二次函数和三角形的面积问题Word格式.docx
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二次函数和三角形的面积问题Word格式.docx
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类型一:
三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行
例1.已知:
抛物线的顶点为D(1,-4),并经过点E(4,5),求:
(1)抛物线解析式;
(2)抛物线与x轴的交点A、B,与y轴交点C;
(3)求下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
解题思路:
求出函数解析式________________;
写出下列点的坐标:
A______;
B_______;
C_______;
求出下列线段的长:
AO________;
BO________;
AB________;
OC_________。
求出下列图形的面积△ABD、△ABC、△ABE、△OCD、△OCE。
一般地,这类题目的做题步骤:
1.求出二次函数的解析式;
2.求出相关点的坐标;
3.求出相关线段的长;
4.选择合适方法求出图形的面积。
变式训练1.如图所示,已知抛物线
与
轴相交于两点A
,B
,与
轴负半轴相交于点C,若抛物线顶点P的横坐标是1,A、B两点间的距离为4,且△ABC的面积为6。
(1)求点A和B的坐标;
(2)求此抛物线的解析式;
(3)求四边形ACPB的面积。
类型二:
三角形三边均不与坐标轴轴平行,做三角形的铅垂高。
(歪歪三角形拦腰来一刀)
关于
的知识点:
如图1,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法:
,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
想一想:
在直角坐标系中,水平宽如何求?
铅垂高如何求?
例2.如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
(1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA,PB,当P点运动到顶点C时,求△CAB的铅垂高CD及
(3)是否存在一点P,使S△PAB=
S△CAB,若存在,求出P点的坐标;
若不存在,请说明理由.
解题思路:
求出直线AB的解析式是为了求出D点的纵坐标
铅垂高
,注意线段的长度非负性;
分析P点在直线AB的上方还是下方?
变式训练2.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°
,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小?
若存在,求出点C的坐标;
若不存在,请说明理由.(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积?
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;
若没有,请说明理由.
变式训练3.如图,抛物线
与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设
(1)中的抛物线交y轴于C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?
若存在,求出Q点的坐标;
若不存在,请说明理由.(3)在
(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?
,若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有,请说明理由.
一般地,①所谓的铅垂高度,实际上就是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值,数学表达式为
。
为了保证这个差值是正数,同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此,求出点D的坐标,是求铅垂高度CD的关键;
②所谓的水平宽,实际上就是,两个点的横坐标差的绝对值,数学表达式为
.为了保证这个差值是正数,同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标.因此,求出点A、B的坐标,是求水平宽的关键.
③在解这类存在性问题时,通常先假设所要的点是存在的,然后利用给出的条件,认真加以推理求解.
【自主练习】
1.已知如图,矩形OABC的长OA=
,宽OC=1,将△AOC沿AC翻折得△APC。
(1)填空:
∠PCB=____度,P点坐标为(,);
(2)若P,A两点在抛物线y=-
x2+bx+c上,求b,c的值,并说明点C在此抛物线上;
(3)在
(2)中的抛物线CP段(不包括C,P点)上,是否存在一点M,使得四边形MCAP的面积最大?
若存在,求出这个最大值及此时M点的坐标;
若不存在,请说明理由。
第1题图
2.如图①,已知抛物线
(a≠0)与
轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)设抛物线的对称轴与
轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形?
若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;
若不存在,请说明理由.(3)如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
图①图②
3.如图,在平面直角坐标系中,二次函数
的图象与x轴交于A、B
两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,-3)点,
点P是直线BC下方的抛物线上一动点.
(1)求这个二次函数的表达式.
(2)连结PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP
C,那么是否存在点P,使四边形POP
C为菱形?
若存在,请求出此时点P的坐标;
若不存在,请说明理由.
(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
4.如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大?
并求出最大面积.
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