最新高三六校联考试题 数学文Word格式文档下载.docx
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8.函数f(x)=的部分图象大致是
9.将函数f(x)=sin2x+cos2x的图象向右平移,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标长度不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法正确的是
A.函数g(x)的最大值为+1
B.函数g(x)的最小正周期为π
C.函数g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数g(x)在区间上单调递增
10.已知直线y=kx-1与抛物线x2=8y相切,则双曲线:
x2-k2y2=1的离心率等于
11.如图,平面四边形ABCD中,E,F是AD,BD中点,AB=AD=CD=2,BD=2,∠BDC=90°
,将△ABD沿对角线BD折起至△A′BD,使平面A′BD⊥平面BCD,
则四面体A′BCD中,下列结论不正确的是
A.EF∥平面A′BC
B.异面直线CD与A′B所成的角为90°
C.异面直线EF与A′C所成的角为60°
D.直线A′C与平面BCD所成的角为30°
12.已知函数f(x)=lnx-+a在x∈[1,e]上有两个零点,则a的取值范围是
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知平面向量a与b的夹角为45°
,a=(-1,1),|b|=1,则|a-2b|=__________.
14.已知点A(2,0),B(0,4),O为坐标原点,则△AOB外接圆的标准方程是__________.
15.已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1(n∈N*),设bn=1+log2an,则数列的前n项和Tn=__________.
16.已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于__________.
三、解答题:
共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17-21题为必考题,每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题,共60分。
17.(本小题满分12分)
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sinAsinBcosB+sin2BcosA=2sinCcosB.
(1)求tanB的值;
(2)若b=2,△ABC的面积为,求a+c的值.
18.(本小题满分12分)
如图,ABCD是边长为2的菱形,∠DAB=60°
,EB⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,EB=2FD=4.
(1)求证:
EF⊥AC;
(2)求几何体EFABCD的体积.
19.(本小题满分12分)
有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮饮料销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的散点图和对比表:
摄氏温度
-5
4
7
10
15
23
30
36
热饮杯数
162
128
115
135
89
71
63
37
(1)从散点图可以发现,各点散布在从左上角到右下角的区域里.因此,气温与当天热饮销售杯数之间成负相关,即气温越高,当天卖出去的热饮杯数越少.统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱.统计学认为,对于变量x、y,如果r∈[-1,-0.75],那么负相关很强;
如果r∈[0.75,1],那么正相关很强;
如果r∈(-0.75,-0.30]∪[0.30,0.75),那么相关性一般;
如果r∈[-0.25,0.25],那么相关性较弱.请根据已知数据,判断气温与当天热饮销售杯数相关性的强弱.
(2)(ⅰ)请根据已知数据求出气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程;
(ⅱ)记[x]为不超过x的最大整数,如[1.5]=1,[-4.9]=-5.对于(ⅰ)中求出的线性回归方程y=x+,将y=[]x+[]视为气温与当天热饮销售杯数的函数关系.已知气温x与当天热饮每杯的销售利润f(x)的关系是f(x)=2+3(x∈[-7,38))(单位:
元),请问当气温x为多少时,当天的热饮销售利润总额最大?
【参考公式】=r=2=1340,100,362=1296,372=1369.
20.(本小题满分12分)
如图,椭圆C:
+=1的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于A,B两点,直线n:
x=4与x轴相交于点E,点M在直线n上,且满足BM∥x轴.
(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)证明:
直线AM经过线段EF的中点.
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+x+1(a>
0).
(1)设F(x)=,讨论函数F(x)的单调性;
(2)若0<
a≤,证明:
f(x)>
g(x)在(0,+∞)上恒成立.
(二)选考题:
共10分。
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。
22.(本小题满分10分)选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin.
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.
23.(本小题满分10分)选修4-5:
不等式选讲
已知函数f(x)=|x+1|+2|x-a|.
(1)设a=1,求不等式f(x)≤7的解集;
(2)已知a>
-1,且f(x)的最小值等于3,求实数a的值.
