概率论与数理统计题库1.docx
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概率论与数理统计题库1.docx
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概率论与数理统计题库1
一、事件的关系与运算
1、设表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件为(A)
(A)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”.(B)“甲种产品滞销”.
(C)“乙种产品畅销”.(D)“甲种产品滞销,乙种产品畅销”.
二、五大公式:
1、已知事件,有概率,,条件概率,则0.62.
1、已知事件,有概率,,条件概率,则0.78;
1、已知事件,有概率,条件概率,则0.28;
1、设、、是三个事件,,,,则3/4(或0.75);
1、设、、是三个事件,,,,则1/3;
1、设、是两个随机事件,且,,,则发生的概率为1/3;
1、已知,,,则5/12;
1、设、是两个随机事件,且,,,则发生的概率为;
1.设事件、互不相容,,,则
(A).(B).(C).(D).(D)
1、若,则(C)
(A)0.2;(B)0.45;(C)0.6;(D)0.75;
1、若,则(C)
(A)1/5;(B)1/4;(C)1/3;(D)1/2;
1、从多年的教学经验可知,一名二年级同学参加英语CET4培训班集中培训后能超过425分的概率为0.8,不参加培训而能超过425分的概率为0.4。
假如这次有70%的同学参加了培训。
(1)任取我们班一名同学,求该同学超过425分的概率?
(2)如果一名同学得分超过425分,则他参加过培训的概率有多大?
解:
设事件=“参加培训”,=“英语CET4成绩超过425分”,则
,,,所以
(1)。
(2)。
1、在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉,它们的产量各占25%、35%、40%,并且在各自的产品里,不合格品各占5%、4%、2%。
问:
(1)全部螺丝钉的不合格品率为多少?
(2)若现在从产品中任取一件恰是不合格品,则该不合格品是甲厂生产的概率为多大?
解:
设表示“螺丝钉由甲台机器生产”,表示“螺丝钉由乙台机器生产”,表示“螺丝钉由丙台机器生产”,表示“螺丝钉不合格”。
(1)由全概率公式
=0.25×0.05+0.35×0.04+0.40×0.02=0.0345;(5分)
(2)由贝叶斯公式(3分)
1、金鱼的主人外出,委托朋友换水,设已知如果不换水,金鱼死去的概率为0.8,若换水,则金鱼死去的概率为0.15。
有0.9的把握确定朋友会记得换水。
问:
(1)主人回来金鱼还活着的概率?
(2)若主人回来金鱼已经死去,则朋友忘记换水的概率为多大?
解:
设表示“朋友换水”,表示“金鱼还活着”,则,,,,,,
(1)由全概率公式
=0.9×0.85+0.1×0.2=0.785;…………………………………(5分)
(2)由贝叶斯公式……(8分)
1、已知一批产品中90%是合格品,检查时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.05,一个次品被误认为是合格品的概率为0.02,求
(1)一个产品经检查后被认为是合格品的概率;
(2)一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.
解:
设“任取一产品,经检验认为是合格品”……………………
(2)
“任取一产品确是合格品”
则
(1)……………………(3)
(2).……………………
(2)
1、有甲、乙、丙三个盒子,其中分别有一个白球和两个黑球、一个黑球和两个白球、三个白球和三个黑球。
掷一枚骰子,若出现1,2,3点则选甲盒,若出现4点则选乙盒,否则选丙盒。
然后从所选的中盒子中任取一球。
求:
(1)取出的球是白球的概率;
(2)当取出的球为白球时,此球来自甲盒的概率。
解:
设=“选中的为甲盒”,=“选中的为乙盒”,=“选中的为丙盒”,=“取出一球为白球”,已知
,………………………………(3分)
(1)由全概率公式……………………(2分)
(2)由Bayes公式………………………………(2分)
1、发报台分别以0.6和0.4的概率发出信号“·”和“—”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台未必收到“·”,而是分别以概率0.8和0.2收到信号“·”和“—”,同样当发出信号“—”时,收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“—”和“·”,求:
(1)收报台收到信号“·”的概率;
(2)当收报台收到信号“·”时,发报台是发出信号“·”的概率。
解:
设=“发出信号‘’”,=“发出信号‘—’”,=“收到信号‘·’”,已知,,,……………(3分)
(1)由全概率公式
………(2分)
(2)由Bayes公式……(2分)
三、三大概型(古典、几何、伯努利)
2、设10件中有3件是次品。
今从中随机地取3件,则这三件产品中至少有1件是次品的概率为;
2、已知10件产品中由2件次品,在其中任取2次,每次任取一件,作不放回抽样,则其中一件是正品,一件是次品的概率为16/45;
1、同时抛掷3枚均匀的硬币,则恰好有两枚硬币正面向上的概率为(C)
(A)1/8(B)2/8(C)3/8(D)4/8;
1、某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为,则在第4次射击时恰好第2次命中目标的概率为(B)
(A);(B);(C);(D);
