)
=6a-(2a-2c)
=6a-2a+2c
=4a+2c.
剖析难点 当括号前是“-”号时的去括号.
【例2】 先去括号,再合并同类项.
解析 按去括号法则先把括号去掉,然后再合并同类项,要注意括号前面是“-”号,去括号后,括号内各项的符号都改变.
点击易错点 尤其易犯的错误是:
(1)括号前是“-”号,去括号时,只改变括号里第一项的符号,而其余各项的符号均忘记改变.
(2)运用分配律时,容易出现漏乘项的错误.
错解分析 错解1是第二步去括号时,括号里各项都应变号,但上述解法中只改变了第一项的符号.
错解2是第一步应用分配律时,应用4去乘括号内的每一项,但上述解法中只与第一项相乘,造成漏乘的错误.
解析 去多重括号可以由内向外逐层进行,也可以由外向内进行,如果去括号法则掌握得比较熟练,也可以内外同时进行去括号.
解 解法之一(由内向外逐层去括号)
综合能力升级 有理数的绝对值,有理数的乘方及去括号合并同类项的综合运用.
解析 由两个非负数的和为0,则每个非负数为0可求出a、b的值,代入式子A-B的化简结果中,就可求出A-B的值.
应用能力升级 应用去括号合并同类项解决几何图形的边长、周长及阴影部分的面积等问题.
【例5】 一个四边形的周长是38厘米,已知第一条边长是a厘米,第二条边长比第一条边长的2倍长3厘米,第三条边长等于第一、二两条边长的和,写出表示第四条边长的代数式.
解析 第一条边的边长为a厘米,第二条边的边长为(2a+3)厘米,第三条边的边长为(a+2a+3)厘米,周长减去前三条边的边长就是第四条边的边长.
解 根据题意得
38-a-(2a+3)-(a+2a+3)=38-a-2a-3-a-2a-3=32-6a.
点拨 列代数式时,第二条边的边长,第三条边的边长要用括号括上.
__6 探索规律
要善于从具体的、实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律,合理归纳,大胆猜想,从不同事物中发现它们的相似点或相同点,并运用符号(代数式)表示规律,另外还需要通过运算,验证你所找到的规律是否正确.
解析重点 探索规律的方法和步骤:
第一,观察、探索:
从实际问题出发,观察各个数量的特点及相互之间的变化规律.
第二,归纳、猜想:
通过观察由此及彼,合理归纳、猜想,并用字母表示规律.
第三,验证:
观察、探索的结果,具有偶然性,可能是正确的,也可能是错误的,需要通过运算,验证规律.
【例1】 图3-6-1,图①是一个三角形,分别连结这个三角形三边的中点得到图②;
再分别连结图②中间小三角形三边的中点,得到图③.按上面的方法继续下去,第n个图形中有多少个三角形?
解析 先找出图①、图②、图③中分别有多少个三角形,我们发现图①有1个图②有5个,图③有9个,还发现,图②比图①多4个三角形,图③比图①多8个(2个4)三角形.
点击易错点 根据题目找不出规律,考虑不全面,思维不清楚是导致本节错误的主要原因.
【例2】 如图3-6-2用棋子摆出下列一组图形:
问:
摆第④个图形用____枚棋子;
摆第n个图形用____枚棋子.
错解 15,3(n+1)
错解分析 把每边棋子数×
边数当成了发现的规律,而忽略了每个角处的一枚棋子都数了两遍.
正解 12,3n
综合能力升级 探索一些算式中的规律、图形中的规律、周期问题的规律等.
【例3】 观察下列各式;
你会发现什么规律?
解析
(1)左边是两个连续奇数的积,右边是两个连续奇数中间的偶数的平方减去1,
(2)找出算式中第1个数与算式序号之间的关系,3→1,5→2,7→3,9→4,…,2n+1→n.
应用能力升级 用探索规律解决实际生活中遇到的问题,托运行车费用、过已知多个点作直线条数问题、好朋友见面握手次数问题等.
【例4】“⊙”表示一种新的运算符号,已知2⊙3=2+3+4;
7⊙2=7+8;
3⊙5=3+4+5+6+7,…按此规律,计算5⊙8.
解析“⊙”只是一种符号而已,后面的几个等式,等式的左边是一种运算符号,等式的右边是几个连续自然数的和,关键是加数的个数和从哪个数开始加,条件:
2⊙3=2+3+4,从“2”加起,有3个加数即“2+3+4”,7⊙2=7+8;
从“7”加起有2个加数,即“7+8”;
3⊙5=3+4+5+6+7,从3加起,共有5个加数,即“3+4+5+6+7”.所以5⊙8=5+6+7+8+9+10+11+12.
解 5⊙8=5+6+7+8+9+10+11+12
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