数学(文科)参考答案
一、选择题
题 号
1
2
3
5
6
8
9
11
12
答 案
B
D
C
A
1.B 【解析】由题知集合A与集合B互相没有包含关系,且A∩B={3},A∪B={2,3,4,5},∁UA={1,5},故选B.
2.D 【解析】由题知z===1-2i,位于第四象限,故选D.
3.C 【解析】从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白},{黄蓝},{黄红},{白蓝},{白红},{蓝红},共6种.其中包含白色的有3种,选中白色的概率为,故选C.
4.D 【解析】由否命题的概念知A错;
关于B选项,前者应是后者的既不充分也不必要条件;
关于C选项,p与q至少有一个为假命题;
D选项正确.
5.A 【解析】由题知(a4-2)2=a2a6,因为{an}为等差数列,所以(3d-1)2=(1+d)(1+5d),因为d≠0,解得d=3,从而am-an=(m-n)d=30,故选A.
6.C 【解析】将n=3,x=代入程序框图,可得最后输出v=11.5,故选C.
7.A 【解析】由题中给出的三个约束条件,可得可行域为如图所示阴影部分,易知在(0,1)处目标函数取到最小值,最小值为1,故选A.
8.B 【解析】由题知,f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数,排除C和D,将x=π代入f(x)得f(π)<
0,故选B.
9.D 【解析】化简得f(x)=2sin,所以g(x)=2sin,由三角函数性质知:
g(x)的最大值为2,最小正周期为2π,对称轴为x=+kπ,k∈Z,单调增区间为,k∈Z,故选D.
10.B 【解析】由得x2-8kx+8=0,因为直线与曲线相切,所以Δ=64k2-32=0,k2=,所以双曲线为x2-=1,离心率等于,故选B.
11.C 【解析】A选项:
因为E,F分别为A′D和BD两边中点,所以EF∥A′B,即EF∥平面A′BC,A正确;
B选项:
因为平面A′BD⊥平面BCD,交线为BD,且CD⊥BD,所以CD⊥平面A′BD,即CD⊥A′B,故B正确;
C选项:
取CD边中点M,连接EM,FM,则EM∥A′C,所以∠FEM为异面直线EF与A′C所成角,又EF=1,EM=,FM=,即∠FEM=90°
,故C错误,选C.
12.A 【解析】∵f′(x)=+=,x∈[1,e].
当a≥-1时,f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,不合题意.
当a≤-e时,f′(x)≤0,f(x)在[1,e]上单调递减,也不合题意.
当-e<
a<
-1时,则x∈[1,-a)时,f′(x)<
0,f(x)在[1,-a)上单调递减,x∈(-a,e]时,
f′(x)>
0,f(x)在(-a,e]上单调递增,又f
(1)=0,所以f(x)在x∈[1,e]上有两个零点,
只需f(e)=1-+a≥0即可,解得≤a<
-1.
综上,a的取值范围是.
二、填空题
13. 【解析】由题知,|a-2b|==.
14.(x-1)2+(y-2)2=5 【解析】由题知OA⊥OB,故△ABO外接圆的圆心为AB的中点(1,2),
半径为|AB|=,所以△ABO外接圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
15. 【解析】令n=1,a1=1;
n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,an=2an-1,所以an=2n-1,bn=1+log22n-1=n,Tn=++…+=.
16. 【解析】由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,平面SAB⊥平面ABCD,可得R2=r+r-,其中r1为△SAB外接圆半径,r2为矩形ABCD外接圆半径,L=AB.计算得,R2=+5-4=,
所以S=4πR2=π.
三、解答题
17.【解析】
(1)原等式化简得sinB(sinAcosB+cosAsinB)=2sinCcosB,
∴sinBsin(A+B)=2sinCcosB,
∴sinBsinC=2sinCcosB,3分
∵0<
C<
π,sinC≠0,∴tanB=2.5分
(2)∵tanB=2,且0<
B<
π,∴B为锐角,且=2,
∴sinB=,cosB=,∵S=acsinB=,∴ac=3.9分
由余弦定理得:
a+c=2.12分
18.【解析】
(1)连接DB,DF⊥平面ABCD,EB⊥平面ABCD,
∴EB∥FD,∴E,F,D,B四点共面,∴AC⊥EB,3分
设DB∩AC=O,∵ABCD为菱形,∴AC⊥DB.