1、袋中有5个球(3个红球,2个白球),每次取1个,无放回地抽取两次,则第二次取到红球的概率为(A)
(A);(B);(C);(D);
2、已知某型电子器件寿命(以天计)的概率密度函数为
(1)求的分布函数
(2)现有一大批此种器件(设各器件损坏与否相互独立),任取10只,以表示寿命大于15天的器件的只数,求的分布律。
解:
(1)因为当时,,当时,,故(4分)
(2)因为任意一只器件寿命大于15天的概率为,
又各器件损坏与否相互独立,所以服从,概率分布律为
………………(8分)
2、已知随机变量的概率密度函数为
(1)求的分布函数
(2)现对独立地重复观察4次,以表示大于的次数,求的分布律。
解:
(1)因为当时,,当时,,当,,故……………………(4分)
(2)因为大于的概率为,所以服从,概率分布律为
………………(4分)
四、一维随机变量的分布及性质
5.设随机变量,令,则的分布律为
4、随机变量X的分布函数是,则X的分布律是,0.4;
9、设随机变量的概率密度为,令,则的分布律为;
4、随机变量的分布函数是,则0.4;
2.设离散型随机变量的分布律为,且,则参数
(A)(B)(C)(D)不能确定(C)
2、设离散型随机变量的分布律为,,则参数(D)
(A)1/5;(B)1/4;(C)1/3;(D)1/2;
3、设连续型随机变量的概率密度为,则参数(D)
(A)0;(B)1;(C);(D);
2、设随机变量的概率分布律为,则参数(C)
(A)的任意实数;(B);(C);(D);
五、连续型概率密度与分布函数的相关计算
5、连续型随机变量的分布函数为,则概率密度函数为;
4、随机变量的分布函数是,则随机变量的概率密度函数为;
4、随机变量的分布函数是,则随机变量的概率密度函数为;
5、设随机变量的概率密度为,若,则;
7、随机变量在内服从均匀分布,则关于的方程有实根的概率为_____3/5(或0.6)__;
3、随机变量的概率密度为
求
(1)常数;
(2)的分布函数;(3)
解:
(1)因为,所以.(3分)
(2)因为(4分)
(3)因为为连续型随机变量,。
或(4分)
2、随机变量的概率密度为
,
求
(1)常数;
(2);(3)的分布函数。
解:
(1),
∴………………………………(2分)
(2)……………………(2分)
(3)当时,,当时,,
的分布函数为………………………………(3分)
2、设连续型随机变量的分布函数为求
(1)和;
(2);(3)概率密度函数;(4).
解:
(1),.……(2分)
(2)………………………………(2分)
(3)………(2分)(4)………(2分)
六、一维随机变量的函数的分布求法
3、设随机变量的分布函数为,则的分布函数为(A)
(A);(B);(C);(D;
3、设随机变量的概率密度为,则的概率密度为(B)
(A);(B);(C);(D);
4、设圆的半径,求圆的面积的分布密度。
解:
因为,
当,;当,
;当,
所以
1、设长方形的长,已知长方形的周长为2,求长方形面积的数学期望和方差。
解:
因,故……………………(1分)
面积为,所以
…………(2分)
,
…………………………(3分)
2、若,,求的概率密度函数。
解:
因为当时,是不可能事件,所以;
又当时,(5分)
所以的概率密度函数(3分)
1、设,求的概率密度。
解:
设随机变量和的分布函数分别为、,先求的分布函数。
由于,故当时,……………………(1分)
当时,有,
将关于求导数,即得的概率密度为
……………(4分)
1、设,求的概率密度。
解:
设随机变量和的分布函数分别为、,先求的分布函数。
由于,故当时,……………………(2分)
当时,有
,
将关于求导数,即得的概率密度为
……………(4分)
1、设随机变量,求的分布密度函数。
解:
因,故……………………(1分)
……(3分)
…………………(2分)
七、常见随机变量的分布与数字特征
2.设,,,则__6___,__0.4___。
2、设,则;
1.设离散型随机变量,,则__0.8___。
3、若且,则2/3;
3、若,则6;
3、设,且,则___2________;
4、设随机变量服从参数为1的泊松分布,则;
3、设随机变量服从参数为1的泊松分布,则;
6、设和相互独立,且分别服从参数为3和5的泊松分布,则服从参数为8的泊松分布;
2、设随机变量的概率分布律为,则参数(D)
(A)0;(B)1;(C);(D);
4、某地警察每晚查获机动车醉驾的人数服从参数为泊松分布,则今晚某地警察查获至少一人醉驾的概率为;
3、尽管一再强调考试不要作弊,但每次考试往往总有一些人作弊。
假设某校以往每学期期末考试中作弊同学人数服从参数为10的泊松分布,则本次期末考试中无同学作弊的概率为;
5某地每天发生交通事故的次数服从参数为泊松分布,则明天至少发生一次交通事故的概率为;
5、设随机变量在上服从均匀分布,则方程有实根的概率为4/5或0.8;
3.设随机变量,的分布函数为,则的值为
(A).(B).
(C).(D).(A)
4、若,则)=(A)
(A);(B);(C);(D)。
4、若服从标准正态分布,则=(B)
(A);(B);(C);(D);
6、若且与相互独立,则;
8、已知,,则;
2、某人射击直到中靶为止,已知每次射击中靶的概率为0.75.则射击次数的数
学期望与方差分别为(D)
;;;(D).
2、已知某同学投篮球时的命中概率为,设表示他首次投中时累计已投篮的次数,则的概率分布律为,;
3、设某批电子元件的正品率为,次品率为,现对这批电子元件进行测试,只要测得一个正品就停止测试工作,则测试次数的分布律为;
6、一射手朝一目标独立重复地射击指导击中目标为止,设每次击中目标的概率为,为首次击中目标时的射击次数,则的数学期望为1/p;
4、设连续型随机变量的概率密度为,
则(D)
(A)0;(B)1;(C);
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