DB∩EB=B,∴AC⊥平面EFDB,
∵EF⊂平面EFDB,∴AC⊥EF.6分
(2)∵EB∥FD,EB⊥BD,∴EFDB为直角梯形,
在菱形ABCD中,∠DAB=60°
,AB=2,BD=2,AO=CO=,
∴梯形EFDB的面积S==6,9分
∵AC⊥平面EFDB,
∴VEFABCD=VC-EFDB+VA-EFDB=S×
AO+S×
CO=4.12分
19.【解析】
(1)因为r=≈2分
<
-≈-0.96.
所以气温与当天热饮销售杯数的负相关很强.4分
(2)(ⅰ)因为===-2.95,=100+2.95×
15=144.25.
所以气温与当天热饮销售杯数的线性回归方程为y=-2.95x+144.25.7分
(ⅱ)由题意可知气温x与当天热饮销售杯数y的关系为y=-3x+144.
设气温为x时,则当天销售的热饮利润总额为g(x)=(-3x+144)(x∈[-7,38)),
即g(x)=10分
易知g(-7)=495,g(8)=600,g(23)=525.
故当气温x=8时,当天的热饮销售利润总额最大,且最大为600元.12分
20.【解析】
(1)由c==1,∴F(1,0),∵直线l与x轴垂直,∴x=1,
由得或∴A,M,
∴直线AM的方程为y=-x+.4分
(2)设直线l的方程为x=my+1,5分
由得3(my+1)2+4y2=12,
(3m2+4)y2+6my-9=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=,8分
∵EF的中点N,点M(4,y2),
∴==,=,
×
y2-y1=my1y2-(y1+y2)=-×
=0.
所以A,N,M三点共线,
所以直线AM经过线段EF的中点.12分
21.【解析】
(1)F(x)==,F′(x)==,1分
①若a=,F′(x)=≤0,∴F(x)在R上单调递减.2分
②若a>
,则>
0,
当x<
0,或x>
时,F′(x)<
0,当0<
x<
时,F′(x)>
∴F(x)在,上单调递减,在上单调递增.
③若0<
,则<
,或x>
0时,F′(x)<
0,当<
0时,F′(x)>
0.
∴F(x)在,上单调递减,在上单调递增.6分
a≤,∴ax2+x+1≤x2+x+1.7分
设h(x)=ex-x2-x-1,则h′(x)=ex-x-1.
设p(x)=h′(x)=ex-x-1,则p′(x)=ex-1,在上,p′(x)≥0恒成立.
∴h′(x)在(0,+∞)上单调递增.9分
又∵h′(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,h′(x)>
0,所以h(x)在(0,+∞)上单调递增,
∴h(x)>
h(0)=0,∴ex-x2-x-1>
0,ex>
x2+x+1,
所以ex>
x2+x+1≥ax2+x+1,
所以f(x)>
g(x)在(0,+∞)上恒成立.12分
22.【解析】
(1)由消去参数t得x+y=4,直线l的普通方程为x+y-4=0.2分
由ρ=4sin=2sinθ+2cosθ得,ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ,
即x2+y2=2y+2x,
∴曲线C的直角坐标方程是圆:
(x-)2+(y-1)2=4.5分
(2)∵原点O到直线l的距离d==2.7分
直线l过圆C的圆心(,1),∴|MN|=2r=4,
所以△MON的面积S=|MN|×
d=4.10分
23.【解析】
(1)a=1时,f(x)=+2.1分
-1时,f(x)≤7即为-3x+1≤7,解得-2≤x<
当-1≤x≤1时,-x+3≤7,解得-1≤x≤1.
当x>1时,3x-1≤7,解得1<x≤.4分
综上,f(x)≤7的解集为.5分
(2)∵a>
-1,∴f(x)=7分
由y=f(x)的图象知,
f(x)min=f(a)=|a+1|=3,a=-4或2,∴a=2.10分